文档内容
第 04 讲 幂指对函数（8 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年春考1题 对数函数的定义域
2022春考5题 幂函数的反函数
2021年秋考5题 反函数
2021年春考6,13题 指数函数、反函数
2020年秋考4题 反函数
2020年春考12题 反函数
2. 命题规律及备考策略
【常用结论】
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
3．log b·log a＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)， ＝log b(a>0，且a≠1，b>0)
a b a
4．如图，给出4个对数函数的图象．
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
一．幂函数
1．幂函数(1)幂函数的定义
一般地，函数____________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点__________和____________，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为________________；当α为偶数时，y＝xα为____________．
二、指数函数
1．指数幂的运算性质
aras＝________；(ar)s＝__________；(ab)r＝________(a>0，b>0，r，s∈R)．
2．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是________．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时，____________； 当x<0时，____________；
性质
当x<0时，____________ 当x>0时，____________
________函数 ________函数
三、对数函数
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作____________，其中
____________叫做对数的底数，________叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作_______________________________________．以e为底的对数叫做自然对数，记作 ________.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝______，log a＝______， ＝________(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝____________________；
a
②log ＝____________________；
a
③log Mn＝____________ (n∈R)．
a
(3)对数换底公式：log b＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
a>1 01时，___________； 当x>1时，___________；
性质
当00，且a≠1)与对数函数____________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
________对称．
知识讲解
考点 一．幂函数的概念
1．（2024•崇明区二模）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝ ．
2．（2024春•普陀区校级月考）若幂函数的图像经过点(√4 3，3)，则此幂函数的表达式为f（x）＝ ．
3．（2024•宝山区校级开学）若幂函数y＝xa的图像经过点（2，2√2），则a＝ ．4．（2024春•黄浦区校级期末）若幂函数y＝xa的图像经过点(√33，3)，则此幂函数的表达式为 ．
考点 二．有理数指数幂及根式
5．（2024•浦东新区三模）已知实数 x 、x 、y 、y 满足x2+ y2=1，x2+ y2=3，x y ﹣x y =√2，则|
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
x x +y y |＝ ．
1 2 1 2
6．（2024春•浦东新区校级期末）已知x2+nx +1=0，且x2+nx +1=0，(n＞2)且x ≠x ，则x •x ＝
1 1 2 2 1 2 1 2
．
7．（2024春•杨浦区期中）已知10a＝3，10b＝4，则10a+b的值是 ．
考点 三．指数函数的单调性与最值
8．（2023秋•嘉定区校级期末）若指数函数y＝（m﹣3）x在R上是严格减函数，则实数m的取值范围是
．
9．（2024春•宝山区校级月考）已知函数f（x）＝ax+m+n（a＞0，a≠1）的图像经过定点（﹣1，1），则
m+n＝ ．
n
10．（2024•浦东新区校级四模）设 m＞0，n＞0，若直线l：mx+ y=2过曲线y＝ax﹣1+1（a＞0，且
2
1 1
a≠1）的定点，则 + 的最小值为 ．
m n
11．（2023秋•闵行区期末）若函数y＝ex，x [1，e]，则此函数的最小值为 ．
考点 四．对数的运算性质
∈
1
12．（2024•奉贤区三模）若lg2=a，lg =b，则lg98＝ ．（结果用a，b的代数式表示）
7
1 1
13．（2024•长宁区二模）若3a＝2b＝6，则 + = ．
a b5
14．（2024•宝山区校级四模）已知正实数a、b满足log b+log a= ，aa＝bb，则a+b＝ ．
a b 2
15．（2024•浦东新区校级模拟）函数f（x）＝log （2x）•log （8x）的最小值为 ．
2 8
考点 五．对数函数的定义域
2+x
16．（2024•金山区二模）函数y=log 的定义域是 ．
21−x
17．（2024春•黄浦区校级期末）函数y＝lg（1+x）﹣lg（x﹣1）的定义域是 ．
18．（2024•黄浦区校级模拟）已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|y＝log x}，则A∩B＝ ．
2
19．（2024春•浦东新区校级期末）函数y＝lg（4﹣x）的定义域为 ．
考点 六．对数函数的图象
20．（2023秋•普陀区校级期末）已知f（x）＝2log （x﹣1）+1（a＞0且a≠1），函数y＝f（x）的图像
a
恒过定点P，则点P的坐标为 ．
21．（2024•青浦区二模）已知f（x）＝lgx﹣1，g（x）＝lgx﹣3，若|f（x）|+|g（x）|＝|f（x）+g（x）|，
则满足条件的x的取值范围是 ．
22．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数f(x)=ln(x+√x2+1)+2x，若f（m2+5m﹣6）＜1，则实数m
的取值范围是 ．
23．（2023秋•普陀区校级期末）已知b R，设函数f（x）＝|log x+2x+b|在区间[t，t+1]（t＞0）上的最大
2
值为M
t
（b）．若{b|M
t
（b）≥2}＝R，
∈
则正实数t的最大值为 ．
考点 七．对数值大小的比较
24．（2024•宝山区二模）已知a＞b＞0，则（ ）
A．a2＞b2 B．2a＜2b1 1 log a＞log b
C． a2＜b2 D． 1 1
2 2
25．（2023秋•杨浦区校级期末）若m＞n＞1，而0＜x＜1，则下列不等式正确的是（ ）
A．mx＜nx B．xm＜xn
C．log m＞log n D．log x＜log x
x x m n
26．（2023•黄浦区校级开学）已知函数f（x）＝log |x﹣1|，若b＜c＜0，1＜a＜2，则（ ）
2
A．f（b）＞f（c）＞f（a） B．f（b）＞f（a）＞f（c）
C．f（a）＞f（b）＞f（c） D．f（c）＞f（a）＞f（b）
27．（2023秋•宝山区校级期中）若a＞b＞0且a、b均不为1，0＜m＜1，则（ ）
A．am＜bm B．ma＜mb
C．log a＞log b D．log m＞log m
m m a b
考点 八．反函数
28．（2023秋•普陀区校级期末）函数y＝2x﹣1的反函数为 ．
29．（2023秋•宝山区校级期末）函数y＝x2﹣2x+3（x≤0）的反函数为 ．
30．（2023•浦东新区校级一模）设函数y＝f（x）＝2x+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f﹣
1（x）＝ ．
4
31．（2023春•黄浦区校级月考）已知函数f(x)=log ( +2)，则方程f﹣1（x）＝4的解x＝ ．
3 x
1．（2024春•杨浦区期中）若log x＝4，则x的值是 ．
2
2．（2024春•宝山区期末）已知指数函数 在 上是严格增函数，则实数 的取值范围是
．
3．（2024•浦东新区三模）已知 ，则 （用 表示）．4．（2024春•普陀区校级期末）已知 ， 且 ，则 的最大值为 ．
5．（2024春•黄浦区校级期末）已知 ， ，则 ．
6．（2024春•黄浦区校级期末）已知 ，用 的代数式表示 ．
7．（2024春•浦东新区校级期末）若 ，则 ．
8．（2024•静安区二模）函数 的定义域为 ．
9．（2024•宝山区二模）将 化为有理数指数幂的形式为 ．
10．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数 则 （3） ．
11．（2024•长宁区校级三模）已知 ， ，则 （用 、 表示）．
12．（2024春•宝山区校级月考）已知 为锐角， ，则 可用 ，
表示为 ．
13．（2024春•青浦区校级月考）已知数列 是等差数列，且 ，则
．
14．（2024春•普陀区校级月考）函数 的定义域为 ．
15．（2024春•杨浦区期中）函数 的值域为 ．
16．（2024•普陀区校级开学）设 ， ， 都是非零常数，且满足 ，则 ．（结
果用 表示）
一．填空题（共3小题）
π 1
1．（2024春•嘉定区校级期中）若0＜x＜ ，且lg(sinx+cosx)= (3lg2−lg5)，则cosx﹣sinx＝
4 2
．
2．（2023秋•黄浦区校级期末）若函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a
＝ ．
4
3．（2024春•奉贤区校级月考）如果锐角 满足log （tan +cot ）=− ，则log cos 的值是 ．
sin 3 tan
θ θ
θ θ θ θ
二．解答题（共2小题）
x−1
4．（2024•宝山区校级开学）已知函数f(x)=log (a＞0且a≠1)．
a x+1（1）求f（x）的定义域；
1
（2）若当a= 时，函数g（x）＝f（x）﹣b在（1，+∞）有且只有一个零点，求实数b的范围；
2
（3）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log n，1+log m]，若存在，求出
a a
实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
5．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数f（x）＝log （x+a）．
2
（1）当a＝2时，解不等式：f（x）＜2log x；
2
（2）若函数y＝|f（x）|在x [﹣1，2]上的最大值为log 3，求a的值；
2
1
（3）当a＞0时，记g(x)=∈ f(4x)，若对任意的x （0，2），函数y＝f（x）的图像总在函数y＝g
2
（x）的图像的下方，求正数a的取值范围． ∈
一．选择题（共1小题）
1．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
2．（2024•上海） 的定义域 ．
3．（2021•上海）已知 ，则 （1） ．
4．（2021•上海）若方程组 无解，则 ．
5．（2020•上海）已知 ，其反函数为 ，若 有实数根，则 的取值范
围为 ．6．（2020•上海）已知函数 ， 是 的反函数，则 ．
7．（2022•上海）设函数 的反函数为 ，则 ．
