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第06讲 指对幂函数
【知识点总结】
一、指数的运算性质
当a>0，b>0时，有
(1)aman=am+n(m,nR)； (2) ( m,nR)
(3)(am)n=amn(m,nR)； (4)(ab)m=ambm(mR)；
(5) (pQ) (6) (m,nN+)
二、指数函数
(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函数叫做指数函数；
(2)指数函数y=ax(a>0且a1)的图像和性质如表2-6所示.
y=ax a>1 00
y=1x=0 y=1x=0
y>1x>0 y>1x<0
三、对数概念
，叫做以 为底 的对数.
注：① ，负数和零没有对数；
② ；
③ .
四、对数的运算性质
特殊地五、对数函数
（1）一般地，形如 的函数叫对数函数.
（2）对数函数 的图像和性质，如表2-7所示.
图像
性质
（1）定义域： （1）定义域：
（2）值域： （2）值域：
（3）图像过定点： （3）图像过定点：
（4）在 上是增函数 （4）在 上是减函数
六、幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量 .
七、幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，
要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当 时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.
八、幂函数的性质
当 时，幂函数 在 上是增函数，当 时，函数图像是向下凸的；当 时，图像
是向上凸的，恒过点 ；当 时，幂函数 在 上是减函数.幂函数 的图像恒
过点 .【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
， ，故 ，
故选：C.
例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（ ）．
A．log 2 B． C．log 3 D．
3 2
【答案】C
【详解】
方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log 3.
2
故选：C
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ），其中a，b均为实数.
（1）若函数 的图象经过点 ， ，求函数 的解析式；
（2）如果函数 的定义域和值域都是 ，求 的值.
（1）因为函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，∴
∴函数 .
（2）如果函数 的定义域和值域都是 ，
若 ，则函数 为增函数，∴ ，无解.
若 ，则函数 为减函数，∴ ，解得 ，
∴ .
例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）若 ，求 的值．
【详解】
（1） 0.3﹣1﹣36+33+1 36+27+1 5．
（2）若 ，∴x 2＝6，x 4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值
（1） ；
（2） ；.
（3） ；．
（4） .
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）；
（4）例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）判断 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（2）解关于 的不等式 .
【详解】
（1） ，则函数 是奇函数，
则当 时，设 ，
则
，
，
，即 ， ，
则 ，即 ，
则 在 ， 上是增函数，
是 上的奇函数，
在 上是增函数.
（2） 在 上是增函数，
不等式 等价为不等式 ，
即 .
即不等式的解集为 .
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（1）当 时，求 的值域；
（2）若对 ， 成立，求实数 的取值范围；
（3）若对 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．【详解】
（1）当 时，函数 ，
的值域
（2）对 ， 成立，等价于 在 的最小值大于或等于1．而 在 上单调递减，所以 ，即
（3）对 ， ，使得 成立，
等价于 在 的最大值小于或等于 在 上的最大值9
由 ，
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在实数 上的偶函数，且 ，当
时， ，函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）证明：对任意 ，都有 ；
（3）在同一坐标系中作出 与 的大致图象并判断其交点的个数．
【详解】
（1）判断结论： 为偶函数．以下证明．
证明： ，
．
对于任意的 ， ， ，
，
函数 为偶函数；
（2） 函数 是定义在实数 上的偶函数，
，
，
．
故原命题得证．
（3） ，
的图象过点 ， ，关于 轴对称，
如图可知： 与 大致有8个交点．【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 是定义在 上的偶函数，得到 ，同时结合条件 为偶函数，可得到函数的周
期 ，从而 ，代入即可求值.
【详解】
因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，即 ，
又 为定义在 上的为偶函数，所以 ，
所以 ，所以函数的周期 ，
所以 .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）化简 的结果为（ ）
A．－ B．－C．－ D．－6ab
【答案】C
【分析】
根据指数幂的运算可得结果.
【详解】原式＝ .
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．15
【答案】A
【分析】
根据分段函数的定义，先求内层函数的值 ，然后再求外层函数 的值.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）若 是指数函数，则有（ ）
A． 或 B．
C． D． 且
【答案】C
【分析】
根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】
因为 是指数函数，
所以 ，解得 .
故选：C．5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，则 （ ）A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
根据函数性质，代入自变量，结合指对数运算求得结果.
【详解】
，
故选：D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）函数 ，且a≠1)的图象经过点 ，则f(-2)= （ ）
A． B． C． D．9
【答案】D
【分析】
把 点坐标代入解析式可得 可得答案.
【详解】
由 ，解得 ，所以 ．
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ ，则此函数图象上关于原点对称的点有（
）
A．0对 B．1对
C．2对 D．3对
【答案】B
【分析】
首先作出函数y＝f(x)图象，在同一坐标系中，再作出－y＝f(－x)，由数形结合即可求解.
【详解】作出函数y＝f(x)图象如图所示：再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，
恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C，
发现y＝ 与曲线C有且仅有一个交点，
因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、B就是符合题意的点．
故选：B．
8．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【详解】
解：由题意得： ，
故 ，故 ，
解得： ，
故函数 的定义域是 ，
故选：B．
9．（2022·全国·高三专题练习）若 满足不等式 ，则函数 的值域是（ ）A． B． C． D．
【答案】B【分析】
先将不等式左右两边化为底数相同，再由指数函数的单调性解不等式即可求得 的范围，再由指数函数的
单调性即可求值域.
【详解】
由 可得 ，
因为 在 上单调递增，
所以 即 ，解得： ，
所以 ，即函数 的值域是 ，
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）定义运算 ，若函数 ，则 的值域是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由定义可得 ，结合指数函数的性质即可求出.
【详解】
由定义可得 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上， 的值域是 .
故选：C.11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的值域为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
求出函数 的定义域，然后利用指数函数的基本性质可求得函数 的值域.
【详解】
由 得 ，函数 ，
所以，函数 的值域为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查对数函数的定义域以及指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.
12．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令 ，可得 ，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域.
【详解】
解：令 ，可得 ，
可得函数的对称轴为： ，故函数在 上单调递增，
当 时， ，故函数的值域为 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数的性质进
行求解.
13．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如： ， .已知 ，则函数 的
值域为（ ）
A． B． ， C． ， ， D． ，0，
【答案】B
【分析】
利用常数分离法将原函数解析式化为 ，然后分析函数 的值域，再根据高斯函数的含
义确定 的值域.
【详解】
，
， ， ，
，
或0，
的值域为 ， .
故选：B.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的偶函数，在区间 上单调递增，且函数
.若实数 满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出 的值，然后把 转化为 ，再根据 是偶函数和在区间上的单调性脱去“ ”号，从而求出实数 的取值范围.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 是定义在 上的偶函数，在区间 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，即 .
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）函数 （ ，且 ）在 上最大值与最小值的差为2，则
（ ）
A． 或2 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数知函数总是在 和2时，取得两个最值，即得 ，解方程 和 即
得结果.
【详解】
根据题意， ，且 ，由 的单调性，可知其在 上是单调递增函数或单调递减函数，总是在
和2时，取得两个最值，即 ，即 或
当方程 成立，即 ，判别式 ，该方程无实数解；
当方程 成立，即 ，解得 （ 舍去），
故选：B．
16．（2022·全国·高三专题练习）设2a＝5b＝m，且 ，则m等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数对数互化，再利用换底公式及对数的运算法则即得.
【详解】
由等式 （ ）两边取对数，可得 ，
所以
∴ .故选：D.
17．（2022·上海·高三专题练习）若 ，则x，y，z之间满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据指对互化，再化简.
【详解】
， ， .
故选：B
18．（2022·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C．7 D．10
【答案】D
【分析】
设 ，把指数式改为对数式，利用对数的运算求解．
【详解】
设 ，则 且 ，
，
，
，所以 ．
故选：D．
19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
运用对数运算法则和换底公式进行求解.【详解】
由 ，可得 ，
所以
.
故选：A
20．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】
将指数形式转化为对数形式，代入到题设条件中，即可求得参数值.
【详解】
由题知， ， ，
则 ，
则
故选：C
21．（2022·全国·高三专题练习）函数 为对数函数，则 等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】可以先根据对数函数的性质来确定 的取值范围，再带入 得出结果．
【详解】因为函数 为对数函数，
所以函数 系数为1，即 即 或 ，
因为对数函数底数大于0，
所以 ， ，
所以 ．
【点睛】
对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1．
22．（2022·全国·高三专题练习）若函数 对 恒有意义，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数以及基本不等式求出 的取值范围即可．
【详解】
解：由题意得： 恒成立，
即 恒成立，
，当且仅当 即 时“ ”成立，
故 ，
故选： ．
23．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】
由题意可得真数部分取到所有的正数，即 是函数 的值域的子集，由 即可求解.
【详解】
因为函数 的值域为 ，可得真数部分 取到所有的正数，
即函数 取到所有的正数，
所以 是函数 的值域的子集，
所以 解得： 或 ，
所以实数 的取值范围是： .
故选：A.
24．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
结合 的取值范围以及对数函数的性质求得 的值域.
【详解】
由于 ，且 在 上递增，
，
所以 的值域为 .
故选：B
25．（2022·全国·高三专题练习）下列各函数中，值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】
根据指数、对数函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．
【详解】解：∵ ，∴ 的值域是R，不满足条件．
∵ ，则函数的值域为 ，不满足条件．
∵ ，即函数的值域为 ，满足条件．
∵ ，∴ ，不满足条件．
故选：C．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的值域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出 的定义域，令 ，再根据二次函数的性质求出函数的值域.
【详解】
因为 ， ，
所以 的定义域为 ，
解得 ，所以该函数的定义域为 ；
所以 ，
所以
，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ；
所以函数 的值域是 ．故选：B．
27．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则不等式 的
解集为（ ）A．(0，2] B．
C．[2，＋∞) D． ∪[2，＋∞)
【答案】B
【分析】
由题意得到函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，令 ，化简不等式为 ，
结合函数的单调性和奇偶性，得的 ，即 ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，
令 ，可得 ，
则不等式 可化为 ，
即 ，即 ，
又因为 ，且 在 上单调递减，在 为偶函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B.
28．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（
）
A．（﹣∞，0） B．（0，1）C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
【答案】C
【分析】
设幂函数f（x）＝xα，由题意求得α的值，可得不等式然后解具体的不等式求得x的范围．
【详解】
解：设幂函数f（x）＝xα，由于它的图象过点（64，2），∴2＝64α，∴α＝ ，f（x）＝ ．
则f（x）＜f（x2），即 ，∴0≤x＜x2，
∴x＞1，故原不等式的解集为（1，+∞），
故选：C．
29．（2022·全国·高三专题练习）幂函数 是偶函数，且在（0，+∞）上
是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
【答案】B
【分析】
由题意可得， ，且 为偶数，由此求得m的值．
【详解】
∵幂函数 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴ ，且 为偶数
或
当 时， 满足条件；当 时， ，舍去
因此：m＝1
故选：B
30．（2022·全国·高三专题练习（理））设 ，则使函数 的定义域为 ，且该函数为
奇函数的 值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 、 或
【答案】A
【分析】
由幂函数的相关性质依次验证得解.
【详解】因为定义域为 ，所以 ， ，又函数为奇函数，所以 ，则满足条件的 或 .
故选:A
31．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象过函数 的
图象所经过的定点，则 的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
先根据幂函数定义得 ，再确定 的图像所经过的定点为 ，代入 解得 的值.
【详解】
由于 为幂函数，则 ，解得： ，则 ；
函数 ，当 时， ，
故 的图像所经过的定点为 ，
所以 ，即 ，解得： ,
故选：B.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3， )，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
【答案】D
【分析】
利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
【详解】设幂函数的解析式为 ，
将点 的坐标代入解析式得 ，解得 ，
∴ ，函数的定义域为 ,是非奇非偶函数，且在 上是增函数，故选：D.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据题意得幂函数解析式为 ，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为幂函数 的图像过点 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由于函数 在 上单调递增，
所以 ，解得： ．
故 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在
于根据幂函数的系数为 待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
34．（2021·全国·高一专题练习）如图中的曲线C ，C ，C ，C 是指数函数的图象，已知对应函数的底数
1 2 3 4
的值可取为 ， ， ， ，则相应于曲线C ，C ，C ，C ， 依次为（）
1 2 3 4A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，【答案】D
【分析】
作直线 ，根据图象得出答案.
【详解】
设曲线C ，C ，C ，C 对应解析式的底数为 ，作直线 ，如下图所示
1 2 3 4
由图可知， ，即曲线C ，C ，C ，C ， 依次为 ， ， ，
1 2 3 4
故选：D
35．（2021·全国·）图中曲线分别表示 的图像， ，的关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
在坐标系中，令 ，根据与函数交点的横坐标的大小得到结论.【详解】
如图所示：当 时， ，
因为 ，
所以
故选：C
二、多选题
36．（2022·全国·高三专题练习）若直线 与函数 （ ，且 ）的图象有两个公共点，
则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AB
【分析】
对 分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】
（1）当 时，由题得 ，
因为 ，所以此种情况不存在；（2）当 时，由题得 ，
因为 ，所以 .
故选：AB
【点睛】
方法点睛：取值范围问题的求解，常用的方法：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基
本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
37．（2022·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数 是指数函数
B．函数 的值域是
C．若 ，则
D．函数 的图像必过定点
【答案】BD
【分析】
对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.
【详解】
选项A. 根据指数函数的定义，可得 不是指数函数，故A 不正确.
选项B. 当 时， ，故B正确.选项C. 当 时，函数 单调递减，由 ，则 ，故C不正确.
选项D. 由 ，可得 的图象恒过点 ，故D正确.
故选：BD
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题.
38．（2022·全国·高三专题练习（理））对函数 判断正确的是（ ）
A．增区间 B．增区间 C．值域 D．值域
【答案】BD
【分析】
根据指数函数性质可以判断其增区间为 ，根据 值域判断出 的值域，最终
得出答案.
【详解】
解:根据指数函数性质， 在 单调递减，
而 在 单调递减，在 单调递增，
故 增区间为 ；
值域为 ，
而 在 单调递减，
故 值域为 .
故选：BD.
39．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若函数 有五个零点，则实数
可取（ ）
A． B． C． D．【答案】CD
【分析】函数 有五个零点等价于 与 有五个不同的交点，作出 图像，利用图像求解
即可
【详解】
函数 有五个零点等价于 与 有五个不同的交点，作出 图像可知，当
时，
若 与 有五个不同的交点，
则 ，
，
故选： ．
三、填空题
40．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线
上，则 的最小值为__.
【答案】
【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出 ，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】
函数 中，由 可得 、 ，即函数的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，即有 ，
于是得 ，当且仅当 时取“=”，
所以 时， 的最小值为 .
故答案为： .
41．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为__________．
【答案】
【分析】
利用对数、分式、根式的性质列不等式，求 的范围，即得定义域.
【详解】
由函数解析式，知： ，解得 且 .
故答案为： .
42．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有3个实数根，则
实数k的取值范围是________.
【答案】
【分析】
将问题转化为 与 有3个交点，根据分段函数解析式确定 的区间性质，结合函数图象判断交点
情况，进而求k的范围.
【详解】
由题意，方程 有3个实数根，即为 与 有3个交点，
由 的解析式知：当 时， ；当 时，对称轴为 且 ；图象如下图示：∴当且仅当 时， 与 有3个交点，即 有3个实根.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.
43．（2022·上海·高三专题练习）存在实数 使不等式 在 成立，则 的范围为__________．
【答案】 ##
【分析】
利用函数 的单调性求出它在 上的最大值即可.
【详解】
函数 在R上单调递减，当 时， ，
因存在实数 使不等式 在 成立，则 .
所以 的范围为 .
故答案为：
44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ( 为常数)，若 在区间 上是增函数，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到 ，从而得到当 时，函数 为增函数，再根据题意即可
得到答案.
【详解】因为函数 ，
当 时，函数 为增函数，
而已知函数 在区间 上是增函数，所以 ，即 的取值范围为 ．
故答案为：
45．（2022·全国·高三专题练习）已知不为 的正实数 满足 则下列不等式中一定成立的
是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【答案】④⑤.
【分析】
根据对数函数单调性先分析出 的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【详解】
因为 且 不为 ，由对数函数 的单调性可知 ，
①当 时， ，所以 ，故①不一定成立；
②因为 ，由指数函数 的单调性可知 ,故②不成立；
③当 时， ，所以 ，故③不一定成立；
④因为 ，所以 ，故④一定成立；
⑤因为 ，所以 ，故⑤一定成立；
故答案为：④⑤.
46．（2022·全国·高三专题练习）若函数 恒过点 ，则函数
在 上的最小值是_____.【答案】
【分析】
先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到 ，换元，令，利用二次函数的单调性，即可求解.
【详解】
函数 恒过点 ，
则 ，
区间 变为 ，
由函数 ，
令 ，
则 ，
利用二次函数的单调性，
当 时， ，
则函数 在 上的最小值是 .
故答案为： .
【点睛】
关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.
47．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的最大值为M，最小值为
N，则M＋N=___．
【答案】
【分析】
将函数转化为 ，易得当 时， 是增函数，进而取得M，N即可.
【详解】，
因为 ，所以 是增函数，
所以 是增函数，
所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以 ，
故答案为：3
48．（2022·全国·高三专题练习（文））若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是______．
【答案】
【分析】
设 ，将原不等式转化成 恒成立，从而求出 的范围．
【详解】
令 ，∵ ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ 恒成立，
∵ ，当且仅当 时，即 时，表达式取得最小值，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再
利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题．
49．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____．
【答案】4
【详解】当 时，函数 单调递增，所以函数 过点(-1,-1)和点(0,0)，所以 无解；
当 时，函数 单调递减，所以函数 过点(-1,0)和点(0,-1)，所以 ，解得 .
所以
50．（2022·全国·高三专题练习（理））不等式 的解集是_______．
【答案】
【分析】
由对数的运算法则，将不等式化简整理为 ，即可求出结果．
【详解】
因为 可化为
即原不等式的解集为： ．
故答案为：
51．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 用 表示 _____
【答案】
【分析】
利用对数的运算性质、换底公式以及 即可得出．
【详解】， ，
， ．
，
，解得 ．
故答案为： .
52．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象恒过定点 , 在幂函数 的图象
上，则 ．
【答案】3
【详解】
由题意有： ，
因此 满足 ，则
所以 ．
故答案为3.
53．（2022·上海·高三专题练习）不等式 的解集是________.
【答案】
【分析】
由对数运算法则得 ，把 作为一个整体解一元二次方程，再由对数函数性质得解．
【详解】
由 得， ．
故答案为：
54．（2022·浙江·高三专题练习）若函数 在 上为减函数.则实数 的取值范围是
________．
【答案】
【分析】由题意可得 ， 在 单调递减，且 ，即 ，即可求解.
【详解】
是由 ， 复合而成，因为 ， 开口向下，对称轴为 ，所以 在 上为减函数，
因为函数 在 上为减函数，
所以 为增函数，
所以 ，
又因为 对于 恒成立了，所以 ，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围是 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题.
55．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝log （x2+2x﹣3）的单调增区间是_____．
2
【答案】（1，+∞）
【分析】
由真数大于0求出函数的定义域，由复合函数的单调性，外层函数单调递增，故内层函数的增区间即为原
函数的增区间．
【详解】
由x2+2x﹣3＞0，得x＜﹣3或x＞1．
故函数的定义域为：
令t＝x2+2x﹣3，
由于 在 单调递增，
又t＝x2+2x﹣3的对称轴为
t＝x2+2x﹣3在（1，+∞）上为增函数，由复合函数单调性
∴y＝log （x2+2x﹣3）的单调增区间为（1，+∞）．
2
故答案为：（1，+∞）
56．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 ， ，则函数 的最大值与最小值的和为__________.
【答案】
【分析】将函数 的解析式化为 ，然后换元 ，将问题转化为二次函
数 在区间 上的最大值和最小值之和来处理，然后利用二次函数的基本性质可求解.
【详解】
， ，令 ，
设 ，其中 ，
二次函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，函数 取得最小值，即 .
当 或 时，函数 取得最大值，即 .
因此，函数 的最大值和最小值之和为 .
故答案为 .
【点睛】
本题考查对数型函数在定区间上的最大值和最小值之和，利用换元法将问题转化为二次函数的最值是解题
的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
57．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的最小值为__________．
【答案】
【详解】
试题分析：
所以，当 ，即 时， 取得最小值 .
所以答案应填： .考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.
