易错点8三角形与解三角答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 08 三角函数与解三角 易错点1：解三角函数的定义 此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。 易错点2：三角函数图象变换 函数图象的平移变换解题策略： （1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是 先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变 为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平 移. 易错点3：由三角函数图像求解析式 结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 （1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则 . （2）求ω，已知函数的周期T，则 . （3）求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)． ②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口，具体如 下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ= ； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ= ； “第五点”为ωx＋φ=2π. 易错点4： 给值（式）求角（值） 解三角函数的给值求值问题的基本步骤 （1）先化简所求式子或所给条件； （2）观察已知条件与所求式子之间的联系； （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 易错点5：三角形中边角关系 此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、 三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中， 结合基本不等式构造不等关系求得最值. 题组一、三角函数的定义 1.（2020•全国2卷）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α＞0 B. cos2α＜0 C. sin2α＞0 D. sin2α＜0【答案】D 【解析】方法一：由α为第四象限角，可得 ， 所以 此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当 时， ，选项B错误； 当 时， ，选项A错误； 由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误， 选项D正确；故选：D. P 2．（2014新课标Ⅰ）若 ，则（ ） A． l B． l C． A D． |PA| 【答案】C 【解析】 知 的终边在第一象限或第三象限，此时 与 同号， 故 ，选C． 3．（2011新课标）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由角 的终边在直线 上可得， ， ．故选B 题组二、三角函数的图像与变换 4．(2021年高考全国乙卷理科)把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍， 纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像， 则 ( )A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 5．（2017新课标Ⅰ）已知曲线 ： ， ： ，则下面结论正 确的是( ) A．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 B．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 【答案】D 【解析】把 的解析式运用诱导公式变为余弦， ： 则由 图象横坐标缩短为原来的 ，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到 曲线 ．选D  6．（2016全国II）若将函数 y 2sin2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的 对称轴为k  k  x  (kZ) x  (kZ) 2 6 2 6 A． B． k  k  x  (kZ) x  (kZ) C． 2 12 D． 2 12 【答案】B 【解析】函数 的图像向左平移 个单位长度，得到的图像对应的函数表达式 为 ，令 ，解得 ，所以所求对称 轴的方程为 ，故选B． y sinx 3cosx y sinx 3cosx 7．（2016年全国III）函数 的图像可由函数 的图 像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】 【解析】函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移 个单位长度得到． 题组三、由三角函数图像求解析式 8．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数 在 的图像大致如下 图，则f(x)的最小正周期为 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 ，将它代入函数 可得： 又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点， 所以 ，解得： 所以函数 的最小正周期为 故选：C 9.（2020•新全国1山东）（多选题）下图是函数y＝ sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ) ＝ （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选A, 当 时， ， 解得： ，即函数的解析式为： . 而 ,故选：BC. 10．（2015新课标Ⅱ）函数 的部分图像如图所示，则 的单调 递减区间为（ ）． A． ，B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】由图象可知 ， ， ， 所以 ， 所以函数 的单调递减区间为， ，即 ， ． 题组四、给值（式）求值（角） 11．(2021年高考全国甲卷理科)若 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， ，解得 ， ， ．故选：A． 12．(2018全国卷Ⅲ)若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ．故选B． 2 13.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， )，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= 1 5 3 2 5 A． B． C． D． 5 5 3 5 【答案】B 【解析】由2sin2cos21，得4sincos2cos2.  π  0, 因为  ，所以 .  2 cos2sin cos2sin 5 由 ，得sin .故选B. sin2cos21 5  3 cos( ) 14．（2016年全国II）若 4 5，则 sin2 （ ） 7 1 1 7   A．25 B．5 C． 5 D． 25 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ,所以 ,故选D． 题组五、三角形中的边角关系 15.（2020•全国3卷）在 ABC中，cosC＝ ，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（ ） △ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 在 中， ， ， 根据余弦定理： , , 可得 ，即 ,由 , 故 .故选：A.16．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）) 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可得 ， 所以由 所以 ，而 ，所以 ，故选C． 在 中，已知 17.（2021年上海卷第18题） （1）若 ，求 的面积； （2）若 ，求 的周长. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由已知得， （2） 因为 ， ， ， 所以 因为 ，所以 所以 18.（2021年天津卷）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ． （1）求a的值； （2）求 的值；（3）求 的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ， ， ； （2）由余弦定理可得 ； （3） ， ， ， ， 所以 . 1．设函数 ，则（ ） A． 在 单调递增，其图象关于直线 对称 B． 在 单调递增，其图象关于直线 对称 C． 在 单调递减，其图象关于直线 对称 D． 在 单调递减，其图象关于直线 对称 【答案】D 【解析】∵ = ， 所以 在 单调递减，对称轴为 ，即 ．2．已知 >0， ，直线 = 和 = 是函数 图像的两条相 邻的对称轴，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设知， = ，∴ =1，∴ = （ ）， ∴ = （ ），∵ ，∴ = ，故选A. 3．设函数 ，则下列结论错误的是（ ） A． 的一个周期为 B． 的图像关于直线 对称 C． 的一个零点为 D． 在 单调递减 【答案】D 【解析】∵ 的周期为 ， ，所以A正确； ∵ ，所以B正确； 设 ，而 ，C正确；选D． π π f(x)=sin(ωx+ ) ( ,π) 4．已知 ω>0 ，函数 4 在 2 单调递减，则ω的取值范围是( ) 1 5 1 3 1 [ , ] [ , ] (0, ] 2 4 2 4 2 (0,2] A． B． C． D． 【答案】A π f(x)=sin(ωx+ ) 4 【解析】函数 的图像可看作是由函数 的图像先向左平移 个单位得 的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标不变得到的，而函数 的减区间是 ，所以要使函π π f(x)=sin(ωx+ ) ( ,π) 4 2 数 在 上是减函数，需满足 ，解得 ．故选A． 5．已知函数 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【解析】因为 为函数 的零点， 为 图像的对称轴，所以 （ ， 为周期），得 （ ）．又 在 单 调，所以 ，又当 时， ， 在 不单 调；当 时， ， 在 单调，满足题意，故 ，即 的最大值为9． ABC A,B,C a,b,c a7 6.已知锐角 的内角 的对边分别为 ， ， ， c6 b ，则 （ ） 10 9 8 5 ． B． C． D． A 【答案】D 【解析】 ， ，由余弦定理解得 ． 4 cosA ABC A,B,C a,b,c 5 7. 的内角 的对边分别为 ，若 ， 5 cosC  13， a1 ，则 b ． 【答案】 【解析】∵ ， ，∴ ， ， ∴ ， 由正弦定理得： 解得 ．8.若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为________． 【答案】 【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得 ，即可解出. 【详解】因为 ， 所以 ，解得 ，故可取 .故答案为： （ 均可）. π 9. 的内角 的对边分别为 .若b6,a2c,B ，则 的面积 △ABC A,B,C a,b,c 3 △ABC 为__________. 【答案】 【解析】由余弦定理有b2 a2 c2 2accosB， π π 因为 ， ，B ，所以36(2c)2 c2 4c2cos ， b6 a2c 3 3 1 所以 ，S  acsinBc2sinB6 3 . c2 12 △ABC 2 10.已知在 中， ， ． （1）求 ； （2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求 边上的中线 长． ① ； ② 的周长为 ； ③ 的面积为 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） ；（2）不能选①；若选②： ；若选③： ． 【解析】（1）由正弦定理 ，得 ． 故 或 （舍），故 ． （2）由（1）， ，所以不能选①；又 ，所以 ． 若选②：设 ，则 ． 所以 ，解得 ．故 ， ． 设 中点为 ，在 中，由余弦定理， ，解得 ； 若选③：设 ，则 ． 所以 的面积为 ，解得 ． 故 ， ． 设 中点为 ，在 中，由余弦定理， ，解得 ．