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第 4 节 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期
性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最
小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，
0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，， (π ，－
1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R { x x ≠ k π ＋ }
值域 [ － 1 ， 1] [ － 1 ， 1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π] 无
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x ＝ k π ＋ x ＝ k π 无
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周
期T＝.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 T，相邻的
对称中心与对称轴之间的距离是T，其中T为周期，正切曲线相邻两对称中心之
间的距离是T，其中T为周期.
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增
函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin|x|是偶函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，y ＝k＋1；当k<0时，y ＝－k＋1.
max max
2.函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
3.下列函数中，是奇函数的是( )
A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
答案 C
解析 选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶
函数；
因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4.(易错题)函数y＝cos2x＋sin x的值域为( )
A.[－1，1] B.
C. D.[0，1]
答案 C
解析 y＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1＝－＋，
∴当sin x＝时，y ＝.
max
当sin x＝－1时，y ＝－1.
min
5.函数f(x)＝cos的最小正周期是________.
答案 π
6.(易错题)函数y＝tan的图象的对称中心是________.
答案 ，k∈Z
解析 由x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，∴对称中心是，k∈Z.
考点一 三角函数的定义域和值域1.函数y＝的定义域为______.
答案 (k∈Z)
解析 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
所以原函数的定义域为.
2.函数f(x)＝sin－cos的最大值为________.
答案
解析 f(x)＝sin－cos
＝sin＝sin
＝－cos x，
所以当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x) ＝.
max
3.函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.
答案 －4
解析 因为f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1，1]，
所以g(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数g(t)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，所以当t＝1时，g(t)有
最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
4.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
答案
解析 设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，y ＝1；
max
当t＝－时，y ＝－.
min∴函数的值域为.
感悟提升 1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)
常借助三角函数线或三角函数的图象.
2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值
域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于t的二次函
数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化
为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例1 (1)(2022·成都调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan
中，最小正周期为π的函数有( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
(2)已知函数f(x)＝asin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函
数g(x)＝sin x＋acos x的图象( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x＝对称
D.关于直线x＝对称
(3)(2022·西安调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋)是偶函数，则θ的值为________.
答案 (1)D (2)C (3)
解析 (1)①y＝cos|x|＝cos x，最小正周期为2π，错误；②y＝|cos x|，最小正周
期为π，正确；③y＝cos，最小正周期为＝π，正确；④y＝tan最小正周期为，
错误.故选D.
(2)由题意知f(0)＝f，
所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
当x＝时，x＋＝，所以直线x＝为对称轴，点不为对称中心，A错误，C正确；当x＝时，x＋＝，所以点不为对称中心，B错误；
当x＝时，x＋＝，所以直线x＝不为对称轴，D错误，故选C.
(3)∵函数f(x)为偶函数，
∴θ＋＝kπ＋(k∈Z).
又θ∈，
∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意.
感悟提升 1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y＝Asin(ωx＋
φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别
应用公式T＝或T＝求解.
2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对 y＝
Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若
y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝
＋kπ(k∈Z).
3.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ
＝＋kπ(k∈Z)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)，求x即可.
训练1 (1)(2022·河南名校联考)已知函数f(x)＝sin＋cos的最大值为M，若存在实
数m，n，使得对任意实数x总有f(m)≤f(x)≤f(n)成立，则M·|m－n|的最小值为(
)
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤f
成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.
答案 (1)B (2)，k∈Z x＝2kπ＋，k∈Z
解析 (1)令α＝2 022x＋，
则f(x)＝sin α＋cos＝sin α＋sin α＝2sin α＝2sin，其最小正周期T＝＝.
由题意可知，M＝2，|m－n| ＝T，
min
∴M|m－n|的最小值为.故选B.
(2)由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，
因为f(x)≤f恒成立，所以f(x) ＝f，即×＋φ＝2kπ(k∈Z).
max
又∵|φ|<，所以φ＝－，故f(x)＝cos，
令x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋2kπ(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
令x－＝kπ(k∈Z)，
得x＝2kπ＋(k∈Z)，
故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋，k∈Z.
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
例2 (1)函数f(x)＝cos(x∈[0，π])的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________.
答案 (1)C (2)(k∈Z)
解析 (1)由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ－，k∈Z.
∵x∈[0，π]，∴≤x≤π，
∴函数f(x)在[0，π]的单调递增区间为，故选C.
(2)f(x)＝sin＝sin＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为
(k∈Z).
角度2 利用单调性比较大小
例3 已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
答案 A
解析 a＝f＝2cos，
b＝f＝2cos，c＝f＝2cos，
因为y＝cos x在[0，π]上递减，又<<，所以a>b>c.
角度3 根据三角函数的单调性求参数
例4 (1)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间上单调递增，则φ的
取值范围是________.
(2)(2022·山西高三测评)已知函数f(x)＝sin＋cos在(－a，a)(a＞0)上单调递增，则
a的取值范围是________.
答案 (1) (2)
解析 (1)因为函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间上单调递增，
所以函数y＝2sin(2x＋φ)在区间上单调递减，
又因为y＝2sin(2x＋φ)的单调递减区间为＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ－≤x≤＋kπ－，k∈Z，
所以＋kπ－≤，≤＋kπ－，k∈Z，
所以＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|＜π，所以令k＝0，解得≤φ≤，
所以φ的取值范围是.
(2)f(x)＝sin ＋cos ＝2sin，
由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，
所以
感悟提升 1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋
φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将 ω化为正
数，防止把单调性弄错.
2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关
系求解.
训练2 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________.
(2)(2022·中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大
值是________.
答案 (1)，k∈Z (2)
解析 (1)由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z.
(2)法一 令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)在区间上单调递减，
所以a的最大值为.
法二 因为≤x≤a，
所以＋≤x＋≤a＋，
又f(x)在上单调，＋＜a＋≤，即＜a≤，所以a的最大值为.
三角函数中ω的求解
在三角函数的图象与性质中 ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法
复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
一、结合三角函数的单调性求解
例1 若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，
因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω＞0，所以k≥0.
又6k＋≤4k＋3，得0≤k≤.
又k∈Z，所以k＝0.即≤ω≤3.故选D.
二、结合三角函数的对称性、周期性求解
例2 (2021·兰州质量预测)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，其图象的一条对称
轴在区间内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )
A. B.(0，2) C.(1，2) D.[1，2)
答案 C
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω＞0)，
令ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)，
由于函数f(x)图象的一条对称轴在区间内，
因此有＜＋＜(k∈Z)成立，即3k＋1＜ω＜6k＋2(k∈Z)，由f(x)的最小正周期大于π，得＞π且ω＞0，解得0＜ω＜2，
综上可得1＜ω＜2.故选C.
三、结合三角函数的最值求解
例 3 已知函数 f(x)＝2sin ωx 在区间上的最小值为－2，则 ω 的取值范围是
________.
答案 (－∞，－2]∪
解析 显然ω≠0.若ω＞0，
当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
1.下列函数中，是周期函数的为( )
A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x|
C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0
答案 C
解析 对于C，f(x＋π)＝|tan(x＋π)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是周期函数，其余均
不是周期函数.
2.(2021·西安调研)函数y＝3tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠π＋，k∈Z，所以函数的定义域为，故选C.
3.函数f(x)＝cos的图象的一条对称轴方程为( )
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝－
答案 B
解析 令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，故选B.
4.已知函数f(x)＝2cos为奇函数，则φ＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 因为f(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ＋，则φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
5.若f(x)＝sin，则( )
A.f(1)＞f(2)＞f(3)
B.f(3)＞f(2)＞f(1)
C.f(2)＞f(1)＞f(3)
D.f(1)＞f(3)＞f(2)
答案 A
解析 由≤2x－≤，可得≤x≤，所以函数f(x)在区间上单调递减，由于1＜＜
2，且－1＜2－，故f(1)＞f(2).由于＜2＜＜3，且－2＞3－，故f(2)＞f(3)，所以
f(1)＞f(2)＞f(3)，故选A.
6.(2022·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点B对称，则下
列选项中能使得g(x)＝cos(x＋φ) 取得最大值的是( )
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
答案 A
解析 因为f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，所以2×＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝
kπ－(k∈Z)，
又φ∈(0，π)，所以当k＝1时，φ＝，所以g(x)＝cos(x＋φ)＝cos取得最大值时，
x＋＝2k π(k ∈Z)，得x＝2k π－(k ∈Z)，令k ＝0得x＝－.故选A.
1 1 1 1 1
7.已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________.
答案
解析 由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为 x＝π，可得ωπ－＝kπ
＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1，2)，∴ω＝，
∴函数f(x)的最小正周期为＝.
8.(2022·合肥调研)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________(填序号).
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z.
答案 ④
解析 函数f(x)的周期为2π，①错；
f(x)的值域为[0，＋∞)，②错，
当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；
令kπ－＜x－＜kπ，k∈Z，可得2kπ－ ＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区
间是，k∈Z，④正确.
9.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
答案
解析 由0得＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
10.已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值.
解 (1)由题意，得
f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2 x＋＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，
－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
11.已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2) 求f(x)的单调区间.
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a].
∴f(x)∈[b，3a＋b].
又－5≤f(x)≤1，
∴解得
(2)f(x)＝－4sin－1，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ得
＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z).12.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数 ω的取值范
围是( )
A.(0，5) B.(0，5]
C.[1，5) D.(1，5]
答案 C
解析 令ωx＋＝kπ＋，x＝，k∈Z.
∵ω>0，由题意得解得1≤ω<5.故选C.
13.(2022·贵阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于原点对称；
③函数f(x)的图象过点(π，0)；
④函数f(x)为R上的单调函数.
其中所有真命题的序号是________.
答案 ①②③
解析 因为f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin(2x＋4π)＝sin x＋sin 2x＝f(x)，所以2π是函
数f(x)的一个周期，所以①正确；
因为f(－x)＝sin(－x)＋sin(－2x)＝－＝－f(x)(x∈R)，
所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以②正确；
因为f(π)＝sin π＋sin 2π＝0，所以③正确；
因为f(0)＝0，f＝1，f(π)＝0，
所以f(x)不可能是单调函数，所以④错误.
14.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x ，x 求cos(x －x )的值.
1 2, 1 2
解 (1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，
函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x ，x ，
1 2
∴x ＋x ＝π，则x ＝π－x ，
1 2 1 2
∴cos(x －x )＝cos＝sin，
1 2
又f(x )＝sin＝，
2
故cos(x －x )＝.
1 2
