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19.1 二次根式及其性质
知识点一 二次根式的定义
1．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）下列根式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项分
析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、当 时， ，故 无意义，不一定是二次根式，不符合题意；
B、由 可得 ，故 一定是二次根式，符合题意；
C、 不是二次根式，故不符合题意；
D、 ，故 无意义，不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如 ，这样的式子叫做二次根式，进行判
断即可．
【详解】解：A、当 时， 不是二次根式，不符合题意；
B、 是二次根式，符合题意；
C、 不是二次根式，不符合题意；
D、 ， ，不是二次根式，不符合题意；
故选B．
3．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，
⑥ ，⑦ ，其中二次根式有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如 的式子叫做二次根式判断即可．
【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有 ， ， ， ，
共五个．
故选C．
4．（24-25八年级下·广西玉林·月考）有下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤12，其中一
定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式 ，依次分析每个式子．
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学科网（北京）股份有限公司本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如 的式子，需满足根指数为 且被开
方数非负”是解题的关键．
【详解】解： ，根指数是 ，是三次根式，不是二次根式，①不符合．
是二次根式．②符合．
：当 时，式子无意义，不能保证 恒成立，③不一定是二次根式．
， ，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式．
，是整数，不是 形式，⑤不是二次根式．
综上，只有②是二次根式，共 个，
故选： ．
知识点二 求二次根式的值
1．（24-25八年级下·广东中山·月考）当 时，二次根式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义．
将把 代入 ，再化简即可．
【详解】解：把 代入 得：
原式 ；
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式求值，直接把 代入二次根式，计算即可．
【详解】解：当 时，
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为：3．
3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）当 时，二次根式 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键．
将 代入二次根式 ，然后求解即可．
【详解】解：当 时， ．
故答案为：2．
4．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当 时， 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把 代入 计算即可求解，掌握二次根式的性质是解
题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
知识点三 求二次根式的参数
1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断 是个平方数是求解本题的关键．得出 是一
个平方数，进而求解即可．
【详解】解：∵ 是一个整数，
∴ 是一个平方数，
∴ 的最小值是3．
故答案为：3．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级下·福建福州·期末）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得 是完全平方数，即可求解．
【详解】解：∵ 是整数，
∴ 是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数 的值为1，此时 ，满足条件．
故答案为：1
4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数 共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到 ，再根据 是整数，进行解答即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是整数， 或 或 ，
∴满足条件的正整数 是 或 或 ．
即满足条件的正整数 共有3个，
故答案为：3．
知识点四 二次根式有意义的条件
1．（2024·湖南·模拟预测）请写出一个使 有意义的a的值 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数非负，要使 有意义，需满足被开方数
，从而确定a的取值范围，再从中选取符合条件的数即可．
【详解】解：∵要使 有意义，
∴ ，
∴ （答案不唯一，只要符合 即可），
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·福建厦门·期末）要使代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于 的不等式，求出
的取值范围即可．
【详解】解：∵使代数式 有意义，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）代数式 有意义时，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次
根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得 ，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得： ，
，
故答案为： ．
4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子 有意义，则 的取值范围是
【答案】 且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为
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学科网（北京）股份有限公司零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
∴ 且
故答案为： 且 ．
知识点五 二次根式的化简
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算： ； ．
【答案】 2
【分析】本题考查了利用二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质：
和 ，即可得到结果．
【详解】解： ； ．
故答案为：2； ．
2．（2025·山西吕梁·二模）计算： ．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次根式的化简．先计算被开方数，再求算术平方根，
【详解】解： ．
故答案为：2．
3．（24-25八年级下·吉林延边·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质及应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据二次根式的性质
求解即可得到答案．
【详解】解： ∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·湖南·阶段练习）化简 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．先分析 的正负情况，再根据二
次根式的性质化简即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
1．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像 ， …这样的根式叫做复合二次根式，有一些
复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
再如：
根据上述方法解决下列问题：
(1)化简：① ；② ；
(2)化简： ；
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学科网（北京）股份有限公司(3)化简： ．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根
式的性质是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）先将 凑成完全平方式 ，逐步对内部被开方数化简，计算即可．
【详解】（1）解：① ．
② ．
（2）解：设 ，两边平方可得：
，
所以 ．
则 ．
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
（3）∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴原式 ．
2．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．设 （其中 、 、 、 均为正整数），则有
， ， ．这样可以把部分 的式子化为平方式的方法．
∴
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ______；
(2)计算： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据 ，比较对应项系数即可．
（2）根据 ，得 ；根据
得 ，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（24-25八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
______；
______；
______；
【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第 个等式（ 为正整数），并证明；
【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算： ．
【答案】（1） ； ； ；（2） （ 为正整数），证明见解析；（3）
【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的混合运算，理解题意并总结出正确的规律是
解题的关键．
（1）将各式计算后即可求得答案；
（2）根据已知等式总结规律并证明即可；
（3）利用规律将原式化简后进行计算即可．
【详解】解：（1） ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ； ； ；
（2）第 个等式为 （ 为正整数），证明如下：
；
（3）原式
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学科网（北京）股份有限公司．
4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：若无理数 的被开方数 （ 为正整数）满足
（其中 为正整数），则称无理数 的“整数区间”为 ；同理规定无理数 的
“整数区间”为 ．例如：因为 ，所以 ，所以 的“整数区间”为 ，
的“整数区间”为 ．请解答下列问题：
(1) 的“整数区间”是 ； 的“整数区间”是 ；
(2)若无理数 （ 为正整数）的“整数区间”为 ， 的“整数区间”为 ，求 的
值；
(3)实数 ， ， 满足关系式： ，求 的算术
平方根的“整数区间”．
【答案】(1)
(2)2或
(3)
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，理解题“整数区
间”的定义是解题的关键．
（1）根据“整数区间”的定义求解即可；
（2）先根据无理数 和 的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后
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学科网（北京）股份有限公司代入 求解即可；
（3）由题意可得 、 ，得出 ，进而得出 、
，两式相减可得 ，再根据“整数区间”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 的“整数区间”是 ， 的“整数区间”是 ．
故答案为： ， ．
（2）解：∵无理数 的“整数区间”为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 的“整数区间”为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵a为正整数，
∴ 或 ，
当 时， ；
当 时， ．
∴ 的值为2或 ．
（3）解：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 ，
两式相减，得 ，即 ，
∴m的算术平方根为 ，
∵ ，
∴ ，
∴m的算术平方根的“整数区间”是 ．
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