文档内容
19.1 二次根式及其性质
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解二次根式的概念.
2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方
数中字母的取值范围.
3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
【过程与方法】
经历观察、比较,总结二次根式的概念和被开方数取值范围的过
程,发展学生的归纳概括能力.
【情感态度与价值观】
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性
和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
二、课型
新授课
三、课时
1 / 12第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
会根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围，掌握二次根
式的双重非负性.
【教学难点】
运用二次根式的双重非负性解决问题.
五、课前准备
教师：课件、平方根、立方根知识等.
学生：铅笔、平方根、立方根知识等.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波就传播得越远，从而能收
听收看到广播电视节目的区域就越广.实际上，广播电视塔高 h（单
位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似
关系r=√2Rh，其中 R 是地球半径，R≈6400 km.如果两个广播电视塔
2 / 12的高分别是h km、h km，那么它们的传播半径之比是√2Rh .
1 2 1
√2Rh
2
教师问：式子√2Rh
1
表示什么?公式r=
√2Rh
中的
√2Rh
表示什么意义？
√2Rh
2
（二）探索新知
1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4-
7）
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:
（1）一个长方形的围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它
的宽为_____m．
（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边
长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 .
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：
s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为 h
=5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，那么t 为_____．
教师问：上边问题的答案是什么呢？
3 / 12学生独立思考后，教师找三名学生回答.
学生1答：（1）√65.
学生2答：（2）
√a2+1.
√h
学生3答：（3） .
5
教师问： 这些式子分别表示什么意义？
h
学生答：分别表示65， a2+1 ， 的算术平方根．
5
教师问：这些式子有什么共同特征？
学生答：①根指数都为2；②被开方数为非负数.
教师总结点拨：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根
式.二次根式是代数式.
教师强调：
（1）a可以是数，也可以是式.
（2）两个必备特征：①外貌特征：含有“√ ”； ②内在特征：
被开方数a≥0.
教师出示问题：
当x是怎样的实数时,√x−2在实数范围内有意义?
教师问：二次根式有意义的条件是什么？
4 / 12学生答：被开方数是非负数.
师生共同解答如下：
解：由x−2≥0，得x≥2.
当x≥2时，√x−2在实数范围内有意义.
教师问：当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
√x2
呢？
√x3
学生答：因为x²≥0，所以x可以为任意实数.因为x³≥0，所以x≥0.
考点1：利用二次根式的定义识别二次根式
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8）
（1）√14； （2）81； （3）√−0.8； （4）√−3x(x≤0);
√m
（5） (m,n异号，n≠0)； （6）√x2+4； （7）√315.
n
师生共同分析：
师生共同解答如下：
解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的
形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
5 / 12出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正。
考点2：利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（出示
课件10）
1 √x+3
（1） ；（2） .
√x−1 x−1
教师问：分式的分母有何要求？
学生答：分母不为0.
学生独立思考后，教师找两位学生解答.
学生1解：（1）由题意得x−1＞0，∴x＞1.
学生2解：（2）由题意得x+3≥0，x−1≠0.
∴x≥−3且x≠1.
教师总结点拨：
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列
不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为
零.
2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（出示
课件11）
6 / 12（1） ；（2） .
√−x2+2x−1 √−x2−2x−3
学生独立思考后，教师找两位学生解答.
学生1解：（1）∵无论x为任何实数， −x2+2x−1=−(x−1) 2≤0，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
√−x2+2x−1
学生2解：（2）∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为任何实数， 在实数范围内都无意义.
√−x2−2x−3
教师总结点拨：
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成
含完全平方的形式，再进行分析讨论.
教师总结点拨：（出示课件12）
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如√A有意义的条件：A≥0；
B
(2)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0；
√A
(3)多个二次根式相加如√A+√B+…+√N有意义的条件：
A≥0，B≥0，N≥0；
1
(4)二次根式与分式的和如√A+ 有意义的条件：
B
.
A≥0且B≠0
出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.
7 / 122.探究二次根式的双重非负性（出示课件14）
教师问：二次根式√a的被开方数a的取值范围是什么？
学生答：a的取值范围是非负数.
教师问：√a本身的取值范围又是什么？
学生答：√a的取值范围是非负数.
师生共同总结如下：当 a＞0 时，√a表示 a 的算术平方根，因此
；当 a=0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 .这就是说，
√a>0 √a √a=0
√a≥0(a≥0).
教师总结点拨：（出示课件15）
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于
任意一个二次根式√a，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）√a表示一个数或式的算术平方根，可知√a≥0.
二次根式的双重非负性：①二次根式的被开方数非负；②二次根
式的值非负.
考点1：利用二次根式的双重非负性求字母的值
若√a+3+|b−2|+(c−1) 2=0，求2a-b+3c的值.（出示课件16）
教师问：二次根式的值是什么数？
8 / 12学生答：是非负数.
教师问：绝对值的结果是什么数？
学生答：是非负数.
教师问：一个数的平方是什么数？
学生答：非负数.
教师提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初
中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
师生共同解答如下：
解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,
解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
出示课件17，学生自主练习，教师给出答案.
考点2：二次根式的双重非负性和不等式求字母的值
已知实数x、y满足等式y=√2−x+√x−2−5，求x2−2xy+ y2的值.
（出示课件18）
教师问：二次根式的被开方数（2-x）和（x-2）有何特点？
学生答：（2-x）和（x-2）互为相反数.
9 / 12师生共同解答如下：
{2−x≥0，
解：由题意得
x−2≥0，
解得x=2.
把x=2代入得y=-5.
所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(2+5)2=49.
师生共同归纳：若y=√a+√−a+b，则根据被开方数≥0，可得a=0.
出示课件19，学生自主练习，教师给出答案。
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧。
（三）课堂练习（出示课件20-26）
练习课件第20-26页题目，约用时20分钟
（四）课堂小结（出示课件27）
二次根式的
一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式.
概念
二次根式有
被开方数（式）为非负数
意义的条件
二次根式的
√a≥0(a≥0)
双重非负性
（五）课前预习
预习下节课（19.1第2课时）的相关内容.
10 / 12知道算术平方根的意义和 =a， =a(a ).
（√a） 2 √a2 ≥0
七、课后作业
1、教材第3页练习第1，2，3题.
2、培优练习19.1第1，6题.
八、板书设计
二次根式及其性质
第1课时
1．二次根式的定义和有意义的条件
考点1 考点2
2．二次根式的双重非负性
考点1 考点2
3.例题讲解
九、教学反思
成功之处： 我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力
求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生
始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课争取做到
先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:
11 / 12学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我增加了有拓展性
的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高.
不足之处：知识的掌握需要有一个内化的过程,不可能一蹴而就,
由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,有部分学生不能灵活运用
所学来解决相关的问题.
补救措施：在教学方案的实施上,要想方设法调动学生学习的积
极性,尽量发挥学生的主体作用,团队作用.
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