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考点 01 练 函数的性质
1．（2020·山东·高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有
成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【分析】
利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】
对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 ，总有 .
所以函数 一定是增函数.
故选：C
2．（2020·山东·高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意得到 ，再解不等式组即可.
【详解】
由题知： ，解得 且 .
所以函数定义域为 .
故选：B
3．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当
时， ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知结合函数对称性可求出 ，进而求得结果.
【详解】
解：因为定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时， ，
若 ，则 .
故 ，即 .
故选：C.
4.（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是_________．
【答案】
【分析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象与 的图象关于 轴对称，再把 的图象向
右平移1个单位长度后得到函数 的图象，则 ________.
【答案】
【分析】
根据函数的对称性及函数图象变换的原则即可求解.
【详解】
解：由题意可知 ，
把 的图象向右平移1个单位长度后得 ，
故答案为： .6.（2022·全国·高考真题（理））函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知函数 ，若 是奇函数
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A【分析】
由 是奇函数，可以得到关于a的方程组，解之即可得到a的值.
【详解】
由 是奇函数,知 ，
即 ，
由x的任意性，得 ，
得 ，解得 ．经检验符合题意.
故选：A
8．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））定义在R上的函数 满足 ，且函数
为奇函数．当 时， ，则 （ ）
A．－2 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出 的值.
【详解】
由 可得，函数 关于 对称，函数 为奇函数，所以 ，
所以函数 关于 对称，则有 ，即 ，又 ，
， 的周期为4.
.
故选：D.
9.（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【分析】
利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】
因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数
，则a，b，c三者的大小关系是___________．
【答案】 ##
【分析】
根据函数的奇偶性、单调性的性质，结合对数的单调性进行判断即可.
【详解】
显然有 ，
因为 ，
所以该函数是偶函数，
当 时，由函数的单调性的性质可知该函数单调递增，
，
，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因此 ，所以有 ，
即 ，
故答案为：
11.（2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
12．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数 的图象关于直线 对称，对 ，都有
恒成立，当 时 ，若函数 的图象和直线 ，有5个交
点，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知可得 是周期为4的偶函数，进而求得 且 ，画出 与 的
函数图象，数形结合法判断有5个交点情况下k的范围.
【详解】
由题设 关于y轴对称，即 为偶函数，
又 ，则 ，即 是周期为4的函数，
若 ，则 ，故 ，
所以 且 ，又 过定点 ，
所以 与 的部分图象如下图示：当 过 时， ；
当 过 时， ；
由图知： 时， 和直线 有5个交点.
故选：C
13．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ，设关于 的不等
式 的解集为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件分 ， 和 三种情况讨论，由 ，求出 的取值范围．
【详解】
解：显然当 时， ，不满足条件；
当 时，易知 ，当 时， ，于是 ，
而由 ，可得 ，即 ，所以 也不满足条件，
当 时，函数 ，
因为关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则在 上，函数 的图
象应在函数 的图象的下方，
如图所示，要使在 上，函数 的图象在函数 的图象的下方，
只要 即可，即 ，化简可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
14．（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则
实数 的最大值是____.
【答案】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究
入手，令 ，从而使问题加以转化，通过绘制函数
图象，观察得解.
【详解】
使得 ，
使得令 ，则原不等式转化为存在 ，
由折线函数，如图
只需 ，即 ，即 的最大值是
【点睛】
对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
有下列结论：①函数 在 上单调递增；
②函数 的图象与直线 有且仅有 个不同的交点；
③若关于 的方程 恰有 个不相等的实数根，则这 个实数根之和为 ；
④记函数 在 上的最大值为 ，则数列 的前 项和为 .
其中所有正确结论的编号是___________.
【答案】①④
【分析】
作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④；
【详解】
当 时， ，此时不满足方程；
若 ，则 ，即
若 ，则 ，即
作出函数在 时的图像，如图所示，
对于①，由图可知，函数 在 上单调递增，由奇函数性质知，函数 在 上单调递增，
故①正确；
对于②，可知函数在 时的图像与与直线 有1个交点，结合函数 的奇偶性知， 的图象
与直线 有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设 ，则关于 的方程等价于 ，解得：
或当 时，即 对应一个交点为 ；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1） ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为8；
（2） ，即 对应3个交点，且 ， ，此时4个实数根的和为4，故③错
误；
对于④，函数 在 上的最大值为 ，即 ，由函数的解析式及性质可知，数列 是首
项为1，公比为 的等比数列，则数列的前 项和为 ，故④正确.
故答案为：①④
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
