文档内容
专题10 相似三角形的经典模型（10大题型）
【题型目录】
题型一 A字型相似
题型二 8字型相似
题型三 AX型相似
题型四 母子型相似
题型五 三角形内接矩形相似
题型六 射影定理相似
题型七 旋转相似
题型八 k字型相似
题型九 折叠相似
题型十 动态相似
【经典例题一 A字型相似】
【模型解读】
①如图，在 中，点D在 上，点E在 上， ，则 ，
．
②模型拓展1：斜交A字型条件： ，图2结论： ；
③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔ ．1．（2022·江苏无锡·统考模拟预测）如图， 中， ， ， ，点 在 内，且
平分 ， 平分 ，过点 作直线 ，分别交 、 于点 、 ，若 与
相似，则线段 的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．6
【答案】B
【分析】分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.
【详解】解：若△APQ∽△ABC，
∴∠APQ=∠ABC，
∴PQ∥BC， ，
∴∠PDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠PBD=∠CBD，
∴∠PBD =∠PDB，
∴PB=PD，同理，DQ=CQ，
∵ ， ， ，
∴BC= ，
设AP=x，根据 得 ,∴AQ= ，
∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6- ，
∴PQ=PD+QD= ，
∴ ，即 ，
解得：x= ，
∴PQ= ；
若△APQ∽△ACB，
则 ，
由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，
可知四边形AMDN为正方形，
∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，
∴AM∥DN，AN∥DM，
∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，
∴△MPD∽△NDQ，
∴ ，
∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴DM=DN= =2，
∴AM=AN=2，
设PM=x，则 ，∴NQ= ，
∵ ，即 ，
解得：x= 或-2（舍），
∴AP= +2= ，
∴PQ=AP×BC÷AC= ×10÷6= .
综上：PQ的值为 .
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关
键是将三角形相似分两种情况讨论.
2．（2022·湖北武汉·统考一模）如图，在 中， ，D是 上一点，点E
在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ．
【答案】2
【分析】过D作 垂直 于H点，过D作 交BC于G点，先利用解直角三角形求出 的长，
其次利用 ，求出 的长，得出 的长，最后利用 求出 的长，最后得出
答案．
【详解】解：如图：过D作 垂直 于H点，过D作 交 于G点，∵在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴在等腰直角三角形 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做
出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
3．（2022·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分
∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求 的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt ACD中，∠ACD＝90°，
∠DA△C＝30°，AC＝6，
∴CD＝ ，
在Rt ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
△∴BC＝ ，
∴BD＝BC－CD＝ ，
∵DE∥CA，
∴ ，
∴DE＝4；
（2）解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴ ＝ ．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴ ＝ ， ＝ ．
∴ ＝ ．
∵BD＝4 ， BC＝6 ， DF＝AG，
∴ ．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
4．（2022上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习） 中， ， ，
于 ，点 在线段 上，点 在射线 上，连接 ， ，满足 ．(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，点 为 的中点，连接
，若 ， ．当 最小时，直接写出 的面积．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】（1）过点 作 于 ，通过解直角三角形可求出 的长；
（2）过点 作 交 于 ，通过 证明 ，得 ，设 ，设
，用 和 的代数式表示出 和 的长，即可解决问题；
（3）取 的中点 ，连接 ， ，其中 交 于 ，过 作 于 ，过点 作
于 ，设 ，可表示出 和 的长，再根据 的长，可求出 ，可求得 ，则点 在以
为圆心，2为半径的圆上运动，且点 与点 重合时， 最小，再利用相似三角形的性质求出 的长
即可．
【详解】（1）如图，过点 作 于 ，则 ，在 中， ， ，
， ，
， ， ，
，
又 ， ，
，
在 中，由勾股定理得：
，
；
（2）如图，过点 作 交 于 ，则 ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，，
在 与 中，
，
，
，
，
，
设 ，
则 ，
设 ，
则 ，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，取 的中点 ，连接 ， ，其中 交 于 ，过 作 于 ，过点 作
于 ，设 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
点 在以 为圆心，2为半径的圆上运动，
点 与点 重合时， 最小，
是等腰直角三角形， ，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
当点 与点 重合时， ，
，
，
，，
，
，
，
综上所述：当 最小时， 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形
的判定与性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，对学生的逻辑思维能力要求较高，属于中考压轴
题．
【经典例题二 8字型相似】
【模型解读】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ ；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ ．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔ ．1．（2022·山东聊城·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点， ，连接BE
交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断 ABG∽△CFG， ABE∽△DFE，于是根据相似三
角形的性质和AE＝2ED即可得结果． △ △
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴ ＝
∵△ABE∽△DFE，
∴ ＝ ，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的
判定和性质进行解题．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在 中，点D在BC上，
，连接AD， ，则线段AD的长为 ．
【答案】
【分析】过 作 ，交 的延长线于 ，过 作 ，交 的延长线于 ，可求 ，
，设 ，可证 ，由 即可求解．
【详解】解：如图，过 作 ，交 的延长线于 ，过 作 ，交 的延长线于 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
整理得： ，
解得： ， (舍去)，
，
故答案： ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性
质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键．
3．（2023·江苏南通·统考一模）正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点，
将 沿 翻折得到 ，直线 交射线 于点 ．
(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说明理由；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，是定值
(3)
【分析】 根据翻变换的性质可以得到 ，加上对顶角相等得到的
，从而得到 ，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到
，加上对顶角相等得到的 证明出： ，最终得到对应角相等
得出结果．
如图 中，连接 ， 证明 是等腰直角三角形，可得结论；
证明 是等边三角形，可得结论．
【详解】（1）如图 中，设 交 于点 ．
四边形 是正方形，
， ，
，
由翻折变换的性质可知， ，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（2） ，是定值．
理由：如图 中，连接 ， ．
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
同法可证， ，
，
，
，
，
，
，；
（3）如图 中，当 时，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三
角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（2023下·山东济南·九年级校联考期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，交 轴于点 ， 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接 ，交线段 于点 ，若 ，求 的值．
(3)如图2，已知抛物线的对称轴交 轴于点 ，与直线 ， 分别交于 、 两点．试问 是否
为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或2
(3) 为定值，【分析】（1）利用待定系数法，将 两点坐标代入解析式求解即可；
（2）构造相似三角形 和 ，利用直线 的解析式求出点 坐标以及点 关于 的代数式，
利用相似三角形的性质列方程求解即可；
（3）通过辅助线构造直角三角形并用含有 的代数式表示出 和 ，再分别用两个三角函
数表示 ，代入 中，最后化简即可．
【详解】（1）抛物线 与 轴交于 ， 两点
∴ ，
解得：
∴抛物线的表达式为： ．
（2）如图1，过点 作 轴，交 的延长线于点 ，过点 作 轴交 于点 ．则
，
∴
令 ，则 ，
∴
∵直线 过点 和
设直线 ：∴直线 的解析式为： ．
∵ ， 轴
∴当 时， ，
∴
设 ，则
∴
∵
∴ ，
解得 ， ．
∴当 或2时， ．
（3） 为定值，
理由如下：
如图2，过点 作 轴交 轴于点 ．∵ ， ，对称轴是
∴
设
则 ， ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴
∴
【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形的判定及性质以及三角函数，熟练掌握待定系数法求解析式，
相似三角形的判定和性质以及运用三角函数解直角边是解决本题的关键．【经典例题三 AX型相似】
【模型解读】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD
于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴ ，
故选：C．
2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知 中， ， （如图）．以线段 为边向外作等边三角形 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交线段 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）连接 ，交 于点 ．
①若 ，求 的长；
②作 ，垂足为 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②证明见解析．
【详解】（1）∵ 是等边三角形
∴ ，
在 中，
∴
∵点 是线段 的中点
∴
∴ 是等边三角形
∴ ，
∴
∴
∴
∴四边形 为平行四边形；
（2）①如图，连接 ，交 于点
∵
∴
∴∵ ，
∴
∵
∴ ；
②如图，作 ，垂足为
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形 中，点 是 的中点，在直线
上截取 ，连接 ， 交 于 ，则 ___________．
【答案】 ； ．
【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD= AE，
∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+ AE= AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD= AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE- AE= AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为： 或 ．
4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线BC ⊥AC于C 交AB的延长线于B．
1 1 1 1
（1）请你探究： ， 是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 一定成立吗？
并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝ ，DE∥AC交AB于点E，试求 的
值．
【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，
因为BC ⊥AC于C 交AB的延长线于B，
1 1 1 1
∠CAB＝60°，∠B＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
1
AD＝BD，
1
综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：
如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
线段AD为其内角角平分线
∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴ ，
即对任意三角形结论仍然成立；
（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8， ，∵AD为△ABC的内角角平分线，
∴
∵DE∥AC，
∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴
【经典例题四 母子型相似】
【模型解读】
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．
1．（2022·江苏南通·统考一模）如图， 中， ， ， ，点 ， 分别在 ，
上， ， ．把 绕点 旋转，得到 ，点 落在线段 上．若点
在 的平分线上，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知 ，结合定理两边成比例且夹角相等
的三角形相似证明 PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接
AD，根据PQ AB△和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和
DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，∴AC＝ ＝ ＝12．
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
∵∠C＝∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ＝∠B，
∴PQ AB；
连接AD，
∵PQ AB，
∴∠ADQ＝∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ＝∠DAB，
∴∠ADQ＝∠DAQ，
∴AQ＝DQ．
∵PD＝PC＝3x，QC=4x
∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.
∴DQ＝2x．
∵AQ＝12﹣4x，
∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，
∴CP＝3x＝6．
故选C．
【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，
熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键．
2．（2022上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图， 中，点 在边 上，且，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出 ，
代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ．
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足
，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1) 为 的理想点,理由见解析
(2) 或
【分析】（1）由已知可得 ，从而 ， ，可证点 是 的“理想点”；
（2）由 是 的“理想点”，分三种情况：当 在 上时， 是 边上的高，根据面积法可求
长度；当 在 上时， ，对应边成比例即可求 长度； 不可能在 上．
【详解】（1）解：点 是 的“理想点”，理由如下：
是 中点， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
点 是 的“理想点”；
（2）① 在 上时，如图：
是 的“理想点”，
或 ，
当 时，
，
，
，即 是 边上的高，当 时，同理可证 ，即 是 边上的高，
在 中， ， ， ，
，
，
，
② ， ，
有 ，
“理想点” 不可能在 边上，
③ 在 边上时，如图：
是 的“理想点”，
，
又 ，
，
，即 ，
，
综上所述，点 是 的“理想点”， 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
4．（2023·安徽合肥·统考一模）如图1， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到
，使点 落在 的点 处， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若点 ， ， 在同一条直线上，如图2，求 的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到 ，根据 ，
就能得到 ，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上 ，就可以通过边角边证明两个
三角形全等．
（2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到 ，然后用等角对等边即可得到 ，又可
以从前面的两个全等中得到 ， 从而得到 ，那么 和
就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即 ，那么内错角
相等，两直线平行即可证结论．
（3）根据 ， ， 在同一条直线上，可以证明 和 全等，即可得到 ，那么
就是中位线，则 ，加上第二小题结论就能得到四边形 是平行四边形，那么 ，然后
通过三角形外角的性质，可以证得 ，就能证 和 是一组子母型相似，然后根据
相似比可得最终答案．
【详解】（1）解： 将 绕点 逆时针旋转得到 ，
，
，
，，
，
，
在 和 中，
，
．
（2）解：由（1）得 ， ，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
又 ，
，
即 ，
，
（3）解：在 和 中，
，
，，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学
会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相
似所需要的条件是解题的关键．
【经典例题五 三角形内接矩形相似】
【模型解读】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，1．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图， 中， ，点E在 上，
于点F， ，已知 的面积为a， 的面积为b，则矩形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明四边形 是矩形，得到 ，进而证明 ，得到
，再根据三角形面积公式得到 ，据此即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为a， 的面积为b，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形面积，证明，得到 是解题的关键．
2．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在 中， ， ， ．
（1）若四边形 为 的内接正方形，则正方形 的边长 为 ；
（2）若四边形 为 的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形 的边长 为 ．
【答案】
【分析】（1）根据 ，判定 ，根据矩形的性质，相似三角形的相似比等于对应高之
比计算即可．
（2）设 ，根据 ，判定 ，用x表示 ，构造面积的二次函数，根据二次函
数的最值判定计算即可．
【详解】解：（1）如图，过 作 于 ，交 于 ，
∵正方形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即正方形的边长为 ．
（2）如图，过 作 于 ，交 于 ，
∵矩形 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
同理： ，
∴ ，则 ，
设矩形的面积为y， 则 ．
∴当 时，面积最大，此时， ，
故当矩形 的面积最大时，这个矩形的边长 ．
故答案为： ，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键．
3．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在 中， ，高 ．矩形 的一边
在 边上，E、F两点分别在 、 上， 交 于点H．
(1)若矩形 为正方形，求该正方形的边长．
(2)设 ，当x为何值时，矩形 的面积最大？并求其最大值．
【答案】(1)
(2)当 时,矩形 的面积有最大值
【分析】 根据正方形的性质可知 ，利用相似三角形的性质可得 ，可得
的值；
根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于 的长的函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设该正方形的边长为 ，
∵矩形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
，
，
，答：该正方形的边长为 ．
（2）由(1)中的 得 ，
，
，
，
，
当 时,矩形 的面积有最大值 ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解
答此题的关键．
4．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图①，在 中， ， ， ，
，动点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，过点 作 的垂线交
于点 ，以 为边向上作矩形 ，点 在 或 的延长线上， ，当点 与点 重合
时点 停止运动，设点 运动的时间为 （秒）．
(1)求 的长；
(2)当 平分矩形 的周长时，求 的值；
(3)当点 在 的直角边的垂直平分线上时，直接写出 的值；(4)如图②，当点 在 的延长线上时， 、 分别交边 于点 、 ，当 与图中某个三角形
全等时，求 的值．
【答案】(1)
(2) 秒
(3) 秒或 秒
(4) 秒或 秒或 秒
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）连接 ，取 的中点 ，则 ，当点 在 上时，先证明 ，得
出 ，从而说明 平分矩形 的周长，再证明 、 ，由相似
三角形的性质可得出 ， ，然后通过 建立关于 的方程，求解即可；
（3）分两种情况讨论即可；
（4）分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
（2）如图，连接 ，取 的中点 ，则 ，
当点 在 上时，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时 平分矩形 的周长，
∵动点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，过点 作 的垂线交 于点 ，
，点 运动的时间为 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵当点 与点 重合时点 停止运动，
∴此时 ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （秒）．
∴ 的值为 秒．
（3）①当点 在 的直角边 的垂直平分线上时，可得：
，
∴ ，
∴ （秒）；
②当点 在 的直角边 的垂直平分线上时，可得：，
∴ ，
∴ （秒）．
综上所述， 的值为 秒或 秒．
（4）∵在 中， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在 的延长线上，
∴ ，
①当 时，如图，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （秒）；
②当 时，如图，
∴ ，
∴∴ ，
∴ （秒）；
③当 时，如图，
∴ ，
∴ ，
∴ （秒）．
综上所述， 的值为 秒或 秒或 秒．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直
平分线的性质，等积法等知识，运用了分类讨论和方程的思想．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
问题．【经典例题六 射影定理相似】
【模型解读】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常
见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
在
（1） 正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在 和 内均有射影定理模
型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．
1、（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以
ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A. B．2 C. D．2【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADF＋∠FCB＝180°.
根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，
∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，
∠DFE＝∠EFC＝90°，
∴∠FDE＝∠FEC，
∴△DEF∽△ECF，
∴＝，
∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，
∴EF＝.故选A.
2、（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为
D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，
∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
故选：A．
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
3、（2022秋•汝州市校级月考） 中， ， ，点E为 的中点，连接 并延长
交 于点F，且有 ，过F点作 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【详解】证明：（1） ，
，
，
，
在 和 中， ，
；
（2） 点 为 的中点，
，
由（1）已证： ，
，
设 ，则 ， ，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又 ，
，
即 ；
（3）由（2）已证： ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
由（2）可知，设 ，则 ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
，
则在 中， ．
【经典例题七 旋转相似】
【模型解读】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则
，且相似比为 ， 与 的夹角为 ．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点
及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示， ，则 ， ，且 ．
1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，把
以 为中心顺时针旋转，点 为射线 、 的交点．若 ， ．以下结论：
① ；② ；
③当点 在 的延长线上时， ；
④在旋转过程中，当线段 最短时， 的面积为 ．
其中正确结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明 即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明 得出
，即可判断③；以 为圆心， 为半径画圆，当 在 的下方与 相切时， 的值最
小，可得四边形 是正方形，在 中 ，然后根据三角形的面积公式
即可判断④．
【详解】解：∵ 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
设 ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，故②正确；
当点 在 的延长线上时，如图所示
∵ ， ，
∴
∴
∵ ， ．∴ ，
∴
∴ ，故③正确；
④如图所示，以 为圆心， 为半径画圆，
∵ ，
∴当 在 的下方与 相切时， 的值最小，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ 取得最小值时，
∴
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形
的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2022上·福建三明·九年级统考期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF
为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据正方形的性质可知 ，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由
可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由 ， ，两
边对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知 ，
可得DG平分 ，由正方形可知 是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组
角对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得 ，则 ，又
有 ，则结论③错误．
【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故结论①正确；
∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
∴△ACF∽△ADG．
故结论②正确；
由△ACF∽△ADG可知 ，
∴DG平分 ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴DG⊥AC．
故结论④正确；
∵ ， ，∴△ACF∽△AFH，
∴ ，
∴ ．
∵在等腰直角 中， ，
∴ ，
故结论③错误，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定
理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．
3．（2022下·山东济南·八年级统考期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1， 中， ， ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰
作等腰 ，且 ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2， 中， ， ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边
作等腰 ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方
形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 ， ，求正方形ABCD的边
长．
【答案】(1)
(2)(3)3
【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明 ，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ
的数量关系；
（2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证
明 ，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系；
（3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出 和 都是等腰直角三角形，再利
用与第二问同样的方法证出 ，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正
方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：判断 ，理由如下：
∵ 是等腰直角三角形， 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：连接BD，如图所示，
∵四边形 与四边形 是正方形，DE与PF交于点Q，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，设 ，则 ，
又∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∴ ，解得 （舍去）， ．
∴正方形 的边长为3．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角
形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．
4．（2022上·河南周口·九年级统考期末）观察猜想
(1)如图1，在等边 中，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接 ，以 为边作等边
，连接 ，则 与 的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边 中，点M是 延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中
结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰 中， ，点M是边 上任意一点（不含端点B、C），连接 ，以 为
边作等腰 ，使顶角 ．连按 ．试探究 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 成立
(3)
【分析】（1）利用 可证明 ，继而得出结论；
（2）也可以通过证明 ，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出 ，从而判定 ，得到 ，根据 ，
，得到 ，从而判定 ，得出结论．
【详解】（1）证明： 、 是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，，
，
．
（2）解：结论 仍成立；
理由如下： 、 是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）解： ；
理由如下： ， ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
，
又 ， ，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的
关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．【经典例题八 k字型相似】
【模型解读】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
1．（2022上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，边长为10的等边 中，点D在边 上，且 ，
将含 角的直角三角板（ ）绕直角顶点D旋转， 分别交边 于P、Q，连接 ，
当 时， 的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B【分析】如图，过点 作 于 ，根据等边三角形，和含 角的直角三角形，易证得
，从而求得线段 ， ， ， ， ， ， 的长度，最后在 中利用
勾股定理可以求得 的长度．
【详解】
如图，过点 作 于 ，
在等边 中， ， ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠A=∠B=60°，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
已知
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ,
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形
是解题的关键．2．（2022·湖北襄阳·统考一模）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上， ，将
沿直线DE翻折得到 ，当点F落在边BC上，且 时， 的值为 ．
【答案】
【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据
BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，
根据S ADFE= =S CEF=-S ABC-S CEF，进而可求 ．
四边形
△ △ △
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
设CF= x(x > 0)，∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵△BDF∽△CFE，
∴ ，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10× =5 ，
∴S ABC= ，
△
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°= ，
∴S BDF= ，
△
∵△BDF∽△CFE，
∴ ，
∵S BDF= ，
△∴S CEF= ，
△
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，
∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
∴S ADFE= =S CEF=-S ABC-S CEF
四边形
△ △ △
= ，
∴ ．
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性
质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．
3．（2022·广东佛山·九年级校联考期末）如图， ， ，E是 上一点，使得 ；
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)当 时，请写出线段 之间数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)线段 之间数量关系： ，理由见解析．
【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型．
（1）先根据同角的余角相等可得 ，利用两角相等证明三角形相似即可；（2）先根据勾股定理得出 ，再根据 ，列比例式可得结论；
（3）先根据 ，证明 ，可得 ，证明 ，
则 ，同理可得： ，相加可得结论．
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
， ，
，
，
．
（2）解： 中，
， ，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
．
（3）解：线段 之间数量关系： ，
理由是：如图，过 作 于 ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
．
4．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开
展数学活动．有一张矩形纸片 ，点E在射线 上，现将矩形折叠，折痕为 ，点A的对应点记
为点F．
(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形 的边 上，直接写出一个与 相似的三角形；
(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形 的边 的下方时， 、 分别交 于点M、N，过点F
作 ， ，垂足分别为点G、H，当点G是 的中点时，试判断 与 是否相似，
并证明你的结论；
(3)问题解决：在（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2)相似，证明见解析；(3) 或 ．
【分析】（1）四边形 是矩形， ， ，由折叠的性质可知，
， ， ， ；
（2）分别延长 、 交于点P，四边形 是矩形， ， ，
，四边形 、四边形 、四边形 都是矩形， ，
，由折叠的性质可知， ， ， ，
， ， ， ，点G是 的中点， ， ， ，
， ；
（3）由（2）可知， ， ，由折叠的性质可知， ，
， ， ，分情况讨论，①当点E在 上时，
， ， ，②当点E在 的延长线上时， ，
， ．
【详解】（1）解： 与 相似
证明：∵四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质可知， ，
，
，
；
（2）解： ，
理由：如图，分别延长 、 交于点P，∵四边形 是矩形，
，
，
，
∴四边形 、四边形 、四边形 都是矩形，
，
，
由折叠的性质可知， ，
，
，
，
，
， ，点G是 的中点，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由（2）可知， ，
，
由折叠的性质可知， ， ，
，，
①当点E在 上时，如图，
，
，
，
②当点E在 的延长线上时，如图，
，
，
．
综上所述， 的长为： 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，相似的性质和判定，三角函数等知识点，属于压轴
题，难度较大，熟练掌握相关性质定理和分类讨论思想是解题的关键．【经典例题九 折叠相似】
1．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿 ， 折叠，点D，E恰好重合
于点M．记 面积为 ， 面积为 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于点 ，则 ，根据相似三角形的性质
得出 ，设 ，则 ，根据折叠的性质及矩形的性质推出 ，
， ， ，则 ，根据三角形面积公式求解即
可．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，过点 作 于点 ，
，
，
，
，，
设 ，则 ，
由折叠可知， ， ， ， ， ，
，
四边形 是矩形，
， ，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的
性质是解题的关键．
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形 中， ，点P为射线 上一个动点．连接 ，
把 沿 折叠，当点A的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为
．
【答案】 或【分析】分两种情况：当点 落在图①的位置时，当点 若在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即
可．
【详解】解：∵点P在射线 上运动，故分两种情况；
情况一：当点 落在图①的位置时，由正方形 可知， ，因为点 落在 的垂直平分线
上，故 ，由折叠可知， ，
在 中，由勾股定理可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故 ，
∴ ；
情况二：当点 若在图②的位置时，由正方形 可知， ，
∵点 落在 的垂直平分线上，
∴ ，
由折叠可知， ，在 中，由勾股定理可知， ，
∴ ，
由折叠可知， ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得， ，
即 ，
解得： ，
即 ，
∴ ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了一线三垂直模型、三角形相似应用、勾股定理、正方形的性质，解题的关键是熟
练掌握直角三角形边角之间的关系，注意分类讨论．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将边长为3的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点
落在边 上（点 不与点 ， 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ，
交于点 ， ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线内错角相等和翻折前后对应角相等，等量代换即可证明；
（2）利用相似列出关系式 ，利用边的关系代入到关系式可求出．
【详解】（1）证明：点 、 关于线段 对称，由翻折的性质可知：
，
是正方形，
，
，
（等量代换）．
（2）解：设 ，则 ，设 ，则 ．
在 中， ，
，
．即 ．
，
，
又 ，
， ，
．
， ，
整理得： ，
．．
【点睛】本题考查了翻折的性质以及相似三角的判定，勾股定理的应用，解题的关键是掌握一线三垂直的
相似是本题突破口．
4．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知 中， ，E是 上的一点，
，点D是线段 上的一个动点，沿 折叠 ，点C与 重合，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若点F是 上一点，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）折叠，得到 ，根据 的值，求出 的值，进而得到 ，再根据
，即可得证；
（2）根据相似的性质得到 ，得到 ，得到当 三点共线时，
的值最小为 的长，过点 作 于点 ，易得 ，求出 的长，利用勾
股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：∵沿 折叠 ，点C与 重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴当点E，点 ，点F三点共线时， 有最小值为 的长，
如图，过点E作 于H，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相似三角
形的判定定理，证明三角形相似．
【经典例题十 动态相似】
1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，点 、 分别是边
、 的中点，点 是在以 为圆心、以 为半径的圆弧上的动点，则 的最小值等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在 上截取 ，连接 ， ， ，证明 ，可得 ，则
，当 、 、 三点共线时， 的值最小，求出 即为所求．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ， ， ，
∵点 、 分别是边 、 的中点，点 是在以 为圆心、以 为半径的圆弧上的动点， ，
，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值等于 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．添加恰当辅助线构造相似
三角形是解题的关键．
2．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ．动点M从点A出发，沿
边 向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边 向点C匀速运动，连接 ．动点M，N同时出发，
点M运动的速度为 ，点N运动的速度为 ，且 ．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．
在运动过程中，将四边形 沿 翻折，得到四边形 ．若在某一时刻，点B的对应点 恰好
与 的中点重合，则 的值为 ．【答案】
【分析】如图，设 交 于点Q，设 ，.利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三
角形的性质求出 （用k表示），可得结论．
【详解】解：如图，设 交 于点Q，设 ，
，
∴可以假设 ， ，
点 是 的中点，
，
∵四边形 是矩形，
， ， ，
在 中， ，
，，
， ，
由翻折的性质可知 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找
相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
3．（2023·江苏淮安·校考二模）如图：已知菱形 中， ，点 为边 上一动点，连接
交 外角角平分线于点 ，连接 ， ， 交 于 点．(1)如图 ，①设 的度数为 ，直接写出 的取值范围______；
②当点 为 中点时，连接 ，求证： ；
(2)如图 ，过点 作 的平行线 ，且使 ，连接 ，
①证明： ；
②当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)（1） / ； 见解析
① ②
(2)（2）①见解析；②
【分析】（1）①当点 与点 重合时， 的度数最大，当点 与点 重合时， 的度数最小，
根据菱形的性质求出这两种情形时 的度数，即可得到 的取值范围；
②如图，过点 作 ，根据平行线的性质及全等三角形的判定得到 ，证得
，再由菱形的性质及全等三角形的判定，得到 ，证得 ，最后根
据 即可得出结论；
（2）①根据平行四边形的判定证得四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质证得 ，
可求出 ，再由菱形性质得 ， ，由全等三角形判定，证得
，然后由全等三角形性质即可得出结论；
②如图，连接 交 于点 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据菱形的对角
线性质得到 ， ， ， ，由三角函数求出 ，
，再由平行线的性质证得 ，得到 ，
，再由平行线性质求出 ，进而求出 ，证得 ，
然后由平行线的判定及相似三角形的判定，证得 ， ，根据相似三角形的性质，得到 ， ， ，代入已知值即可求出 的值．
【详解】（1）解： 当点 与点 重合时， ， 的度数最大，
当点 与点 重合时， 的度数最小，如图：
，四边形 是菱形，
， ，
， ，
是 的角平分线，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
的取值范围是 ，
故答案为： ；
证明：过点 作 ，如图：
，四边形 是菱形，
，，
是 的角平分线，
，
是 中点，
，
，
，
，
，
， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
．
（2）解：①连接 ，如图：
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
， ，
，
；连接 交 于点 ，交 于点N，如图：
， ， ，
，
， 是菱形 的对角线，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，，
， ，
为 中点，
，
，
，即 ，
解得 ．
【点睛】本题综合考查了菱形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判
定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及特殊三角函数值，熟练掌握相关的判定和性质
是解题关键．
4．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）（1）特殊发现：
如图1，正方形 与正方形 的顶B重合， 、 分别在 、 边上，连接 ，则有：
① ______；
②直线 与直线 所夹的锐角等于______度；
（2）理解运用
将图1中的正方形 绕点B逆时针旋转，连接 、 ，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过 边的中点O， ，直接写出 的长等于______；
（3）拓展延伸
如图4，点P是正方形 的 边上一动点（不与A、B重合），连接 ，沿 将 翻折到
位置，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接 ，若 ，则 的值是否是定值？
请说明理由．【答案】（1）① ；② ；（2）①成立，见解析；② ；（3）是定值，3，见解析
【分析】（1）①连接 ， ，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）①连接 ， ，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
②连接 ， ，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；
（3）过点 作 于点 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，利用折叠的性质，正方形的性
质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：（1）①连接 ， ，如图，
∵四边形 和四边形 为正方形，
∴ ，
∴B，F，D三点在一条直线上．
∵ ， ，
∴ 和 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
②∵B，F，D三点在一条直线上， ，
∴直线 与直线 所夹的锐角等于45°．
故答案为： ；
（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：
连接 、 ，如图，∵四边形 和四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ 和 为等腰直角三角形，
， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
延长 ，交 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即直线 与直线 所夹的锐角等于 ，
∴（1）中的结论仍然成立；
②连接 ， ，如图，
∵四边形 为正方形，
∴ ．
由①知： ，∴ ．
∵ 边的中点为O，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（3） 的值是定值，定值为3，理由：
过点 作 于点 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，如图，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
由折叠的性质可得： ， ， ， ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ， ，
∴ ．
由（2）①的结论可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即： 的值是定值，定值为3．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠
的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【重难点训练】
1．（2022上·江西景德镇·九年级校联考期中）如图，边长为10的等边 中，点D在边 上，且
，将含 角的直角三角板（ ）绕直角顶点D旋转， 分别交边 于P、Q，连接 ．当 时， 长为（ ）
A．6 B． C．10 D．6
【答案】B
【分析】证明 ，由相似三角形的性质得出 ，求出 ，过点Q作
于点M，由勾股定理可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点Q作 于点M，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证
明 是解题的关键．
2．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，矩形 的边长 ， ，E为 的中点，F
在线段 上，且 ， 分别与 、 交于点M、N，则 ＝（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后
根据勾股定理求出 的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助
线，求出 与 的长是解题的关键．
【详解】解：过F作 于H，交 于O，如图所示：
，
∵ ，E为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，将矩形 对折，得
到折痕 ，沿着 折叠，点 的对应点为 ， 与 的交点为 ；再沿着 折叠，使得 与
重合，折痕为 ，此时点 的对应点为 .下列结论：① 是直角三角形；② ；③
；④ ；其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到 ， ，于是得到
，求得 是直角三角形；设 ，则 ，由相似三角形的
性质可得 ，可求 ，可判断②③；由折叠的性质和平行线的性质可得
，可证 ，则可解答．
【详解】解： 沿着 折叠，点 的对应点为 ，
，
沿着 折叠，使得 与 重合，折痕为 ，，
，
，
是直角三角形；故①符合题意；
，
设 ，则 ，
将矩形 对折，得到折痕 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，故②符合题意；
，
沿着 折叠，使得 与 重合，
，，故③符合题意；
，
，
沿着 折叠，使得 与 重合，
，
，
，故④不符合题意；
综上：①②③符合题意，共3个，
故选：B．
【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性
质，矩形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
4．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图， 为等腰直角三角形， 于点
， 于点 ，连接 ，设 ，若 ，则 可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 于点 ，设 ，则 ，根据勾股定理定理求得
，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理定理可得 ，
， ，证明 ，根据相似三角形的性质可得
，求得 ， ，证明 ，根据相似三角形的性质可得，
求得 ， ，从而得到 ， ，然后根据
，证明 ，最后根据相似三角形的性质可得 ，即可得
出答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ， 即 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 可表示为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．通过作辅助线构造相似
三角形是解题的关键．
5．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，在 中， ，D是 的中点，过点D作
的平行线，交 于点E，作 的垂线，交 于点F．若 ，且 的面积为 ，则 的长是
．【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理等，过点A作 于点H．根据D是 的中点，
，可得 ，即 ．同理可得 ，即 ．根据 的面积为 ，
可得 ，进而有 ，结合面积可得 ．结合 ，
可得 ，问题随之得解．
【详解】过点A作 于点H．
∵D是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ．∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，将矩形 分别沿
翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质和翻折的性质，
得到 ， ，可得 ，从而证明
，即可求得 ，同理可得 ，即可求得 的值，熟练利用翻折的性质得到
是解题的关键．【详解】解： 将矩形 分别沿 翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
即可得 ，
得到 （舍去负值），
同理可得 ，
，
即 ，
，
故答案为： ．
7．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，折叠边长为 的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落
在 处，分别延长 、 交 于点 、 ，若 是 边的中点，则 ， ．
【答案】
【分析】连接 ，可证得 ，则 ，设 ，则 ，利用勾股定理求得 ，再由 ，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
点 是 边的中点，
，
由折叠得： ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
在 中， ，
，
解得： ，
， ， ，
，，
，
，
，即 ，
．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判
定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
8．（2023上·四川成都·九年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在矩形 中， ，
，点E，F分别在边 上，且 ，沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线
上，点B的对应点为 ，点M为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】作 于H，作 于L，首先利用勾股定理得 的长，再根据 ，求
出 的长，再利用 ，得 ，则当E、M、L三点共线时， 最小，最
小值为 的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作 于H，作 于L，在矩形 中， ， ，
， ，
，
∵沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线 上，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当E、M、L三点共线时， 最小，最小值为 的长，
∴ ，∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段
最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）在正方形 中， 为 边上一动点，将 沿 折叠，
得到 ，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ．
(1)如图①，试探究当 的度数为多少时， 为 的中点？说明理由；
(2)如图②，当 时，若 ，求正方形 的边长；
(3)如图③，延长 交 边于点 ，连接 交 于点 ，记正方形的面积为 ， 的面积为 ，
当 时，求 的值．
【答案】(1)当 时， 为 的中点，理由见解析
(2)正方形 的边长为10；
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得 ， ，而 ，可证明四边形 是
矩形，则 ，由折叠得 ， ，从而利用中点的定义得到
， ，所以 ，即当 时，
为 的中点；
（2）先证明 ，得 ，则 ，而 ，所以，则 ，求得 ，则 ，再根据勾股定理求得
，所以 ，则 ，所以正方形 的边长为10；
（3）先根据 证明 ，得 ，再证明 ，得 ，由
，得 ，则 ，所以 为 的中点，设
， ，由勾股定理得 ，求得 ，则
，所以 ．
【详解】（1）解：当 时， 为 的中点，
理由： 四边形 是正方形，
， ，
∵ ，
，
四边形 是矩形，
，
∵ 为 的中点，
∴ ，
由折叠得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ,
当 时， 为 的中点；
（2）解： ， ，，
，
，
，
，
，
，
解得 或 （不符合题意，舍去），
， ，
，
，
正方形 的边长为10；
（3）解： ， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，为 的中点，
设 ， ，则 ，
， ，
，
，
解关于 的方程得 ，
， ，
， ，
，
，
，
的值为 ．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形中
角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形
的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
10．（2023上·湖南·九年级专题练习）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做
“等对角四边形”．
(1)已知四边形 是“等对角四边形”， ， ，则 =________°，=_________°．
(2)如图1，在 中， ， 为斜边 边上的中线，过点 作 垂直于 交 于点 ，
试说明四边形 是“等对角四边形”．
(3)如图2，在 中， ， ， ， 平分 ，点 在线段 延长线上，以
点 为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段 的长．
【答案】(1)140，70
(2)见解析
(3)2或
【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形 是“等对角四边形”时，可分两种情况进
行讨论：①若 ，则 ，再利用四边形内角和定理求出 ；②若
，则 ，再利用四边形内角和定理求出 ；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，由等边对等角得出∠DCB=∠B，
再由 ， ，利用同角的余角相等得出 ，又
，根据“等对角四边形”的定义，即可证明四边形 是“等对角四边形”；
（3）根据“等对角四边形”的定义，当四边形 为“等对角四边形”时，可分两种情况进行讨论：①
若 ，根据 证明 ，利用全等三角形对应边相等得出
，那么 ；②若 ，先利用勾股定理求出
，再根据角平分线定理得出 ，求出 ，再证明
，根据相似三角形对应边成比例即可求出 ．
【详解】（1）∵四边形 是“等对角四边形”， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）如图：在 中，
∵ 为斜边 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是“等对角四边形”；
（3）①若 ，如图2．
∵ 平分 ，
∴ ,
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；②若 ，如图．
在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
综上所述，线段 的长为2或 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形，等腰三角形的性质，相似
三角形的判定与性质，勾股定理应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题
的关键．
11．（2023上·四川成都·九年级统考期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究．
如图1，将矩形纸片 折叠，使点C的对应点 始终落在对角线 上，点B的对应点记为 ，折痕
与边 分别交于点E，F．【初步感知】
（1）如图2，当点 与A重合时，连接 ，四边形 是哪种特殊的四边形，并证明；
【深入探究】
（2）如图3，当 ， ，点 ， ，D在同一条直线上时，求 的长．
【答案】（1）菱形，证明见详解（2）
【分析】（1）根据折叠的性质得出 根据角的和差推出
，根据矩形的性质得出 ，结合平行线的性质及等腰三角形的判定定理推
出 ，利用 证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，则 ，根据“一
组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形 是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四
边形是菱形”即可推出四边形 是菱形；
（2）设 与 交于点M，过点 作 于K，根据折叠的性质得出
，根据相似三角形的判定与性质得出
，根据矩形的性质及勾股定理求出 ，则 ，根据题意推出 ，
根据相似三角形的性质推出 ，根据勾股定理求出 ，根
据点 ， ，D在同一条直线上，推出 ，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当点 与A重合时，四边形 是菱形，理由如下：
由折叠性质得
又 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
解：如图3，设 与 交于点M，过点 作 于K，
由折叠得： ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 是矩形中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵点 ， ，D在同一条直线上，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等
腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点多，综
合性强，难度较大．
12．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图1，在矩形 中， ，点 是对角线
上任意一点，连接 ，过 点作 ，且 ，连接 ．(1)证明： ．
(2)四边形 可能为矩形吗？如果可能，求出此时四边形 的面积，如果不可能，请说朋理由；
(3)如图2，作 ，垂足为 ，当点 从点 运动到点 时，直接写出点 运动的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形 可能是矩形，此时四边形 的面积为
(3)8
【分析】（1）根据矩形性质和已知条件可得 ，即可证明 ；
（2）结合（1） ，证明四边形 为矩形，再根据勾股定理即可解决问题；
（3）根据题意画出图形证明点Q在直线 上运动，由（2）知：图3中四边形 是矩形，根据矩
形对角线相等即可得点Q运动的距离．
【详解】（1）∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 可能为矩形，理由如下：
由（1）得 ，
∴ ，∴ ，
当 时，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）点Q运动的距离为8，理由如下：
如图2，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图3，
∴ ，
因此点Q在直线 上运动，
由（2）知：图3中四边形 是矩形，
∴ ．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，动点问题，勾股定
理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
13．（2023上·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，在正方形 中，点 是边 上的一点（不与
， 重合），点 在边 的延长线上，且满足 ，连接 ， ， 与边 交于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求证： ；
(3) 交 于点 ，若 ，求 的值（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得 ；
（2）由题意可得 ， ，即可证 ，即可证
；
（3）如图，过点 作 交 于点 ，设 ，可得 ， ，由
，可得 ，可得 ，从而可得结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
；（2）证明： ， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
．
， ，
；
（3）如图，过点 作 交 于点 ，设 ，
，
，
，
即 ， ，
，
∴ ， ，
，
， ，．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的
应用，综合运用相关知识是解本题的关键．
14．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知： 中， ， ，时线 ，
点D在射线 上，连接 ，将线段 绕点D逆时针旋转 得到 ．
(1)如图1，连接 并延长交射线 于点F，若 ，当 时；
① °；
②求 的长；
(2)如图2，连接 交 于点G，若 ， ，试求 的面积．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①由 ， ，得 ，所以
，于是得到问题的答案；
②作 于点 ，由 ， ，得 ，则 ，所以
， ，则 ，所以 ，则
，再证明 ，得 ， ，求得
，则 ；
（2）连接 ，作 于点 ，由 ， ，证明 ，得，则 ，而 ，所以 ，得 ，可证明
， ，则 ，由 ，求得
，则 ，所以 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
交 于点 ，则 ，所以 ，得 ，则 ，而四边形 是
矩形，所以 ，由 ，得 ，即可求得 ．
【详解】（1）解：① ， ，
，
，
，
故答案为：135．
②如图1，作 于点 ，则 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，，
由旋转得 ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
的长为 ．
（2）解：如图2，连接 ，
作 于点 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
过点 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ，则 ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
由（1）得 ，
，
，
的面积为15．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质、三角形内
角和定理、四边形的内角和等于 、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，
由全等三角形的判定定理 证明三角形全等，由性质得到对应边相等；根据两直线平行，同旁内角互补
求角度，由勾股定理求边长等，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．（2023上·上海松江·九年级统考期中）（1）如图1，在 中， 是 上一点，过点 作 的平
行线交 于点 ，点 是 上任意一点，连结 交 于点 ，求证： ；（2）如图2，在（1）的条件下，连结 ， ，若 ，若 ，且 、 恰好将 三
等分，求 的值；
（3）如图3，在等边 中， ，连结 ，点 G在 上，若 ，求 的
值．
【答案】（1）见解析（2） （3）
【分析】（1）根据 ，可得 ，从而得到 ，同理 ，进而得到
，即可；
（2）根据 ，可得 ， ，再由 、 恰好将 三等分，可
得到 ，再由直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，即可；
（3）过 作 的平行线，分别交 、 于 、 ．可得 也是等边三角形，从再而得到
，再证得 ，可得 ，由（1）和 ，得 ，设
，则 ．可得 ， ，然后根据 ，可得 ，
即可．
【详解】（1）证明： ，
，
，同理 ，
，
；
（2）解： ，
， ，
、 恰好将 三等分，
，
，
，
，
在 中， ，
，
根据（1）得， ；
（3）解：过 作 的平行线，分别交 、 于 、 ．
是等边三角形，
， ，
，
，
也是等边三角形，
，
，
，
又 ，
，
，
．
，即 ，，
由（1）和 ，得 ，
设 ，则 ．
， ，
，
．
，
，
，
，
，
即 ，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判
定和性质，等边三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
16．（2023上·四川成都·九年级校考期中）【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列
问题，请你给出证明．
如图1，矩形 中， ， 分别交 ， 于点 ， ， 分别交 ， 于点 ， ，
求证： ；【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又 ，点 ， 分别在边 ， 上，若 ，则
的值为________；（直接写出结果）
【联系拓展】
（3）如图3，四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分别
在边 ， 上，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）如图1，过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 于 ，易证
， ，可判定 ，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（2）由（1）中的结论可得到 ，问题得到解决；
（3）过点 作平行于 的直线，交过点 平行于 的直线于 ，交 的延长线于 ，如图 ，易证四
边形 是矩形，由（ ）中的结论可得 ．设 ， ，则 ，
，在 中根据勾股定理可得 ①，在 中根据勾股定理可得
②，解①②就可求出 ，即可得到 ，问题得以解决．
【详解】（1）过点 作 ，交 于 ，过点 作 ，交 于 ，如图 ，四边形 是矩形，
， ．
四边形 、四边形 都是平行四边形，
， ．
又 ， ，
．
四边形 是矩形，
，
，
．
，
，
；
（2）如图 ，
， ，
由（ ）中的结论可得 ，（3）过点 作平行于 的直线，交过点 平行于 的直线于 ，交 的延长线于 ，如图 ，
则四边形 是平行四边形．
，
是矩形，
， ， ．
，
∴由(1)中的结论可得 ．
设 ， ，则 ， ，
在 中， ①，
在 中， ②，
由② ①得 ③，
解方程组 ，
得 舍去 ，或 ，
，
．
【点睛】本题四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二
元二次方程组等知识，运用(1) 中的结论是解决第(2)(3)小题的关键．
