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第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性
【知识点总结】
一、函数奇偶性
定义
设 为关于原点对称的区间），如果对于任意的 ，都有 ，则称函数
为偶函数；如果对于任意的 ，都有 ，则称函数 为奇函数.
性质
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个
区间上单调性相同.
(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，
如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
二、函数的单调性
定义
一般地，设函数 的定义域为 D，区间 ，若对于任意的 ，当 时，都有
（或 ），则称函数 在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间 M为
函数 的一个增（减）区间.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设 且 ，则 在 上是增函数 过单调递增函数图象上任
意不同两点的割线的斜率恒大于零 .
在 上是减函数 .
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
若 为增函数，且 或 ），则 为减函数.若 为减函数，且 或 ），则 为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增
（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函
数.
三、函数的周期性
定义
设函数 ，如存在非零常数T，使得对任何 ，且 ，则函数
为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正
周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个 ，都满足 ；若
是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若 的周期为T，则 也是函数 的周期，并且有 .
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数 有两条对称轴 ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，定义域为 ，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为 ， ，所以 为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为 ， ，所以 不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为 ，
因为 ，
所以 是奇函数，
，
令 为增函数，
也是增函数，
所以 是增函数.
故D正确.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是【答案】D
【详解】
因为函数 ，作出函数 的图象，如图所示：
由图可知，递增区间是 ，递减区间是 和 ．
故选：D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可知， 在 上为减函数，则 ，
函数 在 上为减函数，且有 ，
所以， ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，当 时，
恒成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
当 时， 恒成立，
当 时， ，
即 ，函数 在 上为单调增函数，
，
函数 关于 对称，
，
又函数 在 上为单调增函数，
（2） （3），
即 （2） （3），
， ， 的大小关系为 ．
故选： ．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数 是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
【答案】C
【详解】
因为 是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即 恒成
立，所以 ，即 恒成立，所以 ，即 ．
当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
故选：C.
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 为奇函数，且 ，
当 时， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 的图象关于 对称C．
D．【答案】ABD
【详解】
因为 为奇函数，所以
即 ，所以 的图象关于 对称．
故选项B正确，
由 可得 ，
由 可得 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，所以 周期为4，
所以 的图象关于 对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确.
故选: ABD．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）确定函数 的解析式；
（2）用定义法证明 在 上是增函数；
（3）解关于x的不等式 ．
【解析】
（1）由题意，函数 是定义在 上的奇函数，
可得 ，即 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，解得 ，所以 ，
经验证，此时满足 ，所以函数 为奇函数.
所以函数 的解析式为 ，（2）解：设 且 ，
则 ，因为 且 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 上是增函数.
（3）因为函数 是定义在 上的奇函数，
则不等式 可化为 ，
又因为函数 在区间 上是增函数，
可得 ，解得 ，即不等式的解集为
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足对任意x≠x，都有(x-x)[f(x)-
1 2 1 2 1
f(x)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
2
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
【答案】A
【分析】
根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.
【详解】
因对任意x≠x，都有(x-x)[f(x)-f(x)]<0成立，不妨令x<x，则f(x)>f(x)，于是可得f(x)为R上的减函数，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
则函数 在 上是减函数，有 ，
函数 在 上是减函数，有 ，即 ，
并且满足： ，即 ，解和 ，综上得 ，
所以a的取值范围为 .
故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有
成立，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解： 对任意 ， ，均有 成立，
此时函数在区间 为减函数，
是偶函数，
当 时， 为增函数，
， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）
A．是奇函数， 单调递增 B．是奇函数， 单调递减
C．是偶函数， 单调递减 D．是偶函数， 单调递增【答案】D
【分析】
利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】
解：定义域为 ，
因为 ，所以 为偶函数，
任取 ，且 ，则
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 在 单
调递增，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 在区间 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求出抛物线的对称轴 ，而抛物线的开口向下，且在区间 上单调递增，所以
，从而可求出 的取值范围
【详解】
解：函数 的图像的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：D5．（2022·上海·高三专题练习）函数 ，若满足 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
∵ ，且 ，
∴函数 为单调递增的奇函数．
于是， 可以变为 ，
即 ，∴ ，而 ，可知实数 ，
故实数 的取值范围为 ．
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的增函数，则满足 的实
数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的单调性可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】
因为函数 是定义在 上的增函数，则满足 ，
所以， ，解得 .
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知减函数 ，若 ，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.
【详解】易知 为R上的奇函数，且在R上单调递减，
由 ，得 ，
于是得 ，解得 .
故选:C.
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足 的x取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，将原不等式化为 ，再根据 的奇偶性和单调性可求出结果.
【详解】
设 ，则 ，
所以 可化为 ，即 ，
也就是 ，
因为 ，
所以 为奇函数，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 为单调递增函数，
所以 ，得 .
所以满足 的x取值范围是 .
故选：A
9．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]
【答案】D
【分析】
由给定条件可得函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，利用奇函数的性质化简不
等式，解出不等式即得.
【详解】
因函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，即函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函
数值为负，
又f(x)是奇函数，于是得 ，
因此，当x>0时， ，则有0<x≤2，当x<0时，f(x)≤0，由奇函数的性质得-2≤x<0，
综上，不等式 ≤0的解集为[-2，0)∪(0，2].
故选：D
10．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则
有（ ）
A．f <f <f
B．f <f <f
C．f <f <f
D．f <f <f
【答案】C
【分析】
首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项.
【详解】
因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，并且
，所以函数 关于 对称，作出f(x)的草图(如图)，由图可知 < <，故选：C
11．（2022·上海宝山·一模）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在 上是增函数
B．是偶函数，且在 上是增函数
C．是奇函数，且在 上是减函数
D．是偶函数，且在 上是减函数
【答案】A
【分析】
根据函数的单调性与奇偶性的定义判断.
【详解】
定义域为 ，且 ，
是 上的奇函数，
又 是 上的增函数， 是 上的减函数，
所以函数 是 上的增函数，
故选：A.
12．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线
在点 处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B【分析】
利用偶函数求 的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求 处的切线斜率.
【详解】设 ，则 ， ，又 为偶函数，
∴ ，则对应导函数为 ，
∴ ，即所求的切线斜率为2.
故选：B
13．（2022·全国·高三专题练习）设 为奇函数，且当 时， ，则当 时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先设 ，得到 ，再代入 ，利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】
设 ，则 ，因为函数 为奇函数，且当 时， ，
，即： .
故选：D
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数 ，（a， ）为奇函数，则 的值
为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】
因为函数是奇函数，通过带特殊值可以求出 的值，从而得到答案
【详解】
利用 和 可得： 解得： ， ，所以， .
故选B.
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通过 是奇函数和 是偶函数可以确定函数 的解析式与周期，进而求出结果.
【详解】
因为 是奇函数，所以 ①，且 关于点 对称，
因为 是偶函数，所以 ②，且 关于 对称，
所以 的周期为 ，
令 ，由①得 ，由②得
又 ，所以 ， ，
令 ，由①得 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：B
16．（2022·全国·高三专题练习）若 为奇函数，当 时， ，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】
先求出 时， 的解析式，再利用奇函数求
【详解】
因为 为奇函数，当 时， ，
所以 ，解得： .
所以当 时， .所以 .
故选：C
【点睛】函数奇偶性的应用:
(1)一般用 或 ;
(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或 .
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 为奇函数， 为偶函数，若当 时，
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据奇函数的性质求出 的值，再根据奇偶性求出函数的周期，最后利用函数的周期进行代入求值即可.
【详解】
因为 为奇函数，所以 ，
因此当 时， ，.
因为 是偶函数，所以 ，而 为奇函数，
所以 ，
因此有 ，
因此有 ，所以 ，
因此 的周期为 ，
，
故选：A
18．（2022·全国·高三专题练习）函数 是R上的奇函数，当 时， ，则当 时，
（ ）
A．﹣2x B．2﹣x C．﹣2﹣x D．2x【答案】C
【分析】
当 时， ，由已知表达式可求得 ，由奇函数的性质可得 与 的关系，从而可求出
．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
则 ．
又 是 上的奇函数，所以当 时 ．
故选：C．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为奇函数，当 时， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数奇偶性可得 ，代入 时， ，解得 ，进而可求得结果．
【详解】
为奇函数， ，
，则 ，
当 时， ，
，即 ，解得： ，
当 时， ，
.
故选：B.
20．（2022·全国·高三专题练习）函数 是定义在 上的奇函数．若
，则 的值为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】由奇函数的定义域可得 的值，再由 解出 ，进而求出答案．
【详解】
函数 是定义在 上的奇函数，则 ，解得 ．又
，则 ，所以 ．
故选：A
21．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，则 （ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】
用 替换原式中的 ，可得 ，利用奇偶性可得 ，与
相减即可求 ，进而可得 的值.
【详解】
因为 ①，
所以 ，
因为 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，
所以 ②，
②-①得： ，所以 ，所以 ，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用函数的奇偶性结合已知条件可得
，即 ，与已知条件，两式相减可得 解析式，即可求函数值.
22．（2022·全国·高三专题练习（文））若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则
g(x)＝( )A．ex－e－x B． (ex＋e－x)
C． (e－x－ex) D． (ex－e－x)
【答案】D
【分析】
由已知中定义在R上的偶函数 和奇函数 满足 ，根据奇函数和偶函数的性质，我们
易得到关于 、 的另一个方程： ，解方程组即可得到 的解析式．
【详解】
∵ 为定义在R上的偶函数，∴ ，
又∵ 为定义在R上的奇函数， ，
由 ，
∴ .
故选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是函数解析式的求法——方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义
构造出关于关于 、 的另一个方程： ，是解答本题的关键．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其导函数记为 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】函数 ，分析其性质可求 的值 ，再求 并讨论其性质即可作答.
【详解】
由已知得 ，
则 ，显然 为偶函数.令 ，显然 为奇函数.
又 为偶函数，所以 ， ，
所以 .
故选：A.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是R上的偶函数.若对于 都有 ，且当
时， ，则 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据题意求得函数的周期 ，结合函数性质，得到 ，在代入解析式求
值，即可求解.
【详解】
因为 为 上的偶函数，所以 ，
又因为对于 ，都有 ，
所以函数 的周期 ，且当 时， ，
所以
故选：C.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实
数a满足 ，则a的取值范固是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，得到f（x）在区间 上单调递减，
然后根据 ，得到 求解.【详解】
因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，
所以f（x）在区间 上单调递减，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以a的取值范固是 ，
故选：C
26．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且当x∈（2，
4）时，f（x）=x3-3x，则f（2021）等于（ ）
A．2 B．-18 C．18 D．-2
【答案】B
【分析】
先判断出 的周期性，然后根据 的周期性和奇偶性求得 .
【详解】
因为f（x）满足f（x+4）=f（x），所以f（x）是周期为4的函数，所以f（2021）=f（505×4+1）=f（1）=f
（-3），因为f（x）是奇函数，且当x∈（2，4）时，f（x）=x3-3x，所以f（-3）=-f（3）=-（33-3×3）
=-18，故f（2021）=-18.
故选：B
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，则
的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数 为奇函数得出：定义域关于原点对称且 ，从而求 的值；再根据函数的单调性结合定义域求不等式的解集.
【详解】
∵函数 为定义在 上的奇函数，
∴ ，得到 ，
因为函数 为奇函数，所以满足 ，
则 ，所以 ，所以得到
所以 ，且函数 的定义域为 ，
则 等价于 ，
∴ ，
又因为 ，所以 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，
∴原不等式的解集为 ，
故选：C．
28．（2022·全国·高三专题练习）若定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先将 转化为 或 ，根据函数单调性解 和 ，进
而可以求出结果.
【详解】因为 ，
所以 或 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，
因为 在 上为奇函数，
所以 在 上单调递增，且 ，
因此 ，
综上：不等式 的解集为 .
故选：C.
29．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的奇函数，且满足 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】
根据 是R上的奇函数，且 即可得出 的周期为2，从而可求出 ，并且可
得出 ，这样即可得出答案.
【详解】
解：∵ 是R上的奇函数，且 ，
∴ ，
∴ ，∴ 的周期为2，
∴ ，
且 ，∴ .
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性周期性，题目中基本是奇偶性和对称性相结合推出函数的周期性，最后根据周期
性求出对应的函数值，或者根据奇函数的性质求解，需要在备考过程中多总结.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知 是R上的偶函数，对任意 R， 都有 ，
且 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．6
【答案】C
【分析】
判断出 的周期，结合 的奇偶性求得 的值.
【详解】
令 ，则 ，所以 ，
则 ，
故 ，所以 是周期为 的周期函数，
所以 .
故选：C
31．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 的函数，若 为偶函数，且
，则 是（ ）
A．周期为2的奇函数 B．周期为4的奇函数
C．周期为2的偶函数 D．周期为4的偶函数
【答案】B
【分析】
利用 为偶函数，可得 ，结合 可得周期，然后利用周期及可得奇偶性.
【详解】
因为 为偶函数，所以 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即周期为4；
由 ， 得 ，即有 ，所以为奇函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数性质，综合了周期性和奇偶性，转化为周期的常见形式是求解的关键，侧重考查数学抽
象的核心素养.
32．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数，则
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． D． 是奇函数
【答案】D
【详解】
与 都是奇函数， ，
所以函数 关于点 ，及点 对称，函数 是周期 的周期函数.
， ，即 是奇函数．
33．（2022·全国·高三专题练习）若 是偶函数，则一定有（ ）
A．b=0 B．ac=0
C．a=0且c=0 D．a=0，c=0且b≠0
【答案】C
【分析】
利用偶函数的定义求得 恒成立，即可求出a，c，再验证b=0时情况即可判断作答.
【详解】
显然函数 定义域为R，
因 是偶函数，即 ，亦即 ，整理得 ，而ex-e-x不恒为0，因此，2ax2+2c恒为0，即a=0且c=0，
当b也等于0时， 也是偶函数，D不正确，所以一定正确的是C.
故选：C
34．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据 的奇偶性求得 ，从而求得 .
【详解】
由于 是偶函数，所以 ，且 .
故选：B
35．（2022·全国·高三专题练习（理））已知定义在 上的函数 ，对任意实数 有
，若函数 的图象关于直线 对称， ，则 （ ）
A．5 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
先根据对称性分析出 的奇偶性，然后根据 分析出 为周期函数并求解出一个
周期，根据奇偶性和周期性求解出 的值.
【详解】
由函数 的图象关于直线 对称可知，函数 的图象关于y轴对称，故 为偶函数，
又由 ，得 ，
所以 是周期为 的偶函数.
所以 ，故选：D.
【点睛】
结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：（1）若函数 的图象关于直线 对称，则 为偶函数；
（2）若函数 的图象关于点 成中心对称，则 为奇函数.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，且 ，当 时，
，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据已知条件得函数 是周期函数，周期为 ，进而根据周期性求解即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以
所以 ，即函数 是周期函数，周期为 ，
因为当 时， ，
所以
所以
故选：C
37．（2022·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的周期为2的偶函数，已知 时， ，
则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合 时， ，可得答案．
【详解】解：∵ 是定义在R上的周期为2的偶函数， 时， ，
∴ 时，， ，
此时 ，
时，
， ，
此时 ，
综上可得： 时，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的奇函数， ，恒有 ,且
当 时， ,则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据 是定义在 上的奇函数可推导出 ;用 替换 中的 ，可求出 的周
期；根据周期可得 的值.
【详解】
, ,用 替换 中的 得到
， ，
的最小正周期是4，是定义在 上的奇函数， ,
时， ， ，
， ， ，的最小正周期是4，
.
故选：C
39．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 对任意 都有 且
成立，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 以及 可推导 是周期为 的周期函数，由此 ，
，代入 可计算结果，又 ，代入计算即可.
【详解】
由
可知 ．又 ，
， ，
，
函数 是周期为 的周期函数，
， ， ．
由 可得 ，即 ，
.
故选：C．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，下列说
法：① 的图象关于 对称；
② 的图象关于 对称；
③ 在 内至少有 个零点；④若 在 上单调递增，则它在 上也是单调递增．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】
推导出 ，可判断①②的正误；分析得出 ，可判
断③的正误；利用函数的单调性与奇偶性、周期性的关系可判断④的正误.
【详解】
因为 且 是定义在 上的奇函数，则 ，
故函数 是周期为 的周期函数，且 ，
所以， ，故函数 的图象关于 对称，①错误，②正确；
由题意可知， ，
因为 ，令 ，可得 ，即 ，
所以， ，从而 ，故函数 在 内至少有 个零点，③正确；
因为 ， ，且函数 在 上单调递增，
则函数 在 上也为增函数，故函数 在 上也是单调递增，④正确.
故选：C.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为奇函数，当 时， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
由奇函数对称性可得 ，代入已知解析式解得 .
【详解】函数 为奇函数， .
又 ，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
图象具有对称性的函数求值题型关键在于区间转化，将未知区间的问题利用对称性转化到已知区间上求解.
二、多选题
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，下面说法正确的有（ ）
A． 的图像关于原点对称 B． 的图像关于y轴对称
C． 的值域为 D． ，且
【答案】ACD
【分析】
判断 的奇偶性即可判断选项AB，求 的值域可判断C，证明 的单调性可判断选项D，即可
得正确选项.
【详解】
的定义域为 关于原点对称,
，所以 是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A正确，选项B不正确；
，因为 ，所以 ，所以 ，
，所以 ，可得 的值域为 ，故选项C正确；
设任意的 ，
则 ，因为 ， ， ，所以 ，即 ，所以 ，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】
利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设 是该区间内的任意两个值，且 ；
（2）作差变形：即作差，即作差 ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符
号的方向变形；
（3）定号：确定差 的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.
43．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
根据函数奇偶性的定义分别判断函数的奇偶性，接着判断函数的单调性，最后得到正确选项即可.
【详解】
因为 ，定义域为 ，且 ，
所以函数 是奇函数，
设 ，则 ，
所以 时， ，
又因为函数 是奇函数，所以函数 在 上单调递减，故选项A正确；由函数 的图像可知：函数 关于原点对称且单调递减，
故选项B正确；
而选项中的函数 是非奇非偶函数，故选项C错误；
对于函数 ，定义域为 ，定义域关于原点对称，
，所以函数 是奇函数，
设 ，则
，
所以 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又因为函数 是奇函数，，所以函数 在 上也单调递增，但是不满足题意.
故选：AB.
44．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足： 是奇函数， 是偶函数.则
下列选项中说法正确的有（ ）
A． B． 周期为2
C． 的图象关于直线 对称 D． 是奇函数
【答案】ACD
【分析】由已知条件可得 关于 和直线 对称，从而 的周期 ， ，进而可判
ABC，对于D，由于 关于 和直线 对称，可得 关于 对称，再结合周期可得结论【详解】
由 是奇函数， 是偶函数，可得 关于 和直线 对称，从而 的周期 ，所
以选项 错误，选项 正确；
对选项 ：由对称性及奇函数的性质可知 正确；
对选项 ：有已知 关于 和直线 对称，从而 关于 对称，
又因为 的周期 ，可得 关于 对称，所以 是奇函数，D正确，
故选：ACD.
三、填空题
45．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间为__________.
【答案】 或
【分析】
先求出函数的定义域，由 ，然后换元，令 ，
则 ，再利用复合函数求单调区间的方法求解即可
【详解】
解：由题意得 ，解得 ，
，（ ），
令 （ ），则 ，
因为 在 上递增，在 上递减，
因为 在 上递减，
所以 在 上递减，在 上递增，故答案为： 或
【点睛】
此题考查求对数型复合函数的单调区间，利用了换元法，属于基础题46．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为
____________．
【答案】(－∞，0]
【分析】
作出函数y＝|4x－1|的图象，结合图象即可得到k的取值范围.
【详解】
函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x
轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．
故答案为：(－∞，0].
47．（2022·全国·高三专题练习）若 是奇函数，且在 上是减函数，又 ，则
的解集是___________
【答案】
【分析】
根据已知作出函数 的大致图象，解不等式组 或 ，即得解.
【详解】
因为函数 为奇函数，
所以 ，
所以 ，
因为函数 在 上是减函数，所以函数 在 上是减函数．作出函数 的大致图象如图所示，而 ，等价于 ，即 ，
则 或 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
综上， 的解集是 ．
故答案为：
48．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ( 是
自然对数的底数)，则 的解集为__________
【答案】
【分析】
证明 在 上单调递增， 在 上单调递减，解不等式 即得解.
【详解】
当 时， ，此时 ，
则 在 上单调递增，又由 是偶函数，
所以 在 上单调递减.
由 ，得 ，则 ，两边平方整理得 ，
解得 .
故答案为：
49．（2022·全国·高三专题练习）若函数 ，则不等式的解集为__________
【答案】
【分析】
由复合函数的单调性和函数单调性的加减法则，可得 时， 单调减，再结合 为偶函数，
转化原式为 ，又 ，结合单调性和奇偶性即得解
【详解】
， 为偶函数.
，
由 ，可得 ，又
令 ，由于 ， 单增， 单增
故 在 单调递增；
又 在 单调递减，
由函数单调性的加减法则，可知 时， 单调减，
所以 ，
得 ， 或 ，
解得 或 .
故答案为：
50．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ，则实数 的取值范
围为________
【答案】【分析】
证明 的图像关于直线 对称，在 上为减函数，在 上为增函数，解不等式
即得解.【详解】
∵ ，
∴ 的图像关于直线 对称，
∵ 和 都在 上是减函数，在 上是增函数，
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数．
又 ，
∴ ，
即 或 ，
解得 或 ．
故答案为：
51．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【分析】
利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】
因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
52．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是奇函数，则 的值等于__________【答案】 或
【分析】
利用奇函数定义可构造方程求得 ，代入解析式即可求得结果.
【详解】为奇函数， ，即 ，
，整理可得： ，
，解得： ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
综上所述： 或 .
故答案为： 或 .
53．（2022·全国·高三专题练习）已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对称，若 ，
则 __________．
【答案】1
【分析】
根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而 .
【详解】
函数关于点 对称，则 ，
又 为 上的奇函数，则 ，
因此函数的周期为4，
因此 .
故答案为：1.
54．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则____
【答案】2
【分析】对函数进行化简可得 ，构造函数 ，可判断 为奇函数，则
，由奇函数的对称性即可求解.
【详解】
，
令 ，则 ，
即 为奇函数，图象关于原点对称，
，
， ，且 ，
，则 ．
故答案为：2．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值，解题的关键是构造函数 并灵活利
用奇函数的对称性，属于中档题．
55．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的最大值为M，最小值为N，则
________.
【答案】6
【分析】
化简 可得 ，令 ，可得 为奇函数，所以
，由此可得结果.
【详解】因为 ，
令 ，则，所以 为奇函数，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为：6
【点睛】
关键点点睛：令 ，判断出 为奇函数，利用 求解是解题关键.
56．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
_________.
【答案】2
【分析】
可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解.
【详解】
，
令 ，则定义域为R，且 ，
故 是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，
所以函数 的最大值与最小值的和为2，
故在函数 中， .
57．（2022·全国·高三专题练习）函数 （ 且 ），若 ，
则 ______．
【答案】4
【分析】令 ，由 为奇函数，得 关于 对称，再由 得
，即可求出.
【详解】令 ，定义域为R，
，
为奇函数，关于原点对称，
关于 对称，
，
，
.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查奇函数对称性的应用，考查对数的运算，属于中档题.
58．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足：① ；②在 上是减函数；③
.请写出一个满足以上条件的 ___________.
【答案】
【分析】
由 可得 关于 对称，所以写一个开口向下，对称轴为 ，且过原点的二次函数
即可.
【详解】
由 可得 关于 对称，
所以开口向下，对称轴为 ，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，
故答案为：
59．（2022·浙江·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，，则不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】
可求出分段函数在 时的解析式，分两种情况解不等式，求并集.
【详解】
当 时， ， ，则当 时， ，故 ， ，则
，则 ，则 ，则此时
综上有
故答案为：
【点睛】
利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式， 就设定在哪个区间.
②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上.
③利用已知区间的解析式进行代入，解出
60．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上为偶函数，且在 上恒有
，则不等式 的解集为_____
【答案】
【分析】
证明 在 上为减函数， 在 上为增函数，不等式 可化为 ，解
不等式即得解.
【详解】
由 为偶函数，∴
∴ 的图象关于直线 对称，
又在 上恒有 ，
即 时，由 ，
∴ 在 上为减函数，
∵ 的图象关于直线 对称，
∴ 在 上为增函数，
∵ ，∴ ，
不等式 可化为： ，
解得： .故答案为：61．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递
减， ，则 的解集为__________
【答案】
【分析】
通过分析得到函数 的图象，解不等式组 或 即得解.
【详解】
因为函数 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称．
由 在 上单调递减，得 在 上单调递增，且 ，
所以当 或 时， ，当 时， ．
函数 的图象如图所示，
等价于 或
即 或 ,
解得 或 .
故答案为：62．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是
_________．
【答案】 ， ，【分析】
作出函数y=|-x2+2x+1|的图象，结合函数图象写出增区间、减区间即可.
【详解】
作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，
观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在 和 上单调递增，在 和 上单调递
减，
所以原函数的单调增区间是 ， ，单调递减区间是 ， .
故答案为： ， ； ，
