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第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性
【知识点总结】
一、函数奇偶性
定义
设 为关于原点对称的区间），如果对于任意的 ，都有 ，则称函数
为偶函数；如果对于任意的 ，都有 ，则称函数 为奇函数.
性质
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个
区间上单调性相同.
(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，
如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
二、函数的单调性
定义
一般地，设函数 的定义域为 D，区间 ，若对于任意的 ，当 时，都有
（或 ），则称函数 在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间 M为
函数 的一个增（减）区间.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设 且 ，则 在 上是增函数 过单调递增函数图象上任
意不同两点的割线的斜率恒大于零 .
在 上是减函数 .
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
若 为增函数，且 或 ），则 为减函数.若 为减函数，且 或 ），则 为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增
（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函
数.
三、函数的周期性
定义
设函数 ，如存在非零常数T，使得对任何 ，且 ，则函数
为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正
周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个 ，都满足 ；若
是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若 的周期为T，则 也是函数 的周期，并且有 .
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数 有两条对称轴 ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，定义域为 ，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为 ， ，所以 为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为 ， ，所以 不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为 ，
因为 ，
所以 是奇函数，
，
令 为增函数，
也是增函数，
所以 是增函数.
故D正确.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是 B．递减区间是
C．递增区间是 D．递增区间是【答案】D
【详解】
因为函数 ，作出函数 的图象，如图所示：
由图可知，递增区间是 ，递减区间是 和 ．
故选：D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可知， 在 上为减函数，则 ，
函数 在 上为减函数，且有 ，
所以， ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，当 时，
恒成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
当 时， 恒成立，
当 时， ，
即 ，函数 在 上为单调增函数，
，
函数 关于 对称，
，
又函数 在 上为单调增函数，
（2） （3），
即 （2） （3），
， ， 的大小关系为 ．
故选： ．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数 是奇函数，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．0
【答案】C
【详解】
因为 是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即 恒成
立，所以 ，即 恒成立，所以 ，即 ．
当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
当 时， ，定义域为 ，且 ，故符合题意；
故选：C.
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 为奇函数，且 ，
当 时， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 的图象关于 对称C．
D．【答案】ABD
【详解】
因为 为奇函数，所以
即 ，所以 的图象关于 对称．
故选项B正确，
由 可得 ，
由 可得 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，所以 周期为4，
所以 的图象关于 对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确.
故选: ABD．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）确定函数 的解析式；
（2）用定义法证明 在 上是增函数；
（3）解关于x的不等式 ．
【解析】
（1）由题意，函数 是定义在 上的奇函数，
可得 ，即 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，解得 ，所以 ，
经验证，此时满足 ，所以函数 为奇函数.
所以函数 的解析式为 ，（2）解：设 且 ，
则 ，因为 且 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 上是增函数.
（3）因为函数 是定义在 上的奇函数，
则不等式 可化为 ，
又因为函数 在区间 上是增函数，
可得 ，解得 ，即不等式的解集为
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足对任意x≠x，都有(x-x)[f(x)-
1 2 1 2 1
f(x)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
2
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
【答案】A
【分析】
根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.
【详解】
因对任意x≠x，都有(x-x)[f(x)-f(x)]<0成立，不妨令xf(x)，于是可得f(x)为R上的减函数，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
则函数 在 上是减函数，有 ，
函数 在 上是减函数，有 ，即 ，
并且满足： ，即 ，解和 ，综上得 ，
所以a的取值范围为 .
故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有
成立，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解： 对任意 ， ，均有 成立，
此时函数在区间 为减函数，
是偶函数，
当 时， 为增函数，
， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）
A．是奇函数， 单调递增 B．是奇函数， 单调递减
C．是偶函数， 单调递减 D．是偶函数， 单调递增【答案】D
【分析】
利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】
解：定义域为 ，
因为 ，所以 为偶函数，
任取 ，且 ，则
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 在 单
调递增，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 在区间 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求出抛物线的对称轴 ，而抛物线的开口向下，且在区间 上单调递增，所以
，从而可求出 的取值范围
【详解】
解：函数 的图像的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：D5．（2022·上海·高三专题练习）函数 ，若满足 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
∵ ，且 ，
∴函数 为单调递增的奇函数．
于是， 可以变为 ，
即 ，∴ ，而 ，可知实数 ，
故实数 的取值范围为 ．
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的增函数，则满足 的实
数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的单调性可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】
因为函数 是定义在 上的增函数，则满足 ，
所以， ，解得 .
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知减函数 ，若 ，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.
【详解】易知 为R上的奇函数，且在R上单调递减，
由 ，得 ，
于是得 ，解得 .
故选:C.
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足 的x取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 ，将原不等式化为 ，再根据 的奇偶性和单调性可求出结果.
【详解】
设 ，则 ，
所以 可化为 ，即 ，
也就是 ，
因为 ，
所以 为奇函数，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 为单调递增函数，
所以 ，得 .
所以满足 的x取值范围是 .
故选：A
9．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]
【答案】D
【分析】
由给定条件可得函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，利用奇函数的性质化简不
等式，解出不等式即得.
【详解】
因函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，即函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函
数值为负，
又f(x)是奇函数，于是得 ，
因此，当x>0时， ，则有0
