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第15讲 等差数列、等比数列综合运用
【知识点总结】
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设{a}为等比数列，{b}为等差数列，且b=0，c=a+b，若数列
n n 1 n n n
{c}是1，1，2，…，则数列{c}的前10项和为（ ）
n n
A．978 B．557 C．467 D．979
【答案】A
【详解】
设等比数列{a}的公比为q，等差数列{b}的公差为d.
n n
∵c=a+b，
n n n
解得 ，∴c=2n-1+(1-n).
n
∴{c}的前10项和为 ．
n
故选：A
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列 中， ， ，
依次成等比数列，则 的值是（ ）
A． B． C． D．58
【答案】A
【详解】
设公差不为零的等差数列 的公差为d，则有 ，
因为 ， ， 依次成等比数列， ，所以有 ，即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ， ，因此 ，
故选：A.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
等差数列的通项公式是关于 的一次函数， ，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列 的通项公式是关于 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当 时，如下图所示，
当公差 时，如下图所示，
如图可知当 时， ， ， ， .
故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）数列 ， 满足 ， ， ，则数
列 的前n项和为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】
由题意，数列 ， 满足 ， ， ，
所以数列 是等差数列，且公差是2， 是等比数列，且公比是2，
又因为 ，所以
所以 ，
设 ，所以 ，则 ，
所以数列 是等比数列，且公比为4，首项为4．
由等比数列的前n项和的公式，可得数列 前n项的和为
故选：B.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列{a}的前n项和为S，a＝2，且a，
n n 1 1
a，a 成等比数列，则S 取最大值时n的值为（ ）
3 4 n
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
【答案】C
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
成等比数列， 即 ，则 ，
，
所以当 或 时， 取得最大值.
故选：C.
例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ，， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，
求 ．
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
所以 ．
又 ，即 ，所以
所以 ．
（2）由（1） ，
即 是数列 中的第 项．
设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
因为 ， ，
所以数列 的前100项是由数列 的前107项去掉数列 的前7项后构成的，
所以
．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为整数的数列 满足 ， ，前6项依次成
等差数列， 从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得 ．
【详解】
（1）设数列前 项的公差为 ，则 ， ( 为整数)
又∵ ， ， 成等比数列，∴ ，即 ，得 或 （舍去），当 时， ， 6 分 ∴ ， ，数列从第 项起构成的等比数列的公比为 ，
∴当 时， ，故 ，
（2）由（1）知，当 时等式成立，即 ，
当 时等式成立，即 ，
当 或 时等式不成立，
当 时， ，
若 ，则 ，∴ ，
， ，从而方程 无解，∴ .
故所求 或 ．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列 和正项等比数列 }， ， 是 ，
的等差中项， 是 ， 的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得： ，进而可得结果.
【详解】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得：A. ,故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；D. ，故D不正确.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ， 中满足 ， ， ，
若 前 项之和为 ，则满足不等式 的最小整数 是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
【答案】D
【分析】
由 可求得数列 的通项公式，进而求得数列 ，表示出 ，
令 ，即可得到满足不等式 的最小整数 .
【详解】
解：由题意可知： ，
即 ，
即 ，
又 ，
，
即数列 是以首项为9，公比为 的等比数列，
，
即 ，
，，
则 ，即 ，
又 ，
满足不等式 的最小整数 ，
即 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列 的通项公式.
3．（2022·浙江·高三专题练习）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表
演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要
绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树
立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160
万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024
年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）
A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元
【答案】C
【分析】
根据 年每年的投资额成等差数列、 年每年的投资额成等比数列，利用等差和
等比数列求和公式即可求得结果.
【详解】
年每年的投资额成等差数列，首项为 ，公差为 ，
则 年的投资总额为： （万元），
年的投资额为： （万元）
年每年的投资额成等比数列，首项为 ，公比为 ，
则 年的投资总额为： （万元）；年的投资总额约为 （万元）故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，若 ，
， 成等比数列，则 （ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】A
【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的前 项和公式求出 ，再由 ， ，
成等比数列，列出式子求解即可.
【详解】
解：由 ，
解得： ，
又 ，
，
，
，
， ， 成等比数列，
，
即 ，
解得： .
故选：A．
5．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足 ， ， 成等差数列．其前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据 ， ， 成等差数列以及 单调递减，求出公比 ，再由 即可求出 ，
再根据等比数列通项公式以及前 项和公式即可求出.
【详解】
解：由 ， ， 成等差数列，
得： ，
设 的公比为 ，则 ，
解得： 或 ，
又 单调递减，
，
，
解得： ，
数列 的通项公式为： ，
.
故选：C．
6．（2019·山东·青岛二中高三阶段练习（文））已知 为等差数列， 为等比数列，其公比
且 ，若 ， ，则（ ）
A． B．C． D． 或
【答案】A
【分析】
由基本不等式可得 ，由等号取不到可得答案.
【详解】由题意可得四个正数满足 ， ，
由等差数列和等比数列的性质可得 ， ，
由基本不等式可得 ，
又公比 ，故 ，上式取不到等号，
，即 .
故选：A.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属基础题.
7．（2021·广东·红岭中学二模）已知等差数列 的公差为 ，且 、 、 成等比数列，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答.
【详解】
由 成等比数列得 ，即 ，
已知 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算.
8．（2021·北京育英中学高三阶段练习）已知数列 成等差数列， 成等比数列，则
的值是（ ）A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】
利用已知等差等比数列中的项求得公差公比，再计算比值即可.【详解】
由题意可知：数列 成等差数列，设公差为d，
则4=1+3d，解得d=1，∴a=1+1=2，a=1+2d=3.
1 2
∵数列 成等比数列，设公比为 q，
则4=q4,解得q2=2，∴b=q2=2.
2
则 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列，属于基础题.
9．（2020·宁夏·银川二中一模（理））设等比数列 的前 项和为 ,已知 成等差数列,且
,则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
设等比数列 的公比为 ,分 与 结合 成等差数列利用等比数列求和公式求得
,再根据等比数列各项间的关系求解 即可.
【详解】
设等比数列 的公比为 ,首项是 ,
当 时,有 、 、 ,不满足 成等差数列；
当 时,因为 成等差数列,所以 ,化简得 ,解得 或 （舍去）,
则 ,故 ,
即 ,故 .
故选：C
【点睛】本题考查等比数列的前 项和公式、通项公式,分类讨论思想,使用等比数列的前 项和公式时需要对公
比与1的关系进行讨论.同时也考查了等比数列各项间的关系,属于中档题.
二、多选题
10．（2020·江苏南通·高三期中）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列 的前 项和 ， ， 为常数）则数列 为等差数列
B．若数列 的前 项和 ，则数列 为等差数列
C．数列 是等差数列， 为前 项和，则 ， ， ， 仍为等差数列
D．数列 是等比数列， 为前 项和，则 ， ， ， 仍为等比数列；
【答案】ABD
【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于 ，若数列 的前 项和 ，
若 ，由等差数列的性质可得数列 为等差数列，
若 ，则数列 从第二项起为等差数列，故 不正确；
对于 ，若数列 的前 项和 ，
可得 ， ， ，
则 ， ， 成等比数列，则数列 不为等差数列，故 不正确；
对于 ，数列 是等差数列， 为前 项和，则 ， ， ， ，即为 ，
， ， ，即为 为常数，仍为等差数列，
故 正确；
对于 ，数列 是等比数列， 为前 项和，则 ， ， ， 不一定为等比数列，
比如公比 ， 为偶数， ， ， ， ，均为0，不为等比数列.故 不正确.故选： .
【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
11．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列 的首项为1，公差 ，前n项和为 ，则下列
结论成立的有
A．数列 的前10项和为100
B．若 成等比数列，则
C．若 ，则n的最小值为6
D．若 ，则 的最小值为
【答案】AB
【分析】
由已知可得: , , ,则数列 为等差数列通过公式即可求得前10项和;通
过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得 ;由等差的性质可知
利用基本不等式可验证选项D错误.
【详解】
由已知可得: , ,
,则数列 为等差数列,则前10项和为 .所以A正确;
成等比数列,则 ,即 ,解得 故B正确;因为 所以 ,解得 ,
故 的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知 ,所以
,当且仅当 时,即
时取等号,因为 ,所以 不成立,故选项D错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.三、填空题
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是首项 的等比数列，且 ， ， 成等差数
列，则其公比q等于________．
【答案】
【分析】
由 ， ， 成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.
【详解】
∵ ， ， 成等差数列，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 (舍)．
∴ .
故答案为： .
13．（2019·江苏·无锡市第一中学高三开学考试）设等比数列 的前 项和为 .若 ， ， 成
等差数列，且 ，则 的值为________．
【答案】
【分析】
根据等差数列列式，代入等比数列前 项和公式，计算得 ，从而求解 .
【详解】
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，由题意 ，∴ ，可得 ，所以
∴ .
故答案为： .
14．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列 中公比 ，若， ，记数列 的前n项和为 ，则 的最大值为
_______
【答案】18
【分析】
根据题意和等比数列的性质，求得 ， ，进而求得等比数列的通项公式 ，得到
，在由等差数列的求和公式，得到 ，再结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
因为 为各项均为正数的等比数列，且公比 ，
由 ，
可得 ， 为方程 的两根，又由 ，所以 ， ，
得 ，即 ，所以 ，
由 ，所以 为等差数列，
所以 ，则 ，即数列 也为等差数列，
所以 ，
结合二次函数的图象与性质，可得当 或9时， 最大，最大值为18．
故答案为：18．
15．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））设数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ________.
【答案】
【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得 ，再由等比数列的前n项和公式即可得结果.
【详解】
由题意可得： ， ，
所以故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ， ， 成等差数列，则
_______.
【答案】
【分析】
根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比 满足 ，将所求式子化为 和 的形式，
化简可得结果.
【详解】
， ， 成等差数列
即： ，解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.
17．（2022·浙江·高三专题练习） 为公差不为0的等差数列，且 恰为等比数列，其
中 ，则 为_______．
【答案】
【分析】
设数列 为 ，利用等比中项运算可求出等差数列的首项以及通项公式，进而由 求出
的公比，再用 可得 ．
【详解】设数列 为 ，
则 ，∵ ，∴
即 ，∴ ，∴ ，∴ ，
设 的公比为q，则 ，∴即 ，∴ ．
故答案为：
18．（2021·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等
差数列，记 是数列 的前n项和，则 ________.
【答案】126
【分析】
设等比数列 公比为 ,再根据 , , 成等差数列以及基本量法求解 ,再根据等比数列求和公
式求 即可.
【详解】
设等比数列 公比为 ,因为 , , 成等差数列,故 ,又 ,故
,即 ,因为 ,故 .故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用,包括基本量的用法以及等比数列求和公式等.属于中档题.
19．（2021·河南·高三阶段练习（理））设 为等比数列 的前n项和，若 ，且 成
等差数列，则 _________.
【答案】
【分析】
由题意结合等差数列的性质可得 ，进而可得 ，由等比数列的通项公式即可得解.
【详解】， ， 成等差数列，
即 ，
， 等比数列 的公比 ，
.
故答案为： .【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
20．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））若数列 是等差数列， ，满足
，且 ，则数列 的通项公式为______.
【答案】 或
【分析】
设数列 的公差为 ，则 ，根据 ， 可得 ，再联立
，即可求得 ， 即可求出数列 的通项公式.
【详解】
解：设数列 的公差为 ，则
解得
代入已知条件得 整理得 解得 或
或
当 时 ；当 时
故答案为： 或
【点睛】
本题考查等差数列的性质和通项公式的计算，属于基础题.四、解答题
21．（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知S 是等差数列 的前n项和，从以下3个条
n
件中任选一条，回答问题.① ， ，②公差 ，③ ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若等比数列 满足公比 ， ，求数列 的前n项和.
【答案】答案见解析.
【分析】
（Ⅰ）直接利用关系式的变换求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；
（Ⅱ）利用等比数列的关系式的变换求出通项公式，进一步利用错位相减，求出数列的和.
【详解】
解;（Ⅰ）选①时，设数列的公差为d，
则 ， ，
整理得 ，
解 ，故 .
选②时，公差 ，
所以 ，解得 ，
故 .
选③时，
由 ， .
得 ，故 ，
所以（Ⅱ）等比数列 满足公比 ， ，
所以 ，解得 （舍）或 ，
所以 ，故 .设 ，
所以 ①，
②，
①﹣②得 ，
所以 .
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列
的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差整
理求解．
22．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，
数列 满足 ，其中 .
（1）分别求数列 和 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前
项和 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）设等比数列 的公比为 ，利用 ，和等比数列的定义即可得出；利用已知
条件和累乘法即可得出 的通项公式；（2）先利用已知条件得到 ， ，再利用
错位相减法求解即可.【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，
由已知 ，
可得 ，
两式相减可得 ，即 ，
整理得 ，
可知 ，
已知 ，
令 ，
得 ，
即 ，
解得 ，
故等比数列 的通项公式为 ；
由 得：
，
那么 ，
以上 个式子相乘，
可得 ，
，
又 满足上式，
所以 的通项公式 .
（2）若在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
则 ，即为 ，
整理得 ，
所以 ，，
两式相减得：
，
所以 .
【点睛】
方法点睛：
由数列前 项和求通项公式时，一般根据 求解；
数列求和的方法：
（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒
序相加法.
23．（2021·广东惠州·一模）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， ，
.
（1）求 和 的通项公式；
（2）数列 和 中的所有项分别构成集合 ， ，将 的所有元素按从小到大依次排列构成
一个新数列 ，求数列 的前60项和 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，由 ，
∴ ， ，
∴ ， .
（2）当 的前60项中含有 的前6项时，令 ，此时至多有 项（不符）.
当 的前60项中含有 的前7项时，令 ，
且 ， ， 是 和 的公共项，则 的前60项中含有 的前7项且含有 的前56项，
再减去公共的三项.
∴ .
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列 是由 和 中的哪些选项构成的，还要注意去
掉公共项.
24．（2021·江苏·高三开学考试）已知集合 ， ，将 中
所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 ，设数列 的前n项和为 ．
（1）若 ，求m的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）2282.
【分析】
（1）由 ，则数列 中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的
元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案.
（2）根据题意可得数列 中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列 中前50项
中含有A中的元素为 ，共有46项，分组可求和.
【详解】
解：（1）因为 ，
所以数列 中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，数列 中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，
所以 ．
（2）因为 ， ，
所以数列 中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项所以数列 中前50项中含有A中的元素为 ，共有46项，
所以 ．
25．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列 的前 项和为 ，若
构成等比数列.
（1）求数列 的通项公式.
（2）设数列 的前 项和为 ，求证:
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.
（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.
【详解】
（1）由 为等差数列，
得 ，则
又 构成等比数列，
所以 ，
即
解得 或 (舍)，
所以 ;
（2）因为 ，
所以26．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列 满足 ，且 、 、成等比数列，数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由 ， ， 成等比数列，得 ，再由 可求出公
差为 ，从而可求出 ，则 ，再由 可知数列 是以 为首项，1为公
差的等差数列，从而可求出 ，进而可得数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，再利用裂项求和法可求出
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ．
所以 ，整理得 ，
将 代入得 ，解得 或 ，
由于 是正项等差数列，舍去 ，即 ．所以 ， ．因为 ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，所以 ，即 ．
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，
故 ．
所以数列 的前n项和 ．
27．（2022·浙江·高三专题练习）已知 是各项均为正数的等比数列， =1，且 ， ， 成等
差数列．
（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前n项和．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先由已知求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出；
（2）由（1）先得到数列 的通项公式，再利用等差等比公式法求和即可．
【详解】
（1）因为数列 是各项均为正数的等比数列，
， ，
设数列 的公比为 ，
则 ，
解得 ，或 （舍），
所以 ；
（2）因为 ，
由（1）知： ，
则 ，
设数列 的前n项和为 ，
则，
数列 的前n项和为： .
28．（2022·全国·高三专题练习）
已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ， .
n n 1 1
（1）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（2）求{a}和{b}的通项公式.
n n【答案】（1）见解析；（2） ， ．
【分析】
(1)可通过题意中的 以及 对两式进行相加和相减即可推导出数列
是等比数列以及数列 是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列 以及数列 的通项公式，然后利用数列 以及
数列 的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ，
因为 ，
所以 ，数列 是首项 、公差为 的等差数列， ．
(2)由(1)可知， ， ，
所以 ， ．
