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第 15 讲 用导数的几何意义研究曲线的切线
真题展示
2022 新高考一卷第 15 题
若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 ，
， ．
【思路分析】设切点坐标为 ， ，利用导数求出切线的斜率，进而
得到切线方程，再把原点代入可得 ，因为切线存在两条，所以
方程有两个不等实根，由△ 即可求出 的取值范围．
【解析】【解法一】(切线方程) ，设切点坐标为 ， ，
切线的斜率 ，
切线方程为 ，
又 切线过原点， ，
整理得： ，
切线存在两条， 方程有两个不等实根，
△ ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ， ， ，
故答案为： ， ， ．
【解法二】法二(切线斜率)：设切点为(m,(m+a) )，易得 =(x+a+1) ，则
切线的斜率 k=(m+a+1) = ，即 m(m+a+1)=m+a, +am−a=0，依题
意其有两个不等实根，故△= +4a>0，解得a<−4 或a>0.
【试题评价】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属
于中档题．
知识要点整理
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求
出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的
切点的切线方程为： ．若曲线 在点 的切线平行
于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
下面例析四种常见的类型及解法．
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数 ，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由 则在点 处斜率 ，故所求的切线方程为
，即 ，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线 的平行的抛物线 的切线方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：设 为切点，则切点的斜率为 ．
．
由此得到切点 ．故切线方程为 ，即 ，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程
为 ，代入 ，得 ，又因为 ，得 ，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待
定切点法．
例3求过曲线 上的点 的切线方程．
解：设想 为切点，则切线的斜率为 ．
切线方程为 ．
．
又知切线过点 ，把它代入上述方程，得 ．
解得 ，或 ．
故所求切线方程为 ，或 ，即 ，
或 ．
评注：可以发现直线 并不以 为切点，实际上是经过了点
且以 为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解
决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点 且与曲线 相切的直线方程．
解：设 为切点，则切线的斜率为 ．
切线方程为 ，即 ．又已知切线过点 ，把它代入上述方程，得 ．
解得 ，即 ．
评注：点 实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切
位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5 已知函数 ，过点 作曲线 的切线，求此切线方程．
解：曲线方程为 ，点 不在曲线上．
设切点为 ，
则点 的坐标满足 ．
因 ，
故切线的方程为 ．
点 在切线上，则有 ．
化简得 ，解得 ．
所以，切点为 ，切线方程为 ．
评注：此类题的解题思路是，先判断点 A是否在曲线上，若点 A在曲线上，
化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
2、求圆锥曲线的切线
在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只
有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线y=0与抛
物线y=x2 只有一个交点，y=0是y=x2 的切线，但x=0与抛物线y=x2
也只有一
个交点，但x=0却不是y=x2
的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并
不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义
了。m y=f (x)
0 m
切线的定义：设 是曲线 上一定点， 是该曲线上的一动点，从而
m m m m m
0 m 0 0
有割线 ，令 沿着曲线无限趋近于 ，则割线 的极限位置就是曲线
y=f (x) m
0
在 的切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用
这一定义也容易证明y=0是y=x2 的切线，而x=0不是y=x2
的切线，这一切线定
义可用于任何曲线y=f (x)。
导数的几何意义就是曲线y=f (x)在点x的切线斜率。故运用上述切线的一般
定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。
例6求曲线y=1nx
在x=2时的切线方程。
1
∵y'
=
解： x
1
y=
∴
当x=2时， 2
又
∵
当x=2时，y=1n2
∴
当x=2时，所求的切线方程为：
即x−2y−2+21n2=0
反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数
学中，曲线y=f (x)的切线定义都难得给出，更别说讨论与y=f (x)的切线有关的
问题了。
例7已知函数f(x)=ax3 +bx2 −3x在x=±1处取得极值，过点A(0,16)作曲线
y=f (x)的切线，求此切线方程。
解：由例4，曲线方程为f (x)=x3 −3x，点A(0,16)不在曲线上。
设切点为
M(x
0
,y
0
),
则点M 的坐标满足
y
0
=x
0
3
−3x
0，
由于
f' (x
0
)=3(x
0 2
−1)
，故切线的方程为
y−y
0
=3(x2
0
−1)(x−x
0
).注意到点A(0,16)在
切线上,有 16−(x3 −3x )=3(x2 −1)(0−x )化简得 x2 =−8 ,解得 x =−2 .因此,切点为
0 0 0 0 0 0
M(−2,−2),切线方程为9x−y+16=0.要点：1.导数是如何定义
2.如何求曲线y=f(x)在点 (x o , y o) 处的切线方程与法线方程。
三年真题
1.已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：① ；② ；③ ．
其中能使 恒成立的条件序号是____________．
【答案】②
【详解】当 时，函数 ，所以 在 单调递增；
又因为 ，
所以函数 是偶函数，
所以函数 在 单调递减；
①：当 时，取 时，显然 成立，但是 ，所以本条件不符合题意，
②：当 时，因为 时，由单调性知自变量距离y轴越远，函数值越大，所以 ，
所以本条件符合题意；
③：当 时，当 时，显然 成立，但是 ，所以本条件不符合题意，
故答案为：②.
2．某日中午12时整，甲船自A处以 的速度向正东行驶，乙船自A的正北 处以 的速
度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是___________ ．
【答案】-1.6
【详解】 中午12时整，甲船自 处以 的速度向正东行驶，乙船自 的正北 处以
的速度向正南行驶，当日12时30分时，乙船没有到达 处，故甲乙两船之间的距离函数是当日12时30分时， ，
此时两船之间距离对时间的变化率是
故答案为： ．
3．曲线 与 在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答）
【答案】
【详解】由 消元可得， ，解得 ，
所以两曲线只有一个交点 ,
由 可得 ，所以 ，
由 可得 ，所以 ，
由直线的夹角公式可得 ，
由 知， .
故答案为：
4．已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则
a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单
调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
5．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
6．函数 的最大值为______.
【答案】 ##0.25
【详解】当 时，求导得： ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时，y取得最大值，即 ，
所以函数 的最大值为 .
故答案为：
7．曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为 ，则 ________.
【答案】
【详解】解： ，
，，
曲线在点 处的切线方程为 ，
即 ，令 ，得 ，
切线与 轴，直线 所围成的三角形的面积为 ，解得 ．
故答案为： ．
8．曲线 在点(0，1)处的切线方程为________．
【答案】
【详解】解： ，
切线的斜率为
则切线方程为 ，即
故答案为：
9．已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互
相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得 ，
，化简即可得解.
【详解】由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
10．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
11．已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.
12．曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
13．函数 的最小值为______.
【答案】1
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的两个动点，满足 ，
则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【详解】
设圆心 到直线 距离为 ，则 ，
所以点P到AB的距离为 或 ，且所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ，
故答案为：
15．设函数 ．若 ，则a=_________．
【答案】1
【详解】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
16．曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【详解】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
三年模拟1．已知 ，则曲线 在 处的切线方程是___________.
【答案】
【详解】因为 ， ，所以 ，
即切点为 ，斜率为 ，代入点斜式直线方程 中
则曲线 在 处的切线方程是 .
故答案为： .
2．若过点 只可以作曲线 的一条切线，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：函数 的定义域为 ，则 ，设切点坐标为 ，
则切线斜率为 ，故切线方程为： ，
又切线过点 ，则 ，
设 ，则 得， 或 ，
则当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，
又 时， ， 时， ，
所以 有且只有一个根，且 ，则 ，故 的取值范围是 .故答案为： .
3．若直线 是曲线 和 的公切线，则实数 的值是______.
【答案】1
【详解】设直线 与曲线 分别相切于点 ,
对函数 求导得 ,则 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ,
即 ,
对函数 求导得 ,则 ,
曲线 在点 处的切线方程为 ,
即 ,
所以 ，化简可得 ，
故答案为：1.
4．函数 的图象在 处的切线方程为______.
【答案】
【详解】∵ ，∴ ， ，∴函数 在 处的切线方程为 .
故答案为： .
5．设曲线 的斜率为3的切线为 ，则 的方程为______．
【答案】【详解】设切线 与函数 的切点为
又因为 ，所以 在 处的导数值为
所以 ，又因为切点 在函数 上，即
所以切点为 ，所以切线方程 ，即
故答案为：
6．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是______.
【答案】
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率 ，
所以切线方程为： ，
即 或 .
故答案为：
7．已知定义在R上的函数 满足：①曲线 上任意一点处的切线斜率均不小于1；②曲线
在原点处的切线与圆 相切，请写出一个符合题意的函数 ______．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由②可设过原点且与圆 相切的直线为 ，则 ，
解得 或 （舍），结合①知曲线 在原点处的切线为 ．
当 时，（答案不唯一，只要符合题意即可），满足①．因为 ， 所以曲线 在原点处的切线为 ，满足②．
故 符合题意．
故答案为： （答案不唯一）
8．已知曲线 在某点处的切线的斜率为 ，则该切线的方程为______.
【答案】
【分析】对函数求导后，利用导数的几何意义列方程求出切点坐标，从而可求出切线方程.
【详解】设切点坐标为 （ ），
由 ，得 （ ），
因为曲线 在 处的切线的斜率为 ，
所以 ，解得 （舍去），或 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
故答案为： .
9．若函数 在 处的切线方程为 ，则 _________．
【答案】
【详解】 ，所以 ，所以切线的斜率为3，
又因为 ，所以切点的坐标为 ，
所以切线方程为 即 ，
所以 ，所以 .故答案为: .
10．已知函数 的图像与直线 相切，则 ____________
【答案】1
【详解】解：由 得
，
设切点坐标为 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：1．
11．若曲线 的图象总在曲线 的图象上方，则 的取值范围是______.
【答案】
【详解】∵ 的图象与 关于直线 对称，即问题转化为曲线 总在直线 下方，
当直线 与曲线 相切时，设切点 ，则切线斜率 ，又 ，
∴ ，解得 ，要满足题意， ，
故答案为：
12．已知曲线 与曲线 有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.【答案】 ##0.5
【详解】设曲线 与曲线 的切点分别为 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以切线为 ，即 ，
，即 ，
所以 ，
所以 ， ，即这条切线的斜率为 .
故答案为： .
13．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 ______．
【答案】
【详解】直线 的斜率为： ，故切线的斜率为2，
，解得 ．
故答案为：
14．已知函数 ，过点 作曲线 的切线 ，则 的方程为___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标 ，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达
式，利用切线过点 ，解出 ，即可求得切线方程.
【详解】解：由题意可设切点坐标为 ，因为 ，所以 ，所以切线 的
斜率 ，则 的方程为 ，又点 在切线上，所以
解得 ，所以切线方程为： ，即 .
故答案为： .
15．已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围
是___________.
【答案】
【详解】由题意，函数 有三个零点即 有三个解，即 与
的交点个数为3.
作出 与 的图象，易得当 时不成立，故 .
当 时 与 必有一个交点，则当 有2个交点.
当 时，因为 恒过定点 ，此时 与 或
有2个交点.
①当 与 有2个交点时，考虑临界条件，当 与
相切时， .
设切点 ，则 ，解得 ，此时切点 ， ；
又 最高点为 ，故此时 .故 .
②当 与 有2个交点时，考虑临界条件，当 与
相切时， ，即 ，此时
，即 ，解得 ，由图可得 ，故 .
此时
综上
故答案为： .
16．过点 作曲线 的切线，则切线方程是__________．
【答案】
【分析】求解导函数，设切点坐标，求解 ，从而设出切线方程，代入点 计算，即可求出答案.
【详解】函数定义域为 ， ，
设切点为 ， ，
所以切线方程为 ，
代入 ，得 ，
解得： ，所以切线方程为 ，
整理得： ．
故答案为：
17．已知函数 满足 ，当 ，若在区间 内，函数 有
三个不同零点，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意得到 画出函数图像，计算直线 与函数相切和过点 时的
斜率，根据图像得到答案
【详解】函数 满足 ，当 ，
所以当 ，
故 ， ，
画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数 有三个不同零点，则直线 应在
图中的两条虚线之间，上方的虚线为直线与 相切时，下方的虚线是直线 经过
点 时，当直线 与 相切时，
，设切点为 ，则斜率 ，
此时 ，
当直线 经过点 时， ，
故答案为：
18．写出a的一个值，使得直线 是曲线 的切线，则a=______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点 ，利用导数的几何意义，列式求参
数 的值.
【详解】设切点为 ，直线 恒过定点 ，
，则 ，
则 ，可得其中一个根 ，
，此时 ，得 .
故答案为： （答案不唯一）
