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第 15 讲 解三角形及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，
则
定理 余弦定理 正弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B； ＝ ＝＝ 2R
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝
2 R sin __C；
cos A＝； (2)sin A＝，sin B＝ ， sin C＝；
常见变
cos B＝； (3)a∶b∶c＝
形
cos C＝ sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h (h 表示a边上的高).
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫
仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).5.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方
位角为α(如图2).
6.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
二、考点和典型例题
1、利用正、余弦定理解三角形
【典例1-1】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记 的内角A，B，C的对边分
别为a，b，c， ， , ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据正弦定理得 ，得 ，
所以 .
故选：C.
【典例1-2】（2022·江西·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且 ，则 的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】
由已知及正弦定理得 ，所以 ，所以 ＝
.
故选：C.
【典例1-3】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））记 的内角A，B，C的对边分
别为a，b，c， ， ， ．则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
在 中，因为 ， ， ，
由正弦定理 得： ，解得： .
因为 ，所以 .
所以 .
故选：C
【典例1-4】（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））在△ 中，角A，B，
C的对边分别为a，b，c，且 ，则角C的大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，则 ，
整理得 ，
所以 即 ，
则 ，
∵ ，所以 .
故选：B.
【典例1-5】（2022·天津·耀华中学一模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ， ， ， .
(1)求 的值；
(2)求 ；
(3)求 的值.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)
由余弦定理 可得： ，解得
或 （舍去），故
(2)由正弦定理 ,故
(3)由（2）知： ，则 ，故,
所以
【典例1-6】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在平面四边形
ABCD中，E为AD边上一点， ， ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求BE的长.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
过B作 于F.
∵ ， ，
∴ ，在直角 中， ，
∴ ，
∴ .(2)连接BD.在 中， ， ， ，由余弦定理，得
在 中， ， ，由余弦定理，得 .
在 中， ， ，由余弦定理，得 .
∵ ，得
∴ ，得 ， （负值舍去）.
∴ .
【典例1-7】（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面四边形ABCD中，对角线
平分 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知
.
(1)求B；
(2)若 ，且________，求线段 的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积 ；② .
【答案】(1) ；(2)选① ；选② .
【解析】(1)
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
(2)选①，因为 的面积 ，
所以 ，
即 ， ，由余弦定理得
所以 ，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
选②，因为 ，在 中，由余弦定理：
，
即 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
因为 ， ，由正弦定理得，
，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 是直角三角形，且 ，
所以 .
2、判断三角形的形状
【典例2-1】（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线
的长度分别为1， ， ，则（ ）
A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形
C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形
【答案】C
【详解】
设三角形的三条边为a，b，c，设 中点为D，
，则
，∴
同理，∴ ，∴ ， ，∴可以构成三角形
，∴ ，
∴ 为钝角三角形，
故选：C
【典例2-2】（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）在 中，角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 为钝角三角形，则
C．若 ，则 为等腰直角三角形
D．若 ， ， ，则符合条件的 只有一个
【答案】D
【详解】
，则 ，只能说明A为锐角，
不能说明B和C的大小，故不能得到 是锐角三角形，A错误；
若 为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角，若角A为锐角，则 ，
若角A为钝角，则 ，B错误；
，由正弦定理得： ，即 ，
所以 或 ，故 或 ，则 为等腰三角形或直角三角形，
故C错误；
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，故符合条件的 只有1个，D正确.故选：D
【典例2-3】（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在 中，已知
，那么 一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以由正余弦定理得 ，化简得 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形.
故选：B.
【典例2-4】（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在 ，则三角形
的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】
由 以及余弦定理得 ，
化简得 ，所以三角形的形状一定是等腰三角形.
故选：B
【典例2-5】（2022·全国·高一单元测试）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、
，若 ， ，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】在 中，由正弦定理得 ，而 ，
∴ ，即 ，
又∵ 、 为 的内角，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴由余弦定理得： ，∴ ，
∴ 为等边三角形.
故选：B.
3、和三角形面积有关的问题
【典例3-1】（2022·江西·二模（理））在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，
b，c，若 ，则 面积的最大值为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【详解】
，
，
即 ，
即 ，
则 ，
整理得 ，
∴ ，
√ 8
当且仅当a2=3c2⇔c= ,a=√8√3时取等号，
√3
，则 ．
故选：C．
典例3-2】（2022·江西·模拟预测（文））在 中， ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：B．
典例3-3】（2022·江西宜春·模拟预测（文）） 的内角 的对边分别为 ，
若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由余弦定理 ，即 ，又 ，
所以 ， ，所以 .
故选：C
典例3-4】（2022·内蒙古赤峰·三模（文）） 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ，， 且
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)
由 及正弦定理，得
，即 ，于是有 ，
由余弦定理，得 ，
(2)由（1）知， ，及 ， ，
由余弦定理，得 ，即 ，
化简整理，得 ，解得 或 （舍）.
所以 .
所以 的面积为 .
典例3-5】（2022·湖南·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，且 ，求 的面积．
【解析】(1)
解：因为 ，
由正弦定理可得： ，所以 ；
(2)
由（1）得 ，
由余弦定理得： ，
所以 ，即 ，
将 ， 代入，得 ，
即 ，
解得 或 ，
∵ ，∴ ，
∴ 舍去，
∴ ， ．
从而 ，
由 可知 ，
所以 ．
所以 的面积 ．
4、解三角形的实际应用
【典例4-1】（2022·吉林吉林·模拟预测（文））位于灯塔A处正西方向相距 n
mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距 n mile的C处的
一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（
）
A．30° B．60° C．75° D．45°【答案】B
【详解】
依题意，过点 作 的延长线交于点 ，如图，
则 ， ， ，
在 中， ，
在 中， ， ，
又
，
则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.
故选：B.
【典例4-2】（2022·江西·模拟预测（文））翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶
上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大文豪苏东坡吟咏赣州的诗句
“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学小组
在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底
在同一平面）面朝塔顶，仰角约为45 ；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为
30 ，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大约为（ ）米？（参考数据： ）
A．68 B．70 C．72 D．74
【答案】B
【详解】如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位， Q为A,B在OP上的射影，
由已知得 为直角三角形， ， ， (米)，
(米),设PQ=x，则 , .
∴ ，
∴ ,
∴塔高 (米),
故选：B
【典例4-3】（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的
距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．
勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，
45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【详解】
如图，由题可知 ，∴ ， ，又 ，
∴ ，
∴ （米）．
故选：A.
【典例4-4】（2022·陕西·西安中学一模（理））为了测量隧道口 、 间的距离，开车从
点出发，沿正西方向行驶 米到达 点，然后从 点出发，沿正北方向行驶一段路
程后到达 点，再从 点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口 点处，测得 间的
距离为1000米.
(1)若隧道口 在点 的北偏东 度的方向上，求 的值；
(2)求隧道口 间的距离.
【答案】(1) (2)1000米.
【解析】(1)在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
由题可知， ，
所以 ，即 .
(2)由（1）可知， ，
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，
故两隧道口 间的距离为1000米.
【典例4-5】（2022·广东湛江·二模）如图，一架飞机从 地飞往 地，两地相距 .
飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 角的
方向飞行，飞行到 地，再沿与原来的飞行方向成 角的方向继续飞行 到达终
点.
(1)求 、 两地之间的距离；
(2)求 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
解：由余弦定理可得，
所以， .
(2)解：由余弦定理可得 ，
所以， ，则 为锐角，故 ，
因此， .
