文档内容
第 1 讲 集合与常用逻辑用语
本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，集合主要结合
一元二次不等式等相关知识点考察元素于集合之间的关系，多注意集合在数学中的使用方法。常用逻辑用
语是数学语言的重要组成部分，需要理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法、体会逻辑用
语在表述数学内容和论证数学结论中的作用。
考点一 集合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N＋
2．集合间的基本关系
表示
文字语言 记法
关系
集合A中任意一个元素都是集合B
子集 A B或B A
中的元素
集合 ⊆ ⊇
集合A是集合B的子集，并且B中 A B或
间的 真子集
至少有一个元素不属于A
B A
基本
集合A中的每一个元素都是集合B
关系
A B且B A
相等 中的元素，集合B中的每一个元素
A＝B
⊆ ⊆
也都是集合A中的元素
⇔
空集是任何集合的子集 ∅⊆A
空集
空集是任何非空集合的真子集 ∅ B且B≠∅
3．集合的三种基本运算
文字语言 图形表示 符号语言所有属于集合A或者属
集合的 A∪B＝{x|x∈A，或
于集合B的元素构成的
并集 x∈B}
集合
所有属于集合A且属于
集合的 A∩B＝{x|x∈A，且
集合B的元素构成的集
交集 x∈B}
合
集合的 全集U中不属于集合A ∁UA＝{x|x∈U，且
补集 的所有元素构成的集合 x∉A}
4.集合基本运算的常见性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A⇔ B⊆.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；
⇔ ⊆
∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
考点二 充分条件与必要条件
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为
假的语句叫做假命题．
2．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
⇒ ⊆
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
⇒ ⊇
⊂
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p
A ¿ B
⇒ ⊃
p是q的必要不充分条件 p q且q p
A ¿ B
⇒
p是q的既不充分条件也不 A B且
p q且q p
必要条件
A⊉B
3.熟记常用结论
．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q且
⇒ ⇔
q r” “p r”(“p⇐q且q⇐r” “p⇐r”)．
⇒
考点三 全称量词与存在量词
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
1．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
命题
2．全称量词命题与存在量词命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称量词
对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M，p(x)
命题
∀
存在量词
存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0∈M，p(x0)
命题
∃
3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题
语言表示 符号表示 命题的否定
名称
全称量词 对M中任意一个x，有 x∈M，
x0∈M，¬¿¿p(x0)
命题 p(x)成立 p(x)
∀
∃
存在量词命 存在M中的一个x0，使 x0∈M，
x∈M，¬¿¿p(x)
题 p(x0)成立 p(x0)
∃
∀
高频考点一 集合的概念
例1、（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，若 ，则 的值为（ ）．
A． ，2 B． C． ， ，2 D． ，2
【答案】D
【解析】
由集合中元素的确定性知 或 ．
当 时， 或 ；当 时， ．
当 时， 不满足集合中元素的互异性，故 舍去；
当 时， 满足集合中元素的互异性，故 满足要求；
当 时， 满足集合中元素的互异性，故 满足要求．
综上， 或 ．故选：D．
【变式训练】
已知集合 ，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
由 ，得 ， ，
又 ， ，所以 ， ，
易知 与 的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为 .
故选：A.
【归纳总结】
注意集合的元素中的三要素，学会将元素的互异性转化为函数问题。
高频考点二 集合间的基本关系
例2、 （2021·江西·丰城九中高二阶段练习）设集合 ， ，
，则下列关系中不正确的一个是（ ）
A． B．
C． D．A∪B＝C
【答案】D
【解析】
集合 是由二次函数 的自变量 组成的集合，即 ，
集合 是由二次函数 的因变量 组成的集合，即 ，所以 ，故C正确；
集合 是由二次函数 图象上所有的点组成集合，为点集，所以 A∪B＝ C，
所以A、B正确，D错误.
故选：D
【变式训练】已知集合 ， ，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
由 知 ．又 ，则集合 ．又 ，则满足条件的集合C可
以为 ， ， ， ，共4个，
故选：C．
【方法总结】
算出每一个集合中的元素，再根据集合之间的关系进行判断，注意空集的含义。
高频考点三 集合的基本运算
例3． （2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因 ，则 ，而 ，
所以 .
故选：D
【变式训练】
如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
【练后归纳】
注意运算的顺序，理清运算的逻辑，有时也可以借助Venn图来理解。
高频考点四 充分条件与必要条件
例4、 （2022·广西·高二阶段练习（理））已知 ， ，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由 ，
当 ，可得 且 ，
当 ，可得 且 .
所以 ，可推得 成立，但反之不成立.
故p是q的充分不必要条件.
故选：B
【变式训练】
已知p： ，q： ，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
命题p：因为 ，所以 ，解得 ，
命题q： ，
因为p是q的充分不必要条件，
所以 .
故选：C
【方法技巧】
先判断出谁是条件，谁是结论，再依次推断条件和结论之间的关系，从而得到结果。
高频考点五 全称量词与存在量词
例5. （2021·江西·丰城九中高二阶段练习）命题“ ， ”的否定是_______
【答案】 , ,
【解析】“ ， ”的否定是: , ,
故答案为： , ,
【变式训练】
设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B
C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
【答案】C
【解析】
由题意得命题 的否定为 ；故选C.
【练后归纳】
否定一个命题指的是在同意此事件条件的情况下否对他的结论所以命题的否定需要改变量词和结论，不需
要改变条件。
