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第 1 讲 集合与常用逻辑用语
本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，集合主要结合
一元二次不等式等相关知识点考察元素于集合之间的关系，多注意集合在数学中的使用方法。常用逻辑用
语是数学语言的重要组成部分，需要理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法、体会逻辑用
语在表述数学内容和论证数学结论中的作用。
考点一 集合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N＋
2．集合间的基本关系
表示
文字语言 记法
关系
集合A中任意一个元素都是集合B
子集 A B或B A
中的元素
集合 ⊆ ⊇
集合A是集合B的子集，并且B中 A B或
间的 真子集
至少有一个元素不属于A
B A
基本
集合A中的每一个元素都是集合B
关系
A B且B A
相等 中的元素，集合B中的每一个元素
A＝B
⊆ ⊆
也都是集合A中的元素
⇔
空集是任何集合的子集 ∅⊆A
空集
空集是任何非空集合的真子集 ∅ B且B≠∅
3．集合的三种基本运算
文字语言 图形表示 符号语言所有属于集合A或者属
集合的 A∪B＝{x|x∈A，或
于集合B的元素构成的
并集 x∈B}
集合
所有属于集合A且属于
集合的 A∩B＝{x|x∈A，且
集合B的元素构成的集
交集 x∈B}
合
集合的 全集U中不属于集合A ∁UA＝{x|x∈U，且
补集 的所有元素构成的集合 x∉A}
4.集合基本运算的常见性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A⇔ B⊆.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；
⇔ ⊆
∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
考点二 充分条件与必要条件
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为
假的语句叫做假命题．
2．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p A B
⇒ ⊆
p是q的充要条件 p q且q p A＝B
⇒ ⊇
⊂
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p
A ¿ B
⇒ ⊃
p是q的必要不充分条件 p q且q p
A ¿ B
⇒
p是q的既不充分条件也不 A B且
p q且q p
必要条件
A⊉B
3.熟记常用结论
．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q⇐p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q且
⇒ ⇔
q r” “p r”(“p⇐q且q⇐r” “p⇐r”)．
⇒
考点三 全称量词与存在量词
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
1．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
命题
2．全称量词命题与存在量词命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称量词
对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M，p(x)
命题
∀
存在量词
存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0∈M，p(x0)
命题
∃
3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题
语言表示 符号表示 命题的否定
名称
全称量词 对M中任意一个x，有 x∈M，
x0∈M，¬¿¿p(x0)
命题 p(x)成立 p(x)
∀
∃
存在量词命 存在M中的一个x0，使 x0∈M，
x∈M，¬¿¿p(x)
题 p(x0)成立 p(x0)
∃
∀
高频考点一 集合的概念
例1、（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，若 ，则 的值为（ ）．
A． ，2 B． C． ， ，2 D． ，2
【变式训练】
已知集合 ，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
高频考点二 集合间的基本关系
例2、 （2021·江西·丰城九中高二阶段练习）设集合 ， ，
，则下列关系中不正确的一个是（ ）
A． B．
C． D．A∪B＝C
【变式训练】已知集合 ， ，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
高频考点三 集合的基本运算
例3． （2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
高频考点四 充分条件与必要条件
例4、 （2022·广西·高二阶段练习（理））已知 ， ，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练】
已知p： ，q： ，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点五 全称量词与存在量词例5. （2021·江西·丰城九中高二阶段练习）命题“ ， ”的否定是_______
【变式训练】
设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B
C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
