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第 1 节 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图
形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含
与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解
在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩
(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有 x ∈ B ，则A B或B A.
(2)真子集：若A B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则 A B 或BA.
⊆ ⊇
(3)相等：若A B，且 B A ，则A＝B.
⊆
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
⊆ ⊆
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号 若全集为 U，则集合 A 的
A∪B A∩B
表示 补集为∁ A
U图形
表示
集合
{x|x∈A，或x∈B} { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } {x|x∈U，且x∉A}
表示
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁ A)＝，A∪(∁ A)＝U，
U U
∁U
(∁
U
A)＝A.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集
有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B ∁ A ∁ B.
U U
4. ∁ (A∩B)＝(∁ A)∪(∁ B)，∁ (A∪B)＝(∁ A)∩(∁ B).
⊆U ⇔ U ⇔ U ⇔U ⊇ U U
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
⊆
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y
＝x2＋1上的点集.
(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
2.若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a} P D.a∉P
答案 D
⊆解析 因为 a＝2不是自然数，而集合 P是不大于的自然数构成的集合，所以
a∉P，只有D正确.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－22}
答案 D
解析 易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.
∴∁ A＝{x|x<0或x>2}，
U
故(∁ A)∩B＝{x|x>2}.
U
6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则
S∩T＝( )
A. B.S C.T D.Z
答案 C
解析 法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集
合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以S∩T＝T.
⊆法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，
T S，
所以S∩T＝T.
⊆
, 考点一 集合的基本概念
1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为(
)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1，0，1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.
2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 ①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3，即a＝－1时，此时A＝{－4，－3，－3}舍，
③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，
－3}，
综上，a＝0或1.
3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且∈N}＝________.
答案 {－2，2，4，5}
解析 由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.
4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称
k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素
构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这
三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，
4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集
合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什
么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验
集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B A，则实数a的所有可能
取值的集合为( )
⊆
A.{－1} B.{1}
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的
取值范围是________.
⊆
答案 (1)D (2)[－1，＋∞)
解析 (1)当B＝时，a＝0，此时，B A.
当B≠时，则a≠0，∴B＝.
⊆
又B A，∴－∈A，∴a＝±1.
综上可知，实数a所有取值的集合为{－1，0，1}.
⊆
(2)∵B A，
①当B＝时，2m－1>m＋1，解得m>2，
⊆
②当B≠时，
解得－1≤m≤2，
综上，实数m的取值范围[－1，＋∞).
感悟提升 1.若B A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区
⊆
间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析
及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，
否则易增解或漏解.
训练1 (1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则
a2 022＋b2 023的值为( )
A.0 B.1C.－2 D.0或－1
(2)已知集合A＝{x|log (x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A B，则实数a的取值范
2
围为( )
⊆
A.(1，3) B.[1，3]
C.[1，＋∞) D.(－∞，3]
答案 (1)B (2)B
解析 (1)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，
若A＝B，则a2＝1或ab＝1.
由集合互异性知a≠1，当a＝－1时，
A＝{1，a，b}＝{1，－1，b}，
B＝{a，a2，ab}＝{－1，1，－b}，
有b＝－b，得b＝0.
∴a2 022＋b2 023＝(－1)2 022＋02 023＝1.
当ab＝1时，集合A＝{1，a，b}，
B＝{a，a2，ab}＝{a，a2，1}，有b＝a2.
又b＝，∴a2＝，得a＝1，不满足题意.
综上，a2 022＋b2 023＝1，故选B.
(2)由log (x－1)<1，得02m}，若
A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是( )
A.[3，6) B.[1，2)
C.[2，4) D.(2，4]
(2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值
范围是( )
A.a<－2 B.a≤－2
C.a>－4 D.a≤－4
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为 x2－4x－5<0，解得－14
C.a≤4 D.a>
(2)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁ N)＝，则a的
U
取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由M∩N＝N，∴M N.
当N＝时，即a≤成立；
⊇
当N≠时，借助数轴易知0}＝，
∴∁ N＝.
U
由M∩(∁ N)＝，则－≤－，得a≥1.
U
Venn图的应用
用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn图.集合中图形语言具有直
观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.
例 1 设全集 U＝{x|0－1} B.{x|x≥1}
C.{x|－10，得x>－1，
∴A＝{x∈Z|x>－1}＝{0，1，2，3，…}.
由x2－x－2<0，得－13}，
R
∴(∁ M)∩N＝{x|－1≤x<1或x>3}.
R
8.设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为( )
A.－2 B.2 C.3 D.4
答案 C解析 因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.
又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B A，所以a的最大值为3.
9.(2021·合肥模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x||x－1|≤2}，
⊆
则A∩B＝________.
答案 {－1，0，1，2}
解析 B＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，
又A＝{－2，－1，0，1，2}，
∴A∩B＝{－1，0，1，2}.
10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|10}，若A B，则实数c的
取值范围是________.
⊆
答案 [1，＋∞)
解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，
c>0}＝(0，c).由A B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
⊆
12.已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，则a＋b＝________.
答案 或1
解析 由A＝B，得或
解得或
解得或
又由集合中元素的互异性，
得或
所以a＋b＝1或a＋b＝.13.若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中
阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0}
C.{－1，1} D.{0}
答案 D
解析 B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁ (A∪B).又A∪B
U
＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁ (A∪B)＝{0}.
U
14.(2020·浙江卷)设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有2个元素，且S，T
满足：
⊆ ⊆
①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；
②对于任意的x，y∈T，若x＜y，则∈S.
下列命题正确的是( )
A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素
答案 A
解析 由题意，①令S＝{1，2，4}，
则T＝{2，4，8}，
此时，S∪T＝{1，2，4，8}，有4个元素；
②令S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，
此时，S∪T＝{2，4，8，16，32}，有5个元素；
③令S＝{2，4，8，16}，则T＝{8，16，32，64，128}，
此时，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素.
综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除
C，D；由③可知A正确.15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝
(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－50}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，
则a＝________.
答案 1
解析 M＝，由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1.
当a＝4时，M＝，此时M N，不合题意；
当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意.
⊆
