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第 7 讲 函数与方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的零点
(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α 为函数y
＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处
的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x ∈(a，b)，f(x )＝0.
0 0
二、考点和典型例题
1、函数零点所在区间的判断
【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数 是 上的连续增函数,
,
可得 ,
所以函数 的零点所在的区间是 .
故选：C
【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练习（文））利用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设 ，
当连续函数 满足 （a） （b） 时， 在区间 上有零点，
即方程 在区间 上有解，
又 （2） ， （3） ，
故 （2） （3） ，
故方程 在区间 上有解，
即利用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是 .
故选：C．
【典例1-3】（2019·全国·高三专题练习）若 的一个正数零点附近的函数值用二分法
逐次计算，数据如下表：
那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【详解】
根据二分法，结合表中数据，
由于所以方程 的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数 是周期为 的周期函数，且当时
时， ，则函数 的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
零点个数就是 图象交点个数，
作出 图象，如图：
由图可得有 个交点，
故 有 个零点．
故选：B ．
【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】
令 ，得 ，
图象关于 对称，在 上递减.
，令 ，所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称，
， 在 上递增，
所以 与 有两个交点，
两个交点关于 对称，所以函数 的所有零点之和为 .
故选：B
2、图像零点个数的判定
【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数 ，且 ，则 的零点个数为
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【详解】
由
可得 或 ，又 ，则 ，或 ，或
则 的零点个数为3
故选：C【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
令 ，
当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递减，此时 ，
当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递增，此时 ，
所以， 的零点等价于 与 交点横坐标 对应的 值，如下图示：
由图知： 与 有两个交点，横坐标 、 ：
当 ，即 时，在 、 、 上各有一个解；当 ，即
时，在 有一个解.
综上， 的零点共有4个.故选：B
【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数 ．若在 内恰有一
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：当 时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，
所以 为一次函数，
因为 在 内恰有一个零点，
所以 ，即 ，解得 或 .
故 的取值范围是 .
故选：C
【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当 时，
，已知 ，则函数 在 上的零点个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
【答案】D
【详解】
因为 ，所以 的周期为2，
又因为 为奇函数， ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
当 时， ，
由 单调递减得函数 在 上单调递增，所以 ，得 ，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当 过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 时，有4个零点.
所以当 时，函数 在 上有4个或5个零点.
故选：D
【典例2-5】（2022·宁夏银川·一模（理））设函数 ，已知 在 上单调递增，则 在 上的零点最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】
由 ， ，得 ， ，
取 ，可得 .若 在 上单词递增，则 ，
解得 .若 ，则 .
设 ，则 ，因为
所以函数 在 上的零点最多有2个.
所以 在 上的零点最多有2个.
故选：A
3、图像零点的综合应用
【典例3-1】（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数 ，若 有4个零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：令 ，得 ，
在同一坐标系中作出 的图象，如图所示：由图象知：若 有4个零点，
则实数a的取值范围是 ，
故选：A
【典例3-2】（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足 ，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
显然不是 的根.所以
因此只有一个实数x满足 等价于方程 只有一个实数根.
令 ，令 ，故可知：
当 时， ，此时 单调递减
当 时， ，此时 单调递增，当 时， ，此时 单调递增，
且当 时， ， 时， ，当 时， ，当时， ，故 图像如图：
故 .
故选：D
【典例3-3】（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数 （ 且 ），若函数
的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 或 D． 或
【答案】D
【详解】
解：依题意函数 的零点即为方程 的根，
①当 时函数 的函数图象如下所示：所以 有两个根 ， （ ， ），
而 对应2个根，所以需要 对应3个根，
所以 ，即 ，解得 ；
②当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有两个根 ， （ ， ），而 对应2个根，
对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；
③当 时函数 的函数图象如下所示：所以 有三个根 ， ， ，
从而 ， ， ，所对应2、2、1个根，
即共5个根，所以满足题意；
④当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有三个根 ， ， ，（ ， ， ），
而 ， ， 分别对应2、2、0个根，即共四个根，
所以不满足题意；
综上可得实数 的取值范围为 或 ；故选：D
【典例3-4】（2022·福建三明·模拟预测）已知函数 有两个零点，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
函数 有两个零点，即 有两根，又 ，故
可转换为 有两根，令 ， 则
，令 ，则 ，故
在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，当且仅当 时等号成立，故在 上
， 单调递减；在 上 ， 单调递增，所以 ，又当
与 时 ，故实数a的取值范围为
故选：D
【典例3-5】（2022·山东济宁·二模）已知函数 ，若函数 有5个零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
与 关于y轴对称，且 ，要想 有5个零点，
则当 时， 要有2个根，结合对称性可知 时也有2个零点，
故满足有5个零点，
当 时， ，不合题意；
当 时，此时
令 ，定义域为 ，
，
令 得： ， ，令 得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， 恒成立，
在 处取得极大值，其中 ，
故 ，此时与 有两个交点.
故选：C
