第1章集合与常用逻辑用语第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学（文科）一轮复习（老高考通用版）

第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件 考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否 命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充 要条件的含义. 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的 语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p q且q p ⇒ p是q的必要不充分条件 p q且q p ⇒ p是q的充要条件 p q ⇒ p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p ⇔1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只 否定命题的结论. 2.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A B 且 B A)，与 A 的充分不必要条件是 ⇒ B(B A且A B)两者的不同. 3.充⇒要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. ⊆ (3)若A＝B，则p是q的充要条件. 4.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( ) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的. 2.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是 “a＝b”的必要不充分条件. 3.(2021·全国甲卷)等比数列{a }的公比为 q，前 n 项和为 S .设甲：q＞0，乙： n n {S }是递增数列，则( ) nA.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B 解析 当a ＜0，q＞1时，a ＝a qn－1＜0，此时数列{S }递减，所以甲不是乙的 1 n 1 n 充分条件.当数列{S }递增时，有 S －S ＝a ＝a qn＞0，若 a ＞0，则 qn＞ n n＋1 n n＋1 1 1 0(n∈N*)，即q＞0；若a ＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条 1 件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件. 4.( 易 错 题 ) 命 题 “ 若 a2 ＋ b2 ＝ 0 ， 则 a ＝ 0 且 b ＝ 0” 的 逆 否 命 题 是 ________________. 答案 若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 5.(易错题)若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则 a 的最小值为 ________. 答案 3 解析 由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3. 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3. 6.已知命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命 题这四个命题中，真命题的个数为________. 答案 2 解析 由x≥0，y≥0 xy≥0， ∴原命题成立，则逆否命题也成立. ⇒ 由xy≥0 x≥0，y≥0，如x＝－1，y＝－2， ∴原命题的逆命题不成立，则原命题的否命题也不成立. 考点一 命题及其关系 1.已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列说 法正确的是( )A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1” B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数” C.逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数” D.逆否命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数” 答案 B 解析 由四种命题关系易知B正确. 2.给出以下命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③若ab是正整数，则a，b都是正整数； ④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减. 其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号). 答案 ① 解析 ①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相 反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等三角形的面积不 相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整 数，则a，b不一定都是正整数，例如 a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造 函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假 命题.综上①为真命题. 3.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为 假命题的一个函数是________________. 答案 f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一，再如f(x)＝) 解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满 足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x) ＝f(0). min 感悟提升 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. 2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出 反例. 3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断. 考点二 充分条件与必要条件的判定 例1 (1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.“l，m，n共 面”是“l，m，n两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α ＝sin β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)C 解析 (1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可 能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交. 由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点， 可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n， 所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n， 所以B，C∈α，所以l，m α， 所以m，n，l在同一平面内.故选B. ⊂ (2)若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ， 则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β， 有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β； 当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β， 有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin β. 若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)， 即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C. 感悟提升 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p q，q p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. ⇒ ⇒ (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为 其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 训练1 (1)(2022·长春质检)已知m，n是平面α内两条不同的直线，则“直线l⊥m 且l⊥n”是“l⊥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)A 解析 (1)若 m 与 n 不相交，则由“直线 l⊥m 且 l⊥n”不能推出“l⊥α”，若 l⊥α，则l垂直于面内任何一条直线，故选B. (2)若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4成立. 当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2， ∴a＋b>4，ab>4 a>2，b>2，故答案为A. 考点三 充分、必要条件的应用 例2 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若 x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围. 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S P. ∴解得m≤3. ⊆ 又∵S为非空集合， ∴1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m的取值范围是[0，3]. 迁移 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p 是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈p是綈q的必要不充分条件， p是q的充分不必要条件. ∴p q且q p，即PS. ∴或⇒ ∴m≥9，又因为S为非空集合， 所以1－m≤1＋m，解得m≥0， 综上，实数m的取值范围是[9，＋∞). 感悟提升 1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系. (2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. 2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取 值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或 增解的现象. 训练2 (1)使≥1成立的一个充分不必要条件是( ) A.10，且a≠1，函数y＝1＋log (x－1) a 的图象过点P”的逆否命题为真，则P点坐标为( ) A.(2，1) B.(1，1) C.(1，2) D.(2，2) 答案 A 解析 由逆否命题与原命题同真同假，可知命题 p为真命题，由对数函数性质可 知，函数y＝1＋log (x－1)的图象过定点(2，1)，所以点P的坐标为(2，1). a 3.已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是( ) A.命题p是真命题 B.命题p的逆命题是真命题 C.命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1” D.命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1” 答案 B 解析 p：若a<1，则a2<1；如a＝－2，则(－2)2>1，∴p为假命题，A不正确； 命题p的逆命题：若a2<1，则a<1为真命题，B正确； 命题p的否命题：若a≥1，则a2≥1，C显然不正确； 命题p的逆否命题：若a2≥1，则a≥1，D显然不正确. 4.王昌龄的《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲， 不破楼兰终不还”， 从中可知“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定“攻破楼兰”， 故选B. 5.命题若“x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题为( ) A.若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0 B.若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0 C.若x2＋y2≠0，则x，y都不为0 D.若x2＋y2＝0，则x，y都不为0 答案 B 解析 否命题既否定条件又否定结论. 6.(2022·郑州质检)对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 ①ac＝bc a＝b或c＝0，∴①为假命题； ②a＋5是无理数⇔a是无理数，∴②为真命题； ⇔ ③0>－2推不出02>(－2)2，∴③为假命题； ④a<5 a<3，但a<3 a<5，∴④为真命题. 7.(2021·贵阳模拟)设函⇒数f(x)＝ex2－3x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是( ) A.04；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的 ________________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分 也不必要”). 答案 充分不必要 解析 由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集， ∴p是q的充分不必要条件. 11.已知不等式|x－m|<1成立的一个充分不必要条件是0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题， 则实数m的取值范围为______. 答案 [3，8) 解析 ∵p(1)是假命题，∴1＋2－m≤0. 又∵p(2)是真命题，∴4＋4－m>0， ∴∴3≤m<8，∴实数m的取值范围为[3，8). 13.(2021·深圳模拟)对于任意实数 x，〈x〉表示不小于 x 的最小整数，例如 〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠ 〈y〉，可知充分性不成立.当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n， m，n∈[0，1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立.所以“|x－y|<1”是“〈x〉 ＝〈y〉”的必要不充分条件. 14.已知偶函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数 a，b，“a>|b|”是 “f(a)>f(b)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|). 又y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 若a>|b|，则f(a)>f(|b|)＝f(b)，即充分性成立； 若f(a)>f(b)，则等价为f(|a|)>f(|b|)，即|a|>|b|， 即a>|b|或a<－|b|，即必要性不成立， 则“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件. 15.能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________. 答案 a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0) 解析 若 a>b，则<为真命题，则－＝<0，∵a>b，∴b－a<0，则 ab>0.故当 a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则<”为假命题.16.已知集合 A＝{y|y＝x2－x＋1，0≤x≤2}，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q： x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________. 答案 ∪ 解析 由y＝x2－x＋1＝＋，0≤x≤2，得≤y≤2，∴A＝. 又由题意知A B， ∴2－m2≤，∴m2≥. ⊆ ∴m≥或m≤－.