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第 01 讲 集合与常用逻辑用语
1．已知集合 ， ， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
由题意，当 时， ，当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
2．已知集合 ，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【解析】
集合 有两个元素： 和 ，
故选：B
3．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
由 且 可得： ，即 ，
所以 中的元素有6个.
故选：B4．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：因为 ，则 ，
故 .
故选：D.
5．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因集合 ， ，
所以 .
故选：C
6．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
时， ，故充分性成立，
，解得： 或 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A7．已知命题 ，命题 ，则p是q的（ ）
A．但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由命题 构成集合 ，由命题 构成的集合为 ，
可得 ，所以命题 是 的必要不充分条件．
故选：B
8．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
解：由 ，
显然由 推不出 ，比如 推不出 ，
又 推不出 ，比如 推不出 ，
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
9．命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】
命题“ ”的否定为“ ”
故选：D
10．设命题 ， ，则命题p的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题 ， 的否定为： ， .
故选：B.
11．设集合 ，则集合 的子集个数为________
【答案】16
【解析】
解： ，
故A的子集个数为 ，
故答案为：16
12．设集合 ，若 ，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
由集合M知， ，则 且 ，因 ， ，
于是得 ，解得 ，
所以 的值为 .
故答案为：1．定义集合 的一种运算： ，若 ， ，则 中的
元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ， ， ，
所以 ，
故集合 中的元素个数为3，
故选：C.
2．已知集合 ， ，则下列命题中不正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
【答案】D
【解析】
，若 ，则 ，且 ，故A正确，
时， ，故D不正确，
若 ，则 且 ，解得 ，故B正确，
当 时， ，解得 或 ，故C正确，
故选：D．
3．已知集合 ，则 （ ）
A． B．E C．F D．Z
【答案】A【解析】
易知 ，所以 ．
故选：A．
4．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做
事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选：B
5．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由 ，得 ，即 ，
于是有 ，解得 ，
因为“ ”不能推出“ ”，故充分性不成立；
因为“ ”能推出“ ”，故必要性成立；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
6．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
由特称命题的否定为全称命题，
所以原命题的否定为 ， .
故选：B
（多选）17．下面说法中，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
解：方程 中x的取值范围为R，所以 ，同理 ，所以A正确；
表示直线 上点的集合，而 ，所以 ，
所以B错误；
集合 ， 都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以 ，所以D正确．
故选：ACD．
7．集合 中所有元素之和为 ，则实数 ________．
【答案】
【解析】
由 得 或
所以 或
依题意得 ，得故答案为： ．
8．已知集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围_________．
【答案】 或
【解析】
用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使 ，只需 或 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围 或 .
故答案为： 或
9．给定数集 ，若对于任意 、 ，有 ，且 ，则称集合 为闭集合，则下列所
有正确命题的序号是______：
①集合 是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合 是闭集合；
④若集合 、 为闭集合，则 为闭集合．
【答案】②③
【解析】对于①， ， ，所以错误；
对于②，因为整数加减整数仍然为整数，所以正确，
对于③，当 时，设 ，
则 ，所以集合 是闭集合，所以正确；
对于④, 设 ，
由③可知，集合 为闭集合， ，而 ，故 不为闭集合，所以错误．
故答案为：②③.
1．（2020·天津·高考真题）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意结合补集的定义可知： ，则 .
故选：C.
2．（2020·浙江·高考真题）已知集合P= ， ，则P Q=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B3．（2020·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（
）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .
故选：B.
4．（2019·浙江·高考真题）已知全集 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，则
故选：A
5．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
6．（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意， ，所以 ,
所以 .
故选：D.
7．（2020·山东·高考真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当 时，集合 ， ，可得 ，满足充分性，
若 ，则 或 ，不满足必要性，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
8．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是
“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
9．（2011·湖南·高考真题（理））设集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件.
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
解：当 时， ，满足 ，故充分性成立；
当 时， 或 ，所以 不一定满足 ，故必要性不成立.
故选：A.
10．（2012·湖北·高考真题（文））命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】
由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不
是有理数．
11．（2019·江苏·高考真题）已知集合 ， ，则 _____.
【答案】 .
【解析】
由题知， .
