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专题 01 集合与简易逻辑
单选题
1．（2021·全国·高考真题（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分析可得 ，由此可得出结论.
【详解】
任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
2．（2021·全国·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据交集、补集的定义可求 .
【详解】
由题设可得 ，故 ，
故选：B.
3．（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合M满足 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】
由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
4．（2022·全国·高考真题（文））集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为 ， ，所以 ．
故选：A.
5．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2022·全国·高考真题）若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出集合 后可求 .
【详解】
，故 ，
故选：D
7．（2021·河南·模拟预测（文））已知命题 ：“若实数 ， 满足 ，则 最小值为 ”，命
题 ：“若点 在直线 右下方，则 ”，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】
分别判断命题 的真假，再根据复合命题的真假得出答案.
【详解】
由 ，可得 ， 是真命题，
若点 在直线 右下方，则 ， 是假命题，
所以 是真命题，
故选：D
8．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测（文））命题 不等式 的解集为 ，
命题 在 中， 是 成立的必要不充分条件，则下列命题中为真命题
的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据对数的运算性质计算p中不等式即可判断p命题真假；利用三角恒等变换公式化简 ，结
合正弦定理和三角形性质可判断命题q的真假，从而可逐项判断真假.
【详解】
∵ ，
∴命题p为真命题， 为假命题；
在 中，若 ，
则 ，即 ，即 ，
设角A和B的对边分别为a和b，则根据正弦定理可知， ，又根据三角形大边对大角的性质可知， ，
故q命题为假命题， 为真命题；
∴ 为真命题， 为假命题， 为假命题， 为假命题.
故选：A.
9．（2021·全国·高考真题（理））等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是
递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
10．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集
合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B
11．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）定义集合
， ，则下列判断正
确的是（ ）
A．B．
C．若 ，
，则由 围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一
定相等
D．满足 且 的点 构成区域的面积为
【答案】C
【分析】
首先确定集合 和 所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.
【详解】
对于集合 ，
原点到直线 的距离为 ，
所以集合M表示圆 上所有点的切线上的点，
对于集合 ，
当 时， 表示图中三角形AOD区域;
当 时， 表示图中三角形AOB区域;
当 时， 表示图中三角形BOC区域;
当 时， 表示图中三角形COD区域;
所以集合 表示图中ABCD区域，对于A选项，由图可知 ，不是空集，故A错；
对于B选项， 表示图中圆内部挖去ABCD区域剩下的部分，不是空集，故B错；
对于C选项， 表示在点 处的切线，
表示在点 处的切线，
表示在点 处的切线，三切点均在圆上，易
知三切点构成正三角形，由对称性可知C正确；
对于D选项，由B选项知， 且 则P点在圆内部挖去ABCD区域剩下的区域内，面积为
，故D错；
故选C.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系问题，在解题的过程中，要善于数形结合，代数几何化之后，可以辅助
我们解题，达到事半功倍的效果.
12．（2021·上海闵行·一模）设函数 ，对于实数a､b，给出以下命题：命题
；命题 ；命题 .下列选项中正确的是（ ）
A． 中仅 是 的充分条件
B． 中仅 是 的充分条件
C． 都不是 的充分条件
D． 都是 的充分条件【答案】D
【分析】
令 ，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在
(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.
【详解】
令 ，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在
(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.
，
即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，
即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，
①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时 ，即 是q的
充分条件；
②当 时，a≥0， ， ，
(i)当a≥1时，a≥ ，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；
此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴ 成立；
(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即 成立；
(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，
∴ 在(－∞，0)单调递增，
∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；
又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，
故当0＜a＜1时，a＜ ＜1， ，
∴f(a)＞0，f(b)＞0，∴ 成立.
综上所述， 时，均有 成立，∴ 是q的充分条件.
故选：D.
【点睛】
本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的
掌握与熟练运用.
