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第 01 讲 数列的概念与简单表示法
本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计
算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力
与运算求解能力.
考点一 数列的定义与分类
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
项与项 递增数列 a ＞a
n＋1 n
其中
间的大 递减数列 a ＜a
n＋1 n
n∈N*
小关系 常数列 a ＝a
n＋1 n
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的
摆动数列
数列
考点二 数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
考点三 数列的通项公式与递推公式
1.数列的通项公式
如果数列{a }的第n项与 序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公
n
式叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式
如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a 与它
n
的前一项a (n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式
n－1
就叫做这个数列的递推公式.
考点四 常用结论1.若数列{a }的前n项和为S ，通项公式为a ，则a ＝
n n n n
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，
而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列
的项对应的位置序号.
高频考点一 由数列的递推关系求通项
角度1 累加法——形如a －a ＝f(n)，求a
n＋1 n n
【例1】在数列 中， ， ，则 （ ）．
A．659 B．661 C．663 D．665
【答案】D
【分析】由累加法和等差数列的前 项和可求出 ，代入化简
即可求出 .
【详解】因为 ，所以 ， ，…，
，所以 ，故 ．故选：D.
角度2 累乘法——形如＝f(n)，求a
n
【例2】已知数列 中， ， ，则满足 的n的最大值为
（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据数列的递推关系式，运用累乘法计算出数列 的通项公式，再根据不等式
求解n的最大值.
【详解】根据题意，
化简得，运用累乘法计算得 ，
且 ， ， 符合该式，
时，
时， ； 时，
所以满足条件的n的最大值为5.故选：B.
角度3 构造法——形如a ＝Aa ＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求a
n＋1 n n
【例3】已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 可得 ，即数列 是以 为首项，2为
公比的等比数列，再根据 的值求出 可得答案.
【详解】由 ，可得 ，若 ，
则 ，与 矛盾，
故 ，所以 ，
即数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
又
，所以 .故选：A.
【方法技巧】
1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a ，且a －a ＝f(n)，可用“累加法”求a .
1 n n－1 n
(2)已知a (a ≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求a .
1 1 n
2.已知a 且a ＝pa ＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为
1 n＋1 n
a －t＝p(a －t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解.
n＋1 n
【跟踪训练】
1．已知 为数列 的前n项和，若 ，则 的通项公式为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由题设求出 ，再通过构造得 ，由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】令 可得 ，又 ，解得 ，又
，
则 ， ，即 是以2为首项，2为公比的等比数列，则
， .故选：B.
2．已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用累加法可求得 ，代入 即可求得 .
【详解】由 得： ，
， ， ，…， ，
各式作和得： ，
， .故选：C.
3．已知 ，则 （ ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
【答案】D
【分析】根据数列的递推式，变形为 ，采用累乘法，求得答案.
【详解】由 可得： ，
故 ，故选：D.
4．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，
从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任
意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球
者，第n次触球者是甲的概率为 ，则 ＝（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球
的人有 的概率将球传给甲，有 ，设 ，可求得 ，从而
有 是以 为首项，以 为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得 ，代入
可求得 .
【详解】解：要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次
触球的人有 的概率将球传给甲，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 ，即
，所以 ，故选：C.
5．数列 满足 ，且 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知数列 是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 的
通项公式，然后分析数列 的单调性，可得结果.
【详解】因为 ，等式两边同时乘以 可得 ，
所以， 且 ，
所以，数列 是等差数列，且首项和公差都为 ，则 ，所以，
，
因为 .当 时， ；
当 时， ，即数列 从第二项开始单调递减，因为 ， ，故当 时， ；当 时， .
所以， ，则 的最小值为 .故选：B.
高频考点二 由an与Sn的关系求通项
【例4】(1)已知数列 的前n项和 满足 且 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据递推公式，结合前n项和与通项的关系可得 ，再求解 即可
【详解】由题意 ，故当 时， ，即 .当 时，
恒成立，当 时， ，解得 .
当 时， ，故 ，即
， ，故
，故当 时， 为常数列，故
，故 ，即 ，又
，故 ，故当 时 也成立，故
.故 ，故
故选：C
(2)已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．1023 B．1535 C．1538 D．2047
【答案】B
【分析】根据 的关系可得 ，进而可得 从第二项起，成等比数列，
公比为2，根据等比数列公式即可求解.
【详解】由 得 ，进而可得：
，当 时， ，故 从第二项起，成等比数
列，公比为2，故 ，
故选：B【方法技巧】
1.由S 求a 的步骤
n n
(1)先利用a ＝S 求出a .
1 1 1
(2)用n－1替换S 中的n得到一个新的关系，利用a ＝S －S (n≥2)便可求出当
n n n n－1
n≥2时a 的表达式.
n
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
2.S 与a 关系问题的解题思路
n n
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，
(1)由a ＝S －S (n≥2)转化为只含S ，S 的关系式求解；(2)转化为只含a ，a
n n n－1 n n－1 n n
(n≥2)的关系式.
－1
【变式训练】
1．在等比数列 中，已知前n项和 ，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】利用 成等比数列列方程，化简求得 的值.
【详解】 ，
由于 是等比数列，所以 ，即 .故选：B
2．若数列{ }的前n项和为 ＝ ， =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用 与 的关系求得数列 的通项公式，利用等比数列前
项和公式求解即可.
【详解】解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
∴ 是首项为1，公比为-2的等比数列，∴ ，
所以 .故选：B.
高频考点三 数列的性质【例 5】 (1)(2022·成都诊断)设数列{a }满足：a ＝2，a ＝(n∈N*).则数列
n 1 n＋1
{a }前2 021项的乘积a a a a …a ＝________.
n 1 2 3 4 2 021
(2)已知等差数列{a }的前n项和为S ，且S ＝－2，S ＝0，S ＝3(m≥2)，则
n n m－1 m m＋1
nS 的最小值为( )
n
A.－3 B.－5
C.－6 D.－9
【答案】(1)2 (2)D
【解析】(1)由a ＝2得a ＝－3，a ＝－，a ＝，a ＝2，…，
1 2 3 4 5
显然该数列中的数从a 开始循环，周期是4.
5
因此a a a a ＝1，且a ＝a ＝2.
1 2 3 4 2 021 1
故a a a a …a a ＝(a a a a )505·a ＝2.
1 2 3 4 2 020 2 021 1 2 3 4 2 021
(2)由S ＝－2，S ＝0，
m－1 m
S ＝3(m≥2)可知a ＝2，a ＝3，
m＋1 m m＋1
设等差数列{a }的公差为d，则d＝1，
n
因为S ＝0，所以a ＝－a ＝－2，
m 1 m
则a ＝n－3，S ＝，nS ＝.
n n n
设f(x)＝，x>0，f′(x)＝x2－5x，x>0，
所以f(x)的极小值点为x＝，
因为n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，
所以f(n) ＝－9.即nS 的最小值为－9.
min n
【方法技巧】
1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.
2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用
周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a 与a 的大小，常用作差或作商法进行
n n＋1
判断.
【变式训练】
1．已知数列 是严格增数列，满足 ， ，且 .则n的
最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C【分析】欲使得n尽可能大，则 的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值.
【详解】∵ ，并且 是严格增数列， ，
∵ ，
即 ，解得 ，
， ， ， ，
，即n的最大值为12；故选：C.
2．在等差数列 中， ， ，则数列 的通项公式为______．记数列
的前 项和为 ，若 得对 恒成立，则正整数 的最小值为______．
【答案】 5
【分析】利用等差数列性质计算出公差，求出通项公式；设 ，再利用放缩法
得到 ，从而求出 的最大值，列出不等式，求出正整数 的最小值.
【详解】由题设，得等差数列 的公差 ，
∴ ．
可化为 ，
令 ，
则 ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值 .
由 ，得 ，∴正整数 的最小值为5．故答案为： ，5
