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回扣 1 集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明
1．集合
(1)集合间的关系与运算
A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2 n ， 2 n － 1,2 n － 1,2 n － 2 .
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若
已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．四种命题及其相互关系
(1)
(2)互为逆否命题的两个命题同真同假．
3．含有逻辑联结词的命题的真值表
命题p且q、p或q、非p的真假判断
p q p且q p或q 非p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真4.全称命题、特称命题及其否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题： 綈 p ： ∃ x ∈ M ， 綈 p ( x)．
0 0
(2)特称命题p：∃x∈M，p(x)，其否定为全称命题： 綈 p ： ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ) ．
0 0
5．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q p，则p是
q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
⇏
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是
q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分
条件)；若A＝B，则p是q的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
6．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；
三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，
它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种
情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
7．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是.
8．分式不等式
>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)⇔.
9.基本不等式
(1)基本不等式：≥(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时等号成立．
基本不等式的变形：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立；
②2≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时等号成立．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中
“正”“定”“等”的条件．
10．线性规划
(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．
(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．
(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．
(4)求解线性规划问题时，准确把握目标函数的几何意义，如是指可行域内的点(x，y)与点
(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指可行域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．11．推理
推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是
三段论．
12．证明方法
(1)综合法．
(2)分析法．
(3)反证法．
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}
——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素
的互异性．
3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏A＝∅的情况．
4．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从
集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
5．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，
要注意分a>0，a<0进行讨论．
6．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视
g(x)≠0.
7．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函
数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数 y＝x＋(x<0)的最值时应先转化
为正数再求解．
8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中 y的系数的正负；注意最优整数
解．
