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第 38 讲 直线与平面、平面与平面平行
【基础知识全通关】
一、直线和平面平行的判定
文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.
图形语言：
符号语言： 、 ， .
【点石成金】
（1）用该定理判断直线a与平面 平行时，必须具备三个条件：
①直线a在平面 外，即 ；
②直线b在平面 内，即 ；
③直线a，b平行，即a∥b．
这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．
（2）定理的作用
将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一
个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．
二、两平面平行的判定
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
图形语言：
符号语言：若 、 ， ，且 、 ，则
.
【点石成金】
（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．
（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平
行 面面平行．
三、判定平面与平面平行的常用方法
1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．
2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证
明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分
别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．
四、直线和平面平行的性质
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线
平行.简记为：线面平行则线线平行.
符号语言：若 ， ， ，则 .
图形语言：
【点石成金】
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若
a∥ ， ， ，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定
理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面 平行，即
a∥ ；（2）平面 和 相交，即 ；（3）直线a在平面 内，即 ．
三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行
于这个平面内一切直线”的错误．
五、平面和平面平行的性质
文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：若 ， ， ，则 .
图形语言：
【点石成金】
（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平
面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能
是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．
六、平行关系的综合转化
空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相
联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
【考点研习一点通】
考点01直线与平面平行的判定
例1．已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD
的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．
【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定 理，只
需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证 明
AC∥EF．
证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF ，EG．
在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，
又AC 平面EFG，EF 平面EFG，
于是AC∥平面EFG．
同理可证BD∥平面EFG．
【总结】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的
平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．
【变式1-1】已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、
Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图．求证：PQ∥平面CBE．
证明：作PM∥AB交BE于点M，QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN．
∴ ， ．
∵AP=DQ，∴EP=BQ．
又∵AB=CD，EA=BD，
∴PM QN．∴四边形PMNQ是平行四边形．
∴PQ∥MN．
综上，PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．
【总结】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．
【变式1-2】已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，
BC，CD的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．
【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明 AC平行于
平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明AC∥EF．
证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF，EG．
在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，
又AC 平面EFG，EF 平面EFG，
于是AC∥平面EFG．
同理可证BD∥平面EFG．
【总结】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的
平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．
【变式 1-3】在正方体 中， 是正方形 的中心，求证：
面 ．
证明：如图，取面ABCD的中心O，连 ．
D1 C1
O1
，且 A1 B1
四边形 是平行四边形 D
C
O
，又 A B
面
【变式1-4】如图所示，在正方体 中，E、F分别是棱BC、 的中
点．
求证：EF∥平面 ．
【答案】详见证明
【证明】取 的中点O，连接OF，OB．
∵OF ，BE ，
∴OF BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF 平面 ，
BO包含于平面 ，
∴EF∥平面 ．
【总结】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．
注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．
考点02平面与平面平行的判定
例2如图所示，ABFC— 为正四棱柱，D为B上一点，且 ∥平面 ，
是 的中点， ⊥ ， ⊥ ．
求证：平面 ∥平面 ．
【点拨】根据面面平行的判定定理进行证明平面 ∥
【答案】详见证明
【证明】∵ ∥平面 ，
∴设 的中点为E，
则平面 ∩平面 =ED，
∴ ∥ED；
∵E是 的中点，
∴D是BC的中点，
即 为平行四边形，
∴ ∥ ， ∥AD，
∵ ， 平面 ，AD 平面 ，∴平面 ∥平面
【总结】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出
（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判
定定理得出结论．
【变式2-1】已知正方体ABC D—AB C D，求证：平面AB D∥平面BDC ．
1 1 1 1 1 1 1
【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交
且都与另一平面平行的直线．
【证明】如图，∵AB AB ，C D AB ，∴AB C D，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形ABC D 为平行四边形，∴AD ∥BC ．
1 1 1 1
又AD 平面AB D，BC 平面AB D，
1 1 1 1 1 1
∴BC ∥平面AB D．
1 1 1
同理，BD∥平面AB D，
1 1
又BD∩BC =B，∴平面AB D∥平面BDC ．
1 1 1 1
【总结】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出
（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判
定定理得出结论．
【变式2-2】三棱柱 ，D是BC上一点，且 ∥平面 ， 是 的
中点．
求证：平面 ∥平面 ．
【答案】详见证明
【证明】连接 交 于点E，
∵四边形 是平行四边形，
∴E是 的中点，连接ED，
∵ ∥平面 ，
ED包含于平面 ，
∴ 与ED没有交点，
又∵ED包含于平面 ， 包含于平面 ，
∴ED∥ ．
∵E是 的中点，∴D是BC的中点．
又∵ 是 的中点，
∴ ， ，∴ ∥平面 ， ∥平面 ．
又 ，
∴平面 ∥平面 ．
【总结】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化
为证明直线和直线的平行．
考点03直线与平面平行的性质
例3．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM
上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BDM=GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．
【总结】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个
平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）
由定理得出结论．
【变式3-1】如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．若MN∥
平面ABC，求证：N是PA的中点．
【答案】详见证明
【证明】∵MN∥平面ABC，PE∥CB，
∴MN∥PE，
∵M是AE的中点，∴N是PA的中点．
【变式3-2】如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面 ，且AB、CD在 的两
侧，若AC、BD与 分别交于M、N两点，求证： ．
【解析】如图所示，连接AD交平面 于Q，连接MQ、NQ．MQ、
NQ分别是平面ACD、平面ABD与 的交线．
∵CD∥ ，AB∥ ，∴CD∥MQ，AB∥NQ．于是 ， ，∴ ．
【总结】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用
平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．
在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为
了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线
MQ和NQ．
考点04平面与平面平行的性质
例4．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且
BF⊥平面ACE．
（1）求三棱锥D—AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面
DAE．
【点拨】（1）转化顶点，以平面 ADC为底，取AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，
OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的
体积公式求解；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC
于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结
论．
【答案】（1） ；（2）略
【解析】（1）取AB中点O，连接OE，
因为AE=EB，所以OE⊥AB．
因为AD⊥面ABE，OE 面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD．
因为BF⊥面ACE，AE 面ACE，所以BF⊥AE．
因为CB⊥面ABE，AE 面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．
又BE 面BCE，所以AE⊥EB．所以△AEB为等腰直角三角形，所以 ，所以AB边上的高OE为 ，
所以 ．
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC
于N点，连MN，所以 ．
因为MG∥AE，MG 平面ADE，AE 平面ADE，
所以MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
所以平面MGE∥平面ADE．
又MN 平面MGN，所以MN∥平面ADE．
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．
【变式4-1】在正方体ABCD—ABC D 中，E是棱DD 的中点．
1 1 1 1 1
在棱C D 上是否存在一点F，使得BF∥平面ABE，若存在，指明点F的位置，若不存
1 1 1 1
在，请说明理由．
【点拨】在棱C D 上存在点F，使BF∥平面ABE，分别取C D
1 1 1 1 1 1
和 CD 的 中 点 F ， G ， 连 接 EG ， BG ， CD ， FG ， 因
1
AD∥BC ∥BC，且AD=BC，所以四边形ABCD 为平行四边
1 1 1 1 1 1 1 1
形，根据中位线定理可知EG∥AB，从而说明A ，B，G，E共
1 1
面，则BG 面ABE，根据FG∥C C∥BG，且FG=C C=BB，
1 1 1 1 1
从而得到四边形BBGF为平行四边形，则BF∥BG，而BF 平
1 1 1
面ABE，BG 平面ABE，根据线面平行的判定定理可知BF∥平面ABE．
1 1 1 1
【答案】详见证明
【证明】在棱C D 上存在点F，使BF∥平面ABE，
1 1 1 1
事实上，如图所示，分别取C D 和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD，FG，
1 1 1
因AD∥BC ∥BC，且AD=BC，所以四边形 ABCD 为平行四边
1 1 1 1 1 1 1 1
形，
因此DC∥AB，又E，G分别为DD，CD的中点，所以EG∥DC，
1 1 1 1
从而EG∥AB，这说明A，B，G，E共面，所以BG 平面ABE
1 1 1
因四边形C CDD 与BBCC 皆为正方形，F，G分别为C D 和CD的
1 1 1 1 1 1
中点，所以FG∥C C∥BB，
1 1
且 FG=C C=BB，因此四边形 BBGF 为平行四边形，所以
1 1 1
BF∥BG，而BF 平面ABE，BG 平面ABE，故BF∥平面ABE．
1 1 1 1 1 1
考点05线面平行的判定与性质的综合应用
例5．已知正四棱柱ABCD—ABC D 中，M是DD 的中点．
1 1 1 1 1
求证：BD∥平面AMC．
1【点拨】连结BD交AC于N，连结MN．由此利用三角形中位线定理能证明 BD∥平面
1
AMC．
【答案】详见解析
【证明】在正四棱柱ABCD—ABC D 中，
1 1 1 1
连结BD交AC于N，连结MN．
因为ABCD为正方形，
所以N为BD中点．
在△DBD 中，因为M为DD 中点，
1 1
所以BD∥MN．
1
因为MN 平面AMC，BD 不包含于平面AMC，
1
所以BD∥平面AMC．
1
【变式5-1】如图所示，已知点P是 ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、
PC的中点，平面PBC∩平面APD= ．
（1）求证： ∥BC；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解析】方法一：（1）因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面
PAD．
又因为平面PBC∩平面PAD= ，所以BC∥ ．
（2）平行．如下图（1），取 PD 的中点 E，连接 AE，NE，可以证得 NE∥AM 且
NE=AM．所以四边形AMNE是平行四边形．
所以MN∥AE．所以MN∥平面PAD．
方法二：（1）因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC．
又因为平面PBC∩平面PAD= ，所以 ∥AD．因为AD∥BC，所以 ∥BC．
（2）平行．如下图（2），设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，
而MQ∩NQ=Q，所以平面MNQ∥平面PAD．
又因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD．
【考点易错】
1.如图所示，在三棱柱 ABC—ABC 中，AABB 为正方形，BBC C 是菱形，平面
1 1 1 1 1 1 1
AABB⊥平面BBC C．
1 1 1 1
（1）求证：BC∥平面ABC ；
1 1
（2）设点E，F，H，G分别是BC，AA ，AB ，BC 的中点，试判断
1 1 1 1 1 1E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．
【点拨】（1）由BC∥BC ，证明BC∥平面ABC ；
1 1 1 1
（2）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F 平面EHG，即F∈平面AAC C，且平面
1 1
AAC C∥平面EFH即可．
1 1
【证明】（1）在菱形BBC C中，BC∥BC ，
1 1 1 1
因为BC 平面ABC ，BC 平面ABC ，
1 1 1 1 1 1
所以BC∥平面ABC ；
1 1
（2）E，F，H，G四点不共面，理由如下：
因为E，G分别是BC，BC 的中点，所以GE∥CC ，
1 1 1 1
同理可证：GH∥C A；
1 1
因为GE 平面EHG，GH 平面EHG，GE∩GH=G，
CC 平面AAC C，AC 平面AAC C，
1 1 1 1 1 1 1
所以平面EHG∥平面AAC C；
1 1
又因为F∈平面AAC C，
1 1
所以F 平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．
2.如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在
这个平面内．
已知：直线a∥平面 ，B∈ ，B∈b，b∥a，求证：b ．
【证明】证法一：如图，假设 ，过直线 a 和点 B 作平面 ，
．
∵a∥ ，∴ ．
这样过点B就有两条直线b和b＇同时平行于直线a，与平行公理矛盾，故b
必在 内．
证法二：过直线a及点B作平面 ，设 ．
∵a∥ ，∴ ．
这样，b＇与b都是过点B平行于a的直线，而过一点与一直线平行的直线有且仅有一条，
∴b与b＇重合，∵ ，∴ ．
【总结】“反证法”也是证明“唯一性”问题的重要方法．
3.点P是△ABC所在平面外一点， 分别是△PBC，△APC，△ABP的重心，求
证：面 面ABC.
证明：连 ，并延长分别交AB，AC于M，Q，连MQ.
因为 为重心，所以M，Q分别为所在边的中点.
又直线PM∩PQ=P，所以直线PM，PQ确定平面PMQ,在△PMQ中，因为 为重心，所以 ，所以 .
因为 面ABC， 面ABC， ，所以 面ABC
同理 面ABC，
因为 面 ， 面 ， ，
面ABC， 面ABC，
所以面 面ABC.
4.已知在正方体 中 ，M，N分别是 ， 的中点，在该
正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面，并证明你的结论．
【解析】与平面AMN平行的平面有以下三种情况：
下面以上图（1）为例进行证明：
证明：∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，
又BE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE．
∵MN是 的中位线，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，∴MN∥BD，
又BD 平面BDE，MN 平面BDE，∴MN∥平面BDE．
又AM、MN 平面AMN，且MN∩AM=M，
由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．
【巩固提升】
1．下列命题（其中a、b表示直线， 表示平面）中，正确的个数是（ ）．
①若a∥b， ，则a∥ ；②若a∥ ，b∥ ，则a∥b；③若a∥b，b∥ ，则a∥
；④若a∥ ， ，则a∥b．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】 ①直线a有可能在平面内；②两直线可能平行、相交或异面；③ a有可能在平
面内；④a与b有可能异面。
2．下列命题中，正确的个数是（ ）．
①若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ①②④正确
3．已知平面 ， 和直线 ，给出下列条件：
① ；
② ；
③ 。
其中可以使结论 成立的条件有（ ）
A.①② B. ②③ C. ①③ D. ①
【答案】D
【解析】 平行于同一条直线的两条直线平行。
4．过平行六面体 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 平行
的直线共有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条
【答案】D
【解析】如图所示，与BD平行的有4条，与BB 平行的有4条，四边形GHFE的对角线与
1
面 平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．
5．已知m，n是两条直线， 、 是两个平面．有以下命题：
①m，n相交且都在平面 、 外，m∥ ，m∥ ，n∥ ，n∥ ，则 ∥ ；②若
m∥ ，m∥ ，则 ∥ ；③若m∥ ，n∥ ，m∥n，则 ∥ ．其中正确命题的个
数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】 设m∩n=P，则直线m，n可确定一个平面，设为 ，由面面平行的判定定理
知， ， ，因此， ，即命题①正确；在长方体 ABCD—AB C D 中，
1 1 1 1
C D∥平面ABCD，C D∥平面ABB A ，但平面ABCD∩平面ABB A=AB，即满足命题
1 1 1 1 1 1 1 1
②的条件，但平面ABCD与平面ADDA 不平行，因此命题②不正确；同样可知，命题③
1 1
也不正确。故选B。6．在正方体ABCD— 中，E，F，G分别是 ， ， 的中点，给出下列
四个推断：
①FG∥平面 ；②EF∥平面 ；
③FG∥平面 ；④平面EFG∥平面
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】∵在正方体ABCD— 中，E，F，G分别是 ， ， 的中点，
∴FG∥ ，∵ ∥ ，∴FG∥ ，
∵FG 平面 ， 平面 ，∴FG∥平面 ，故①正确；
∵EF∥ ， 与平面 相交，∴EF与平面 相交，故②错误；
∵E，F，G分别是 ， ， 的中点，
∴FG∥ ，∵FG 平面 ， 平面 ，
∴FG∥平面 ，故③正确；
∵EF与平面 相交，∴平面EFG与平面 相交，故④错误．
故选A．
7．有以下三个命题：①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平
行；②过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行；③如果直线 ∥平面 ，那么
过平面 内一点和直线 平行的直线在 内。其中正确的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】 由直线与平面平行的性质定理易知①、③正确。过直线外一点只能作一条直线与
已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，故②错
8．设a，b是两条直线， 、 是两个平面，若 ， ， ，则 内与b
相交的直线与a的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
【答案】C【解析】 因为 ，则a与 内的直线没有公共点，所以a与 内的直线的位置关系是
异面或平行，又a∥b，所以 内与b平行的直线与a平行， 内与b相交的直线与a异
面。
9．下列说法正确的个数为（ ）
①若点A不在平面 内，则过点A只能作一条直线与 平行；②若直线a与平面 平行，
则a与 内的直线的位置关系有平行和异面两种；③若直线a与平面 平行，且a与直线b
平行，则b也一定平行于 ；④若直线a与平面 平行，且a与直线b垂直，则b不可能
与 平行。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】 ①错，过点A可以作无数条直线平行于 ；②对，a与 平行，所以，a与 内
的所有直线没有公共点；③错，b与 的位置关系有平行和b在平面 内两种；④错，b
可以与 相交，可以在 内，也可以与 平行。
10．已知平面 ∥平面 ，直线a ，直线b ，则①a∥b；②a，b为异面直线；
③a，b一定不相交；④a∥b或a，b异面。其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】 若两个平面平行，则两个平面没有公共点，∴a∥b或a，b异面，即a，b一定不
相交。
11．已知E，F分别为正方体ABCD—ABC D 的棱AB，AA 上的点，且 ，
1 1 1 1 1
，M，N分别为线段DE和线段C F上的点，则与平面ABCD平行的直线MN
1 1
有（ ）
A．1条 B．2条 C．6条 D．无数条
【分析】取 ，连接FH，在DE上任取一点M，过M在面DHE中，作MG平
1 1
行于HO，其中O满足线段 ，再过G作GN∥FH，交C F于N，连接MN，根
1
据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判
断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到，MN∥平面ABCD，由于M
是任意的，故MN有无数条．
【答案】选D
【解析】取 ，连接FH，则FH∥C D
1
连接HE，在DE上任取一点M，
1过M在面DHE中，作MG∥HO，交DH于G，
1 1
其中O为线段 三等分点，
再过G作GN∥FH，交C F于N，连接MN，
1
由于GM∥HO，HO∥KB，KB 平面ABCD，
GM 平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，
同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，
由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，
则MN∥平面ABCD．
由于M为DE上任一点，故这样的直线MN有无数条，故选D．
1
12．若平面 ∥平面 ，直线a ，点B∈ ，过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
【答案】D
【解析】 由直线a和点B可以确定一个平面 ， ，则b就是唯一的一条满
足条件的直线。
13．如图，若Ω是长方体ABCD—A B C D 被平面EFGH截去几何体EFGHB C 后得
1 1 1 1 1 1
到的几何体，其中 E 为线段 AB 上异于 B 的点，F 为线段 BB 上异于 B 的点，且
1 1 1 1 1
EH∥AD，则下列结论中不正确的是（ ）
1 1
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
【答案】D
【解析】 根据棱台的定义（侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥）。因
此，几何体Ω不是棱台，应选D。
14．设 ， ， ，C是AB的中点，当 A、B分别在平面 、 内运动
时，那么，所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
【答案】D
【解析】 所有的动点C都在同一平面内且这个平面与 、 平行。如右图。A、B
两点在 、 内运动后的两点为A＇、B＇，此时AB的中点C变成 的中点C
＇，连接 ，取 的中点E，连接CE、 、 ，则CE∥AA＇，∴CE∥ 。，∴ 。又∵ ，∴ 。∵ ，∴平面
。∴ ，∴不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与 、
平行的平面上。
15．在长方体 中，过点 的两条直线 分别交 于 相
交于 两点，则四边形 的形状为 。
【答案】平行四边形
16．已知直线 m、n及平面 、 有下列关系：①m、n ；② ；③ ；
④m∥n，现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论，组成一个真命题________。
【答案】①②③ ④
【解析】联想线面平行的性质定理。
17.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，将截面平行于
棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
【答案】
【解析】在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，
在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，
过点D作直线DE∥AC，交BC于E，
∵PE∥DE，
∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，
则四边形PDEF为边长为 的正方形，
故其面积为 ．
故答案为： ．
18．平面 ∥平面 ，A，C∈ ，点B，D∈ ，直线AB，CD相交于P，已知AP=8，
BP=9，CP=16，则CD=________．
【分析】用面面平行的性质，可得AC∥BD，根据比例关系即可求出CD．
【解析】∵平面 ，A，C∈ ，点B，D∈ ，
直线AB与CD交于点P，∴AB，CD共面，且AC∥BD，
①若点P在平面 ， 的外部，
∴ ，
∵AP=8，BP=9，CP=16，
∴ ，解得PD=18，
∴CD=PD－PC=18－16=2．
②点P在平面 ， 的之间，
则 ，即 ，解得PD=18，
则CD=CP+PD=18+16=34，
故答案为：2或34．
19．如图，三角形 ABC 中， ，ABED 是边长为 1 的正方形，平面
ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
求证：GF∥底面ABC．
【解析】证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG∥BC，HF∥DE，又∵ADEB为正方形 ∴DE∥AB，从而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴GM∥BE，且 ，
NF∥DA，且
又∵ADEB为正方形，∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN 平面ABC，
∴GF∥平面ABC
证法三：连接AE，
∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，
∴GF∥AC，
又AC 平面ABC，
∴GF∥平面ABC
20．如图，在三棱柱 ABC— 中， ⊥平面 ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段
和AC上， ，AC=BC= =4，试探究满足EF∥平面 的点F的位
置，并给出证明．【解析】当AF=3FC时，EF∥平面 ．
证明如下：在平面 内过E作EG∥ 交 于G，连接AG．
∵ ，∴ ，
又AF∥ 且 ，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF 面 ，AG 平面 ，
∴EF∥平面 ．
21．如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，
OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（1）证明直线BC∥EF；
（2）求棱锥F—OBED的体积。
【解析】（1）如图，设G是线段DA与EB延长线的交点。由于
△OAB与△ODE都是正三角形，所以 ，OG=OD=2。同理，设G＇是线段DA与FC延长线的交点，有 。又由于G和G＇都在线段AD的延长线上，所以
G与G＇重点。在△GED和△GFD中，由 和 ，可知B和C分别是
GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF。
（2）由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知 。而△OED是边长为2的正三角形，
故 。所以 。
过点 作 ，交 于点 ，如图，由平面 平面 知 就是四
棱锥 的高，且 ，所以 。
22．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
【解析】（1）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，
∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，
∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥BD，∴E、F、B、D四点共面，这样，
AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，
∴AC⊥平面EFBD．
显然，FB 平面EFBD，∴AC⊥FB．
（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，
则OG∥EF，∵OG∥BD，
∴OG∥BD，而BD 平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC 平面ABC，∴OH∥平面ABC．
∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
23．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的
重心．（1）求证：平面MNG∥平面ACD；
（2）求S ∶S ．
MNG ADC
△ △
【答案】（1）略；（2）1∶9
【解析】（1）证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有 ，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF包含于平面ACD，MN 平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
（2）由（1）可知 ，
∴ ．
又 ，∴ ．
同理 ， ．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S ∶S ＝1∶9．
MNG ACD
△ △
24．在正方体 中， 为 上任意一点。
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 //平面 .【解析】(1) 正方体 ,
.同理， 平面
平面 //平面
平面 ，
DP//平面 。
（2）与（1）中平面 //平面 的证明类似。
25．如下图，左边是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右边是它的正视图和侧
视图（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连接BC＇，证明：BC＇∥平面EFG。
【解析】（1）如下图（1）所示。
（2）所求多面体的体积 。
（3）将原多面体还原为长方体，如上图（2），连接AD＇，因为 ，
，所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 。
因为E，G分别是 ， 的中点，所以在 中，EG∥AD＇，因此EG∥BC
＇。
又 平面EFG，EG 平面EFG，所以 平面EFG。
26．直四棱柱 中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱 ，M、N分别为 、 的中点，E、F分别是 、 的中点．
(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．
【解析】(1)证明：连接 ，分别交MN、EF于P、Q．连接AC
交BD于O，连接AP、OQ．
由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．
∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面， ，
∴平面AMN∥平面EFDB．
(2)解：过A 作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、 ，易
1
得 ，
2
2 2 38
AP AA2 AP2 32
1 1 4 2
由 ，
V V
根据 A 1 AMN AA 1 MN
38
2
1 1 11
2
AH 3
3 2 1 3 2
则
解得 ．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为 .
