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第 37 讲 平面的性质与点线面的位置关系
【基础知识全通关】
一、平面的基本概念
1.平面的概念：
“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我
们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限
延展的．
【点石成金】
(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；
(2) “平面”无厚薄之分；
(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
2.平面的画法：
通常画平行四边形表示平面．
【点石成金】
(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成 ，横边长是其邻边的两倍；
(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线
段画为虚线或者不画；
3.平面的表示法：
(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面 、平面 、平面 等；
(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面 ；
(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面 或者平面 ；
4.点、直线、平面的位置关系：
(1)点A在直线a上，记作 ；点A在直线a外，记作 ；
(2)点A在平面 上，记作 ；点A在平面 外，记作 ；
(3)直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ．
二、平面的基本性质
平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.
1.公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这
个平面内；
(2)符号语言表述： ， ， ， ；
(3)图形语言表述：
【点石成金】
公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两
个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．
2.公理2：
(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
(2)符号语言表述： 、 、 三点不共线 有且只有一个平面 ，使得 ，
， ；
(3)图形语言表述：
【点石成金】
公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明
“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．
“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明
“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．
(4)公理2的推论：
①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②过两条相交直线，有且只有一个平面；
③过两条平行直线，有且只有一个平面.
(5)作用：确定一个平面的依据.
3.公理3：
(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线；
(2)符号语言表述： 且 ；
(3)图形语言表述：【点石成金】
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.
三、点线共面的证明
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
1．证明点线共面的主要依据：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公
理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2．证明点线共面的常用方法：
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面a、β重
合；（3）反证法．
3．具体操作方法：
（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都
在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其
余直线均在这个平面内．
四、证明三点共线问题
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．
1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其
他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两
个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点
的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两
个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2．证明三点共线的常用方法
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理 3知，
这些点都在交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
五、证明三线共点问题
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．
1．证明三线共点的依据是公理3．2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转
化为证明点在直线上的问题．
【考点研习一点通】
考点01平面的概念及其表示
例1．平面 内的直线a、b相交于点P，用符号语寄语言概述为“ ，且P∈
”，是否正确？
【答案】不正确
【解析】不正确．应表示为： ， ，且a∩b=P．
相交于点P的直线a、b都在平面 内，也可以说，平面 经过相交于点P的直线a、b．
题中的符号语言只描述了直线a、b交于点P，点P在平面 内，而没有描述直线a、b也都
在平面内，下图也是题中的符号语言所表示的情形．
【总结】
用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏．
立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）组成立体几何语言，我们必须
准确地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙
述出来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精
练、简洁．三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利
于对思维广阔性的培养．
【变式1-1】下列命题：
（1）书桌面是平面；（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（3）有一个平面
的长是50 m，宽是20 m；（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概
念．
其中正确命题的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【变式1-2】平面 内的直线a、b相交于点P，用符号语言概述为“ ，且P∈
”，是否正确？
【答案】不正确
【解析】不正确．应表示为： ， ，且a∩b=P．
相交于点P的直线a、b都在平面 内，也可以说，平面 经过相交于点P的直线a、b．
题中的符号语言只描述了直线a、b交于点P，点P在平面 内，而没有描述直线a、b也都
在平面内，下图也是题中的符号语言所表示的情形．【总结】
用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏．
立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言组成立体几何语言，我们强须准
确地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述
出来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、
简洁．三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对
思维广阔性的培养．
【变式1-3】指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．
（1）如图1，直线a在平面α内．
（2）如图2，直线a和平面α相交．
（3）如图3，直线a和平面α平行．
【答案】详见解析
【解析】（1）（2）（3）的图形画法都不正确．正确画法如下图：
（1）直线a在平面α内：
（2）直线a与平面α相交：
（3）直线a与平面α平行：
考点02平面的确定
例2．判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）一点和一条直线确定一个平面；
（2）经过一点的两条直线确定一个平面：
（3）两两相交的三条直线确定一个平面；（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内．
【答案】不正确 正确 不正确 不正确
【解析】
（1）不正确．如果点在直线上，可以确定无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上
任取两个不同的点，由公理2知，有且只有一个平面，或直接由公理2的推论1知，有且
只有一个平面．
（2）正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理 2的推论2知，有且只有一个平
面．
（3）不正确．3条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如下图（1）、（2）所
示．前者，由公理2的推论2知．可以确定1个或3个平面；后者，由公理2的推论2及公
理1知，能确定一个平面．
（4）不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第 4点不一定在此平面内，如上图
（3），因此这4条线段不一定在同一平面内．
【总结】
公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对涉及这方面的应用问题，务必分清它们的条
件．立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题，要有一定的空间想象能力．
对于问题中的点、线，要注意它们各种不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．
【变式2-1】空间中可以确定一个平面的条件是( )
A．两条直线 B．一点和一直线
C．一个三角形 D．三个点
【答案】C
【变式2-2】在空间内，可以确定一个平面的是（ ）
A．两两相交的三条直线 B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点 D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
【答案】D
【解析】A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若
交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；
B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不
能确定一个平面，故排除B；
对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确
定一个平面，因此排除C；
只有选项D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直
线上，由公理2知其确定一个平面．所以应选D．【总结】
要准确理解“确定”的含义，即为“有且只有”，其包含存在性和唯一性两个方面．解题
时结合空间几何体来考虑会更直观、快速．
【变式 2-4】三个互不重合的平面，能把空间分成 n 部分，则 n 的所有可能值为
______________．
【点拨】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平
行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线
平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况并分别讨论，即可得到答案．
【答案】4，6，7，8
【解析】若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为 7
部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为
8部分；故n等于4，6，7或8
考点03平面的基本性质的应用
例3．已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．
求证：直线a、b、c、d共面．
【解析】（1）无三线共点的情况．如右图所示，
设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=q，a∩c=R，b∩c=S．
∵a∩d=M，∴a，d可确定一个平面 ，
∵N∈d，Q∈a，∴N∈ ，Q∈ ，
∴NQ ，即b ．
同理c ．
∴直线a、b、c、d共面．
（2）有三线共点的情况．如右图所示，设b、c、d三线相交于点K，
与a分别交于N、P、M，且K a．
∵K a，∴A和a可确定一个平面，设为 ．
∵N∈a，a ，∴N∈ ，
又K∈ ，∴NK ，即b ．同理c ，d ，∴直线a、b、c、d共面．
由（1）（2）知直线a、b、c、d共面．
【总结】
（1）要证明点线共面，一般是依据公理2及其推论，在这些点、线中取出能确定一个平面
的相关元素，再证明其他的点、线也在这个平面内，也就是“纳入法”（或“拉人下水
法”），即先确定一个平面，然后将其他元素纳入到这个平面之中．
（2）在证明点、线共面时，除了上述纳入法外，也可以用下面方法来证明：①利用公理 2
及其推论直接证明；②重合法：先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面
内，再证明两个平面重合．
（3）在证明“线共点”时，一般是依题意，选择其中相交的两条直线，再证明其交点在第
三条直线上，在选择时，应注意使第三条直线为其他图形中的某两个平面的交线．从而转
化为证明其交点分别在这两个平面内即可．
【变式3-1】如右图，在正方体ABCD-A B C D 中，判断下列命题是否正确，并说明理
1 1 1 1
由．
（1）直线AC 在平面CC B B内；
1 1 1
（2）设正方形ABCD与正方形AB C D 的中心分别为O、O ，则平面AA C C与平面
1 1 1 1 1 1 1
BB DD的交线为OO ；
1 1 1
（3）由点A、D、C可以确定一个平面；
（4）由点A、C 、B 确定的平面为ADC B ；
1 1 1 1
（5）由点A、C 、B 确定的平面与由点A、C 、D确定的平面是同一个平面．
1 1 1
【解析】
（1）错误．因为点A 平面CC B B，所以AC 不在平面CC B B内．
1 1 1 1 1
（2）正确．因为点O∈直线AC，直线AC 平面AA C C，所以点O∈平面AA C C．同
1 1 1 1
理，点 O∈平面 AA C C，所以直线 OO 平面 AA C C．同理，直线 OO 平面
1 1 1 1 1 1 1
BB DD．故OO 为平面AA C C与平面BB DD的交线．
1 1 1 1 1 1 1
（3）错误．因为点A、O、C在同一直线上，故不能确定—个平面
（4）正确．因为点A、C 、B 不共线，故可确定一个平面，又AD∥B C ，所以点D∈平
1 1 1 1
面AB C ，故由点A、C 、B 确定的平面为ADC B ．
1 1 1 1 1 1
（5）正确．因为点A、C 、B 确定的平面为平面ADC B ，而由点A、C 、D确定的平面
1 1 1 1 1
也是平面ADC B ，故它们确定的是同一个平面．
1 1
【总结】正确地运用三个公理和有关概念的推理是解决此类题目的依据．
【变式3-2】如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分
别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．【证明】因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，
因为H∈平面AC，H∈α，
由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．
同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，
因此E，F，G，H必在同一直线上．
【总结】
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．
（1）证明三点共线的依据是公理3，对于这个公理应进一步理解为下面三点：①如果两个
相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三
个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面
的交点必在这两个平面的交线上．
（2）证明三点共线的常用方法：
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上．
类似地有：
（1）证明三线共点的依据是公理3．
（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问
题化归为证明点在直线上的问题．
【变式3-3】 如右图，已知空间四边形ABCD（即四个点不在同一平面内的四边形）中，
E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、CD 上的点，且
．
求证：直线EF、GH、AC相交于一点．
证明：∵E、H分别是边AB、AD的中点，
∴EH∥BD且 ．
∵F、G分别是边BC、CD上的点，且 ，
∴FG∥BD且 ．
故知EH∥FG且EH≠FG，即四边形EFGH为梯形，从而EF与GH必相交，设交点为P．
∵P∈EF，EF 平面ABC，∴P∈平面ABC．
同理P∈平面ADC．
∵平面ADC∩平面ABC=AC，∴P∈AC．
即EF、GH、AC交于一点P．
【考点易错】
1.如图，有一个正方体的木块，E为棱 的中点．现因实际需要，需要将其沿平面
将木块锯开．请你画出前面 与截面 的交线，并说明理由．
【证明】取AB中点F，连接EF，则EF即为所求的面 与截面 的交线．
理由如下：
连接 ，∵E为棱 的中点，F是AB中点，
∴EF∥ ，
又∵ ∥ ，
∴EF∥ ，
∴直线EF与直线 确定一个平面α，
∵直线 与直线外一点E都在平面α内，
∴平面α与平面 重合，
∴EF即为所求的面 与截面 的交线．
【总结】本题考查平面与截面交线的画法，解题时认真审题，注意空间思维能力的培养．【巩固提升】
1．“直线 经过平面 外一点 ”用符号表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合的关系，直线与平面之间的关
系是集合与集合之间的关系．故选C．
2．下面图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）
【答案】D
【解析】 A中图形没有画出两平面的交线；B、C中图形的实、虚线没有按照画法原则去
画，也不正确．故选D．
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
【答案】D
【解析】当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线，
当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线．
当β∩γ=b，α∩β=a，α∩γ=c时，有3条交线．
故选D．
4．下列说法正确的是( )
A.空间四边形的对角线可能相交
B.四个角都是直角的四边形一定是平面图形
C.两两相交的三条直线一定共面
D.在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面.
【答案】B
【解析】 空间四边形的对角线一定不相交，故A不正确；两两相交的三条直线能确定1或
3个平面，故C不正确；在空间的四点，若无三点共线，则这四点可能共面也可能不共
面，故D不正确.所以只有B正确．
5．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（ ）．
A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点
共线
【答案】B
【解析】 空间四点A，B，C，D共面而不共线，则至少有一点不在其余点中的两点确定的直线上．如C AB，无论C点在何位置，C，A，B不共线．故选B．
6．用符号表示“点A在直线 上， 在平面 外”，正确的是（ ）
A．A∈ ， B．A∈ ，
C．A ， D．A ， ∈
【答案】B
【解析】 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合的关系，直线与平面之间的关
系是集合与集合之间的关系．故选B．
7．在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．经过两条相交直线有且只有一个平面
B．平行于同一直线的两条直线互相平行
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A．
【解析】对于A，经过两条相交直线有且只有一个平面，是公理2的推理，不是公理；
对于B，平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理；
对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理；
对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直
线，是公理3．
故选A．
8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )
A．2个或3个 B．4个或3个
C．1个或3个 D．1个或4个
【答案】D
【解析】四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．故选D
9． 是正方体， 是 的中点，直线 交平面 于点 ，则
下列结论中错误的是（ ）
A． 三点共线 B． 四点共面
C． 四点共面 D． 四点共面
【答案】D
【解析】画出正方体 后，可知D正确．
10．平行六面体ABCD-A B C D 中，既与AB共面又与CC 共面的棱的条数为（ ）．
1 1 1 1 1
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】 如右图，在平行六面体ABCD-A B C D ，中，与AB和CC 都相交的棱为BC；
1 1 1 1 1与AB相交且与CC 平行的棱有AA ，BB ；与AB平行且与CC 相交的棱有CD，C D．因
1 1 1 1 1 1
此，符合题意的棱共有5条．故选C．
11．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（ ）
A. 三个平面共线
B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交
C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交
D.三个平面两两相交.
【答案】C
【解析】 如下图，三个平面相交的截面图是下面两种情况时，把空间分成6个部分．
12．平面 、 相交，在 、 内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定
________个平面．
【答案】1或4
【解析】当四点共面时能确定1个平面，若这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，
故可确定4个平面．
13．空间有四条交于一点的直线，过其中每两条作一个平面，这样的平面至多有
个．
【答案】6
【解析】每两条可作一个平面，4条直线任意组合有6种不同的分法
14．画一个正方体ABCD-A B C D ，再画出平面AC D 与平面BD C 的交线，并且说明
1 1 1 1 1 1
理由．
【解析】如图， 为所求．
15．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一
点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．【答案】8 cm
【解析】由题意知，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于
AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC在平面平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
16．在正方体 中，设线 与平面 交于Q，求证：B、Q、
三点共线．
【证明】在正方体 中，
是矩形， 在矩形所在平面α内，
是矩形， 在矩形的所在平面β内，
∴ 是平面α与平面β相交直线（平面α与平面α的交集）
∵ 与平面 交于点Q，（直线与平面的交集）
∴Q是矩形 对角线 的中点，
矩形 另一对角线 ，必过Q点．（同矩形的二对角线只有一个交点且平分二对角线）
∴B、Q、 三点共线．
