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第 03 讲 抛物线
本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以
最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l( 点 F 不在直线 l 上 )的距离相等的点的轨迹叫做抛
物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
考点二 抛物线的标准方程和几何性质
焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，
左端为x2.
标准 y 2 ＝ 2 px (p＞0) y 2 ＝－ 2 px (p＞0) x 2 ＝ 2 py (p>0) x 2 ＝－ 2 py (p>0)
焦点到顶点以及顶点到准线的
方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 )
距离均为
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x ＝－ x ＝ y ＝－ y ＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
|PF|＝x＋ |PF|＝－x＋ |PF|＝y＋ |PF|＝－y＋
0 0 0 0
P(x，y))
0 0
[常用结论]
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x ，y)，B(x ，y)，α为弦AB的倾
1 1 2 2斜角．则
(1)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(2)|AF|＝，|BF|＝.
(3)弦长|AB|＝x＋x＋p＝.
1 2
(4)＋＝.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
高频考点一 抛物线的定义及其应用
【例1】(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的
面积为( )
A. B．1
C. D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[答案] (1)B (2)4
[解析] (1)设P(x ，y )，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
P P
又点P到焦点F的距离为2，
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴x ＋1＝2，∴x ＝1.
P P
代入抛物线方程得|y |＝2，
P
∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|y |＝×1×2＝1.
P
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P，则|PQ|＝|PF|.则有|PB|＋|PF|≥|
1 1 1
PB|＋|PQ|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
1 1
【方法技巧】
[解题技法]
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，
看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
【跟踪训练】
1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|
MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共
线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
答案：(2,2)
2．(2022·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线
交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可
知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，
∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.
答案：
高频考点二 抛物线的标准方程与几何性质
【例2】(1)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(
)
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)(2019·武汉调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛
物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛
物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
[解析] (1)∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∴由已知得椭圆＋＝1的一个焦点为，∴3p
－p＝，又p>0，∴p＝8.
(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|
BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD
＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|
＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|
FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
[答案] (1)D (2)B
【方法技巧】
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程
可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为
x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【变式训练】
1．(2020·福建厦门一模)若抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，则a＝( )
A．2 B．4
C．±2 D．±4
解析：选C ∵x2＝ay＝2··y，p＝＝1，∴a＝±2，故选C.
2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，
若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
答案：x2＝4y
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，
设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.
高频考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】 (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为
A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若AP＝3PB，求|AB|.
[解] 设直线l：y＝x＋t，A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x＋x＋，又|AF|＋|BF|＝4，所以x＋x＝.
1 2 1 2
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x＋x＝－.
1 2
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由AP＝3PB可得y＝－3y.
1 2
由可得y2－2y＋2t＝0.
所以y＋y＝2.从而－3y＋y＝2，故y＝－1，y＝3.
1 2 2 2 2 1
代入C的方程得x＝3，x＝.故|AB|＝.
1 2
【方法技巧】
[解题技法]
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设
而不求”“整体代入”等解法．
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
【变式训练】
1．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B
两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
解析：设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则∴y－y＝4(x－x)，
1 2
∴k＝＝.
设AB中点为M′(x，y)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，
0 0
垂足为A′，B′，
则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．
∵M′(x，y)为AB中点，
0 0
∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，
∴y＋y＝2，∴k＝2.
1 2
答案：2
2．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直
线AB的方程．
解：(1)设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x≠x，y＝，y＝，x＋x＝2，
1 2 1 2 1 2
故直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝x.
设M(x，y)，由题设知x＝1，于是M.
3 3 3
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.
将y＝x＋m代入y＝，
得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m>0，得m>－，x ＝1±.
1,2
从而|AB|＝|x－x|＝2.
1 2
由题设知|AB|＝2|MN|，
即＝，解得m＝.
所以直线AB的方程为y＝x＋.
