文档内容
第8讲 圆与扇形
知识网络
圆是所有几何图形中最完美的。当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周
时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。连接一
个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。连接圆上
任意两点的线段叫做圆的弦。过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显
然d=2r。圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。圆周率用字母 表示，它
是一个无限不循环的小数，一般取近似值3.14。圆的周长 。利用等分圆周拼
成近似长方形的方法可知圆的面积 。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆周上任意两点
间的部分叫做弧。
扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。如果扇
形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度 。从而扇形的周长
，扇形的面积 。
重点·难点
本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。一般这类组合图
形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。这时候，可以利用分、合、移、补等方
法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分
析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。
学法指导
在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周
长与面积的纽带。
经典例题
[例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到
了一个圆形的池塘边。小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。猛虎舍不得这顿即将到
口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。已
知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。请问：小狗如何才能逃出虎口？
思路剖析
如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。
而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。由于半圆周长是直径的 ，而猛虎的速度是小狗的2.5倍，因此猛虎还是能够抓住小狗的。所
以，小狗要想逃出虎口，就必须利用猛虎沿着圆周跑这个特点。
解答
小狗只要在跳下池塘后就游向圆形池塘的圆心位置，到达圆心后，看准猛虎所在的位
置，立即沿着和猛虎连线的相反方向游去。这时，小狗只要游池塘的半径长，而猛虎要跑
半个圆周长，也就是半径的 长，而猛虎的速度仅为小狗游水速度的2.5倍。在
此当猛虎跑到时，小狗已经上了岸，并逃之夭夭了。
[例2]如图1所示，在一个大圆内有许多个小圆，其直径的和等于大圆的直径。请问：
大圆周长与所有小圆周长之和，哪个长？为什么？
思路剖析
本题并没有告诉我们大圆内有多少个小圆，又没有告诉我们大圆和小圆直径的长度，
只告诉我们大圆的直径等于所有小圆直径的和。这样是不可能求出大圆以及所有小圆的周
长的实际长度的，因此我们必须利用周长的计算公式来推出结果。
解答
设大圆的直径为d，小圆的直径分别为 ；因此，
根据圆周长
而
因此，大圆的周长等于所有小圆周长之和。
[例3]某学校举行运动会，有3人参加了200米赛跑，其跑道如图2所示，左右两边是
直道，上边是弯道，已知弯道是半圆形的，每道宽为1米。为了保证比赛的公正性，1、
2、3跑道的起点应各相距多少米？思路剖析
首先应该清楚：跑道的长度的差异体现在弯道处，而在直道处的长度是相等的。同时，
起点相距的多少与弯道处半圆的半径是无关的。所以不妨设最内道的半圆半径为r，来求出
长度的差异。
解答
假设第一圈跑道所对应的半圆半径为r米，则第二圈跑道所对应的跑道的半圆半径为
r+1米，第三圈跑道所对应的跑道的半圆半径为r+2米。
则第一半周长为 米，第二圈半周长为 米，第三圈半周长 米，从而第
一圈与第二圈跑道相差 （米），第二圈与第三圈跑道相差
（米）。所以要保证比赛的公正性，就应把第二道的起点定
在第一道的起点前3.14米，而第三道的起点定在第二道的起点前3.14米。
[例4]如图3所示，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB为直角，D是AB的中点，
AB=10厘米，圆弧DE、DF是分别为A、B为圆心所作，求圆中阴影部分的面积。
思路剖析
看图形可以知道要求出阴影部分的面积，必须用四分之一的圆的面积减去它所包含的
小三角形的面积，然而小三角形我们仅知其斜边长是5厘米，无法求出它的面积。因此我
们考虑用旋转变换，将图3变成图4（即沿CD裁开，以D为轴旋转，使AD边与BD边重
合）。此时阴影的面积就等于半圆的面积减去所含三角形AEF的面积。
解答在图3中，因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠CAD=∠CBD=45°，从而在
图4中， ，所以三角形 是直角三角形，并且
厘米，即 ，则
。
[例5]有一个边长为10厘米的等边三角形ABC，如图5所示。现将此三角形在水平面
内沿水平线翻滚两次，那么A点从开始到结束所经过的总长度是多少？
思路剖析
三角形ABC是等边三角形，于是它的三个内角均为60°。在翻滚的过程中，A划过
了两段圆弧，一段是以B为圆心的弧 ，另一段是以 为圆心的弧 ，并且圆心
角的大小均为60°+60°=120°。这样可以用弧长公式来求出A点所经过的总长度。
解答
在翻滚的过程中，A点所经过的总长度是由弧 和弧 组成，由于ABC是等
边三角形，所以这两段弧长完全相等，并且它们所对的圆心角均为120°。由弧长公式可
得A点所经过的总长度为
答：A点从开始到结束所经过的总长度为41.87厘米。
[例6]如图6所示，三个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心。求三块阴影
部分的面积之和。
思路剖析阴影部分是由三块面积相等的图形组成的，但是每一块都是不规则图形，若用常规思
路分析比较难以计算。但是根据图形的对称性，利用分割和移补的方法，将之转化为图
7，这样可以看出阴影部分被分割移补成一个规则的图形——半圆形。
解答
经过分割移补，上图了阴影部分被拼成图7的半圆形，所以阴影部分的面积是
答：阴影部分的面积是157平方厘米。
[例7]如图8所示，试求图中阴影部分的面积。
思路剖析
本题有常规解法和割法拼凑两种解法，我们用这两种方法来解，并比较哪种解法更简
单。
解答
☆解法一：我们用常规解法来解。
因此，此图中阴影部分的面积是57+57=114（平方厘米）。
☆解法二：由圆的对称性，把下半圆到上半圆，如图9所示，则所求[例8]在图10中，两个大小相等的正方形内分别排列着九个等圆和十六个等圆，试比
较这两个正方形内空隙的大小。
思路剖析
要比较两个正方形内空隙的大小，由于两个正方形大小相等，所以只要比较两个正方
形中的圆的总面积就可以了。由于正方形的边长未知，因此必须假设正方形的边长。同时，
我们也可以将图 分成九个相同的小正方形，每个小正方形包含一个圆，将图 分成十
六个相同的小正方形，分别求出每个小正方形中的空隙部分，再求总和。
解答
☆解法一：设正方形的边长为a，则图 中圆的半径 ，其面积为
。图 中圆的半径为 ，其面积为 ，所以图
、b中两图中圆的面积是相等的，从而这两个正方形内空隙的大小是相等的。
☆解法二：将图 分成九个小正方形，每个小正方形内包含一个圆，设大正方形边
长为a，则小正方形边长为 ，从而小正方形内的空隙为 ，从而
图 中大正方形内的空隙为 。同理，将图 分成十六个小正方形，每个小正方形内包含一个圆，则小正方形的边
长为 ，从而小正方形内的空隙为 ，因此图 中大正方形
内的空隙为 。
比较这两个结果可知，图 、b中大正方形内的空隙是相等的。
点津
如何进行合适的割补，使不规则的图形转化成规则的图形，是本讲必须掌握的技巧，
这要靠仔细的观察和对图形的熟悉。例如，对于例7，虽然两种方法均能导出最后的正确
结果，但我们推崇第二种解法，不仅它使计算量大大缩小，而且也显示了解题的技巧。相
比之下，例4提出更高的要求，因为不通过旋转，本题几乎是无法解答的。因此在解题过
程中，我们要仔细观察图形，尽量用最简单的方法来解答问题。
发散思维训练
1．图11中每个小圆的半径均为1厘米，那么阴影部分的周长是______。
2．已知图12中长方形的长为21厘米，那么阴影部分的面积是______。
3．图13中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，那么图中阴影部分的面积是______。4．如图14所示，将半径分别为5厘米和4厘米的两个半圆如图放置，那么阴影部分
的周长是______。
5．已知正方形ABCD的边长是20厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中
点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来（如图15所示），那么，图中阴影部分的总
面积为______。
6．有一个建筑物占地的形状是边长为8米的等边三角形。有一只狗用10米长的蝇子
拴在建筑物的一个墙上（即等边三角形的一个顶点），当绳子拉紧时，狗运动所围成土地
的总面积是多少？
7．如图16所示，图的半径是15厘米，∠AOB=90°，∠COD=120°，CD=26厘米，
求阴影部分的面积。
8．试问能否用大小不同的两种半圆，把一个圆分成面积相等的三个部分？若能，请给
出分法；若不能，请说明理由。
9．图17中正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以
AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中阴影部分，求阴影部分的面积。发散思维训练
1．解：
阴影部分的周长恰好是大圆的周长和七个小圆的周长之和，从而有
2．解：
由对称性，可以将阴影部分凑成右图的 圆，如答图1所示，因此
3．解：
如答图2所示，将图形划分为A、B、C三个区域。从而阴影部分的面积是区域A和B
的面积，它等于大扇形的面积减去区域C的面积，而区域C的面积为长方形的面积减去小
扇形的面积。
4．解：
阴影部分周长为两段圆弧的长度与两段线段的长度的和，所以阴影部分的周长为
。
5．解：
将阴影部分进行移动，可以将之拼凑成半个圆环，从而阴影部分的面积为
。
6．解：根据题意，我们作出狗运动所围成的图形如答图3所示。这个图形由三个部分组成：
一部分是半径为10米的扇形，它的圆心角为：360°-60°=300°，另外两部分都是半径为
10-8=2（米）的同样大的扇形，它的圆心角为：180°-60°=120°。要求狗运动所围成的
总面积，就是求这三个扇形的面积之和。
7．解：如答图4所示，阴影部分的面积是用弓形CHD的面积减去弓形AHB的面积。
其中H是 的中点，因此∠COH=∠DOH=60°，所以∠CKO=∠DOH=60°从而
。
从而阴影部分的面积=弓形CHD的面积-弓形AHB的面积=138-64.125=73.875(平方厘
米)
8．解：
如答图5所示，把圆的直径三等分，分别以其中一份和两份为直径各画两个半圆，就
将大圆和面积三等分。因为：假设大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为 ，于是
，由对称性，
，从而
。
即按此分割将圆的面积分成大小相等的三部分。
9．解：
图中阴影部分由四个圆心角为90°的扇形组成，不难看出，这四个扇形的半径分别为
1厘米，2厘米，3厘米，4厘米。那么阴影部分的面积为
