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专题 08 压轴大题：线段双中模型与数轴动点强化
练（八大类）
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点目录
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差不半。....................1
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。........................3
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。......................6
四、压轴难点：动点与定值的存在性。...................................11
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。.....................17
六、综合提升一：线段与数轴的融合。...................................19
七、数轴上的动点—距离与相遇类。.....................................26
八、超难考点：线段的比例关系。.......................................32
九、典例分析.........................................................37
【典例分析】
例1:如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
(1)如图1，若点P是线段AB的中点，且MP=5cm，则线段AB的长_____cm，线段
MN的长_____cm；
(2)如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB=12cm，求线段MN的长；
(3)若点P是直线 上的任意一点，且 ，直接写出线段 的长．
AB AB=a MN
【答案】(1)20；10
(2)MN=6cm
1
(3)MN= a
2
【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=5cm，
∴AP=10cm，
∵P为AB的中点，
∴AB=2AP=20cm，AP=BP=10cm，1
∴PN= BP=5cm，
2
∴MN=MP+PN=10cm，
故答案为：20；10；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，
即AB=2MN，
∵AB=12cm，
∴MN=6cm；
1
（3）线段MN的长为：MN= a．
2
理由：①当点P在线段AB上时，由（3）得AB=2MN，
②当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP−BP=2MP−2PN=2MN，
即AB=2MN，
③当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP−AP=2PN−2MP=2MN，
即AB=2MN，
综上所述：点P是直线AB上的任意一点时，AB=2MN
∵AB=a，
1
∴MN= a．
2
例2: 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
试卷第2页，共14页(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α,∠BOC=60°(60°<α<120°)时，猜想∠MON与α的数量
关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠AOB=α,∠BOC=β(α>β,α+β<180°)时，直接写出∠MON的值
为__________．
【答案】(1)45°
1
(2)∠MON= α，见解析
2
1
(3) α
2
【详解】（1）∵∠AOB=90°,∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC=75°,∠NOC= ∠BOC=30°，
2 2
∴∠MON=∠MOC−∠NOC=45°．
1
（2）解：∠MON= α，
2
理由：∵∠AOB=α,∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，
1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= α+30°,∠NOC= ∠BOC=30°，
2 2 2
(1 ) 1 ．
∴∠MON=∠MOC−∠NOC= α+30° −30°= α
2 2
1
（3）解： α．
2
∵∠AOB=α,∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
1 1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= (α+β),∠NOC= ∠BOC= β，
2 2 2 2
1 1
∴∠AON=∠AOC−∠NOC=α+β− β=α+ β，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠MOC−∠NOC= (α+β)− β= α，
2 2 2
1
即∠MON= α．
2
实战训练
一、经典考点：线段双中模型—互不干涉和一半，水乳交融差
不半。
1．如图，点C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点．
(1)若AB=13，CB=5，求MN的长度；
(2)若AB=a，CB=b，则MN的长度为 ．
1 1
2．如图，线段BD= AB= CD，点M、N分别是线段AB、CD的中点，且
3 4
MN=20cm，求AC的长．
3．（1）如图1，已知线段AB的长为6cm，点P是线段AB上的任一点，且C、D分
别是PA、PB的中点，求线段CD的长．
（2）若点P在线段AB或线段BA的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是PA、
PB的中点，则线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等了吗？请分别就图2和
图3的情况进行说明．
试卷第4页，共14页1 1
4．已知，点B和点D是线段AC上的两点，且BD= AB= DC，E、F分别线段
3 4
AB、CD的中点，EF=10，求线段AB，CD的长．
二、双中模型的两种情况：关键字眼—直线与线段。
5．已知点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、AC的中点，如果
AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（ ）
A．6cm B．9cm C．3cm或6cm D．1cm或9cm
6．直线l上的线段AB、BC分别长4cm,8cm，M、N分别是AB,BC的中点，则
MN= cm．
7．点A，B，P在同一条直线上，AB=3BP，点C，D分别是AB，BP的中点．
若AB=12，则CD的长是 ．
8．已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D，E分别是AC，AB的中
点，则DE的长为 cm．
三、线段动点与新定义的融合：紧扣定义，仿照即可。
9．如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC，若其中有一条线
段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段AB=m，C是线段AB的“巧点”，则BC=_________．（用含m的代数式表
示出所有可能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．动
点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运
动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”．
10．如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的
长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是−20和40，点C是线段AB
的巧点，求点C在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点
B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当
其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另
外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s)的所有可能值．
11．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2．
(1)求线段AC，CB的长；
(2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm．
①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长；
②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为
“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值．
12．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，
我们就称点C是[A,B]的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离
是2，到点B的距离是1，那么点C是[A,B]的美好点；又如，表示0的点D到点A的
距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A,B]的美好点，但点D是[B,A]的美
好点．
试卷第6页，共14页如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为−7，点N所表示的数为2．
(1)点E，F，G表示的数分别是−3，6.5，11，其中是[M,N]美好点的是________；写
出[N,M]美好点H所表示的数是___________．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何
值时，点P恰好为M和N的美好点？
四、压轴难点：动点与定值的存在性。
13．如图，已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，
动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
t(t>0)秒．
(1)与出数轴上点B表示的数_______；点P表示的数_______（用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速活动，若点P、Q
同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
(3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,Q同
时出发，问点P运动多少秒时追上Q？
(4)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发
生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN．
14．如图，已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在
D左侧），若
|m−12|+(6−n) 2=0
(1)求线段AB，CD的长．
(2)若点M，N分别为线段AC，BD的中点，且BC=4，求线段MN的长；
(3)当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB延长线上任意一点，则
PA+PB
是一个定值，请加以说明．
PC15．线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且CD=2AB+3．
(1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长．
(2)在（1）的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单
位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有BD=8，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段AB和CD同时开始向左匀速运动，线段AB的速度为m个
单位/秒，线段CD的速度为n个单位/秒，设M为线段AC中点，N为线段BD中点，此
时线段MN的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
16．如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5
个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，
(1)数轴上点P表示的数为 （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，AP=2BP？
(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为
定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
17．【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC=nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作
(AC) ．
d =n
AB
例如，点C是AB的中点时，即 1 ，则 (AC) 1；
AC= AB d =
2 AB 2
反之，当 (AC) 1时，则有 1 ．
d = AC= AB
AB 2 2
因此，我们可以这样理解：“ (AC) ”与“ ”具有相同的含义．
d =n AC=nAB
AB
【理解与应用】
(1)如图，点C在线段AB上．若 ， ，则 (AC) ________；
AC=3 AB=4 d =
AB
试卷第8页，共14页若 (AC) 2，则 ________AB．
d = AC=
AB 3
【拓展与延伸】
(2)已知线段AB=10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q
以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向
返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：
s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， (AP) (AQ)的值是个
m⋅d +d
AB AB
定值，则m的值等于________；
②t为何值时， (AQ) (AP) 1．
d −d =
AB AB 5
五、中点提升：线段的n等分—仿照中点，准确计算。
18．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB=6，AC=2，求
MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN=______．
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的
条件一般化，并开始深入探究．
设AB=a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，
请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN=______．
1 1
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即AM= AC，BN= BC，求MN
3 3
的长．1 1
③若M，N分别是AC，BC的n(n≥2)等分点，即AM= AC，BN= BC，则
n n
MN=______．
19．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段AB=18，C是直线AB上的一点，
M，N分别是线段AC，BC的三等分点，且AM=2CM，BN=2CN．
(1)如图1，当点C在线段AB上时，求MN的长；
(2)如图2，当点C在AB延长线上时，求MN的长；
(3)当点C在BA延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求MN的长．
20．如图，C为线段AD上一点，点B是线段CD的中点，AD=8，BD=2．
(1)求线段AC的长；
(2)若点E是线段AB的三等分点，求线段DE的长．
六、综合提升一：线段与数轴的融合。
21．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC
向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿
C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的
时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长
度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
22．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足
．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀
(a−10) 2+|b+6|=0
速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的
试卷第10页，共14页数是____________（用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、
Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
23．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的
数为b，且|a−b|=14．
(1)若b=−6，则a的值为___________________；
(2)若OA=3OB，求a的值；
(3)点C为数轴上一点，对应的数为c，若点O为AC的中点，OB=3BC，直接写出所
有满足条件的c的值
1
24．点A,B在同一条直线上，点C在线段AB的延长线上，如果BC= AB，那么我们
2
把点C叫做点A关于点B的伴随点．
(1)如下图，在数轴上，点E表示的数是−4，点E关于原点O的伴随点F表示的数是
__________；
(2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值；
(3)如下图，数轴上的三个点P,Q,R分别表示的数是−1,1,4．有一动点M从点Q出发，
以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每
秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M,N
同时停止运动．设动点M,N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P,M,N三个点中，
恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值．
25．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其表
示的数为x．(1)若点P为AB的中点，则x的值为 _____；
(2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为 _____；
(3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向
右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B
之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数．
七、数轴上的动点—距离与相遇类。
26．已知xa+b y20与x10yb为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a= ______，b= ______，线段AB=______；
3
(2)若数轴上有一点C，使得AC= BC，点M为AB的中点，求MC的长______；
2
(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B
出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（t<10），
1
点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且¿= GB，在
3
G，H的运动过程中，求DE+DF的值______（用含t的代数式表示）
27．如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是−2，4．请回答以下问题：
(1)A与B之间距离为___________；
(2)若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右作匀速运动，点Q从B出发，
以每秒3个单位长度的速度向右作匀速运动，P，Q同时运动，设运动的时间为t秒；
①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？
②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？
28．已知数轴上有A，B两点，分别代表−40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B
两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运
动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．
(1)A，B两点间的距离为_______个单位长度；乙到达A点时共运动了______秒．
(2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
试卷第12页，共14页(3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
(4)若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上
相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
29．对于数轴上不同的三点A，B，C，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的
距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“等距点”．例如：数轴上点A，B，C所表
示的数分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距
离是2，所以B是A，C的“等距点”．
2
(1)若点A表示数−2，点B表示的数2，下列各数− ，0，4，6所对应的点分别
3
C ,C ,C ,C ，其中是点A，B的“等距点”的是______．
1 2 3 4
(2)点A表示数−1，点B表示的数3，P为数轴上一个动点，若A、B、P中有一个点恰
好是其它两个点的“等距点”，求此时点P表示的数．
(3)数轴上点A所表示的数为−10，点B所表示的数为20，一只电子蚂蚁P从点B出发，
以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以1个
单位每秒的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，P、Q、B三
个点中恰有一个点为其余两点的“等距点”？（直接写出t的值）
八、超难考点：线段的比例关系。
30．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②若点F在线段BC上，且AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
AD+EC 3 CD
(2)若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式 = ，求 的
BE 2 AB
值．
31．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．(1)若AB=24，DE=16，线段DE在线段AB上移动，
①当点E是线段BC的中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
AD+EC 3 CD
(2)若AB=2DE，点E在线段AB上移动，且满足关系式 = ，则 = （直
BE 2 AB
接写出结果）．
32．已知式子 是关于x的二次多项式，且二次项的系
M=(a−16)x3+20x2+10x+5
数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、
m+n
c，c=−8，规定：数轴上表示数m和n的两个点为端点的线段中点的数为 ．
2
(1)a=________；b=________．
(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长
度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为
BP−AQ
线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，求 的值．
EF
(3)点P、Q分别自C、B同时出发，点P以每秒6个单位长度向右运动，点Q以每秒2
个单位长度向左运动，运动的时间为t秒，若满足PQ−PA=OQ，求此时的时间t值．
试卷第14页，共14页
