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第5讲 数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分
别等于( )
A.3，－2 B.3，2
C.3，－3 D.－1，4
解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故选A.
答案 A
2.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A.－15x4 B.15x4
C.－20ix4 D.20ix4
解析 展开式中含x4的项为第三项，∴T ＝C·x4·i2＝－15x4.
3
答案 A
3.(2016·山东卷)若复数z＝，其中i为虚数单位，则 ＝( )
A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i
解析 ∵z＝＝＝1＋i，∴ ＝1－i，故选B.
答案 B
4.(2015·安徽卷)设i为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )
A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i
解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.
答案 C
5.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(
)
A.－3 B.－2 C.2 D.3
解析 因为(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故
选A.
答案 A
6.复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 复数＝＝－i，∴其对应的点为，在第四象限，故选D.
答案 D7.(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(
)
A.－1 B.0 C.1 D.2
解析 因为复数(m2－m)＋mi为纯虚数，所以解得m＝1，故选C.
答案 C
8.已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A.－1 B.0
C.1 D.i
解析 ∵z＝＝＝＝i，故虚部为1.
答案 C
9.设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A.若z2≥0，则z是实数 B.若z2＜0，则z是虚数
C.若z是虚数，则z2≥0 D.若z是纯虚数，则z2＜0
解析 举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.
答案 C
10.设z ，z 是复数，则下列命题中的假命题是( )
1 2
A.若|z －z |＝0，则 ＝
1 2 1 2
B.若z ＝ ，则 ＝z
1 2 1 2
C.若|z |＝|z |，则z · ＝z ·
1 2 1 1 2 2
D.若|z |＝|z |，则z＝z
1 2
解析 A中，|z －z |＝0，则z ＝z ，故 ＝ ，成立.B中，z ＝ ，则 ＝ 成立.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
C中，|z |＝|z |，则|z |2＝|z |2，即z ＝z ，C正确.D不一定成立，如z ＝1＋i，z
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
＝2，则|z |＝2＝|z |，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
1 2
答案 D
11.(2015·全国Ⅱ卷)若a为实数，且＝3＋i，则a等于( )
A.－4 B.－3 C.3 D.4
解析 由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以
a＝4.故选D.
答案 D
12.(2017·河北省三市联考)若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则
实数a可以是( )
A.－4 B.－3 C.1 D.2解析 因为z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，
选A.
答案 A
二、填空题
13.(2016·江苏卷)复数 z＝(1＋2i)(3－i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是
________.
解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.
答案 5
14.(2015·四川卷)设i是虚数单位，则复数i－＝________.
解析 i－＝i－＝2i.
答案 2i
15.(2016·天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为
________.
解析 由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋i(1－b)＝a，则解得所以＝2.
答案 2
16.若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析 ＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.∴解得∴a＋b＝3.
答案 3
17.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示
复数的点是( )
A.E B.F
C.G D.H
解析 由题图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.
答案 D
18. 是z的共轭复数，若z＋ ＝2，(z－ )i＝2(i为虚数单位)，则z等于( )
A.1＋i B.－1－i
C.－1＋i D.1－i
解析 法一 设z＝a＋bi，a，b为实数，则z＝a－bi.
∵z＋ ＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－ )i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二 ∵(z－ )i＝2，∴z－ ＝＝－2i.
又z＋ ＝2，∴(z－ )＋(z＋ )＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
答案 D
19.(2014·全国Ⅰ卷)设z＝＋i，则|z|＝( )
A. B.
C. D.2
解析 ∵z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，
∴|z|＝＝，故选B.
答案 B
20.(2017·湖南师大附中月考)已知复数z＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“z为纯虚
数”的一个充分不必要条件是( )
A.θ＝ B.θ＝
C.θ＝ D.θ＝
解析 因为z＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i，所以当θ＝时，z＝－i为纯虚
数，当z为纯虚数时，θ＝kπ－.故选C.
答案 C
21.(2017·哈尔滨六中期中)若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部
是( )
A.－i B.i C.－ D.
解析 i·z＝－(1＋i) z＝＝＝(－1＋i)，则z的共轭复数z＝(－1－i)，其虚部是
－.
⇒
答案 C
22.(2017·山西高三四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值
是( )
A.－2 B.－1 C.0 D.
解析 ∵＝＝－i＝a＋bi，
∴∴lg(a＋b)＝lg 1＝0.
答案 C
23.下面是关于复数z＝的四个命题：
p ：|z|＝2; p ：z2＝2i；
1 2
p ：z的共轭复数为1＋i; p ：z的虚部为－1.
3 4其中的真命题为( )
A.p ，p B.p ，p
2 3 1 2
C.p ，p D.p ，p
2 4 3 4
解析 ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，∴p 是假命题；
1
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p 是真命题；∵ ＝－1＋i，
2
∴p 是假命题；∵z的虚部为－1，∴p 是真命题.其中的真命题共有2个：p ，p .
3 4 2 4
答案 C
24.(2017·广州综合测试)若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，
q∈R)的一个解，则p＋q＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
解析 依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得p＝－1，q
＝2，所以p＋q＝1，故选C.
答案 C
25.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数 m 的取值范围是
________.
解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－
2<0且m－1<0，∴m<.
答案
26.设f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________.
解析 f(n)＝＋＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素.
答案 3
27.已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________.
解析
∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知＝＝.
答案
28.定义运算 ＝ad－bc.若复数x＝，y＝ ，则y＝________.
解析 因为x＝＝＝－i.
答案 －2
