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专题 14.4 角的平分线（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用角平分线的性质求长度】..................................................................................................................2
【题型2 利用角平分线的性质求面积】..................................................................................................................5
【题型3 利用角平分线的性质求角度】..................................................................................................................9
【题型4 利用角平分线的性质求最值】................................................................................................................13
【题型5 利用角平分线的性质证明】....................................................................................................................17
【题型6 角平分线的判定】....................................................................................................................................19
【题型7 角平分线的应用】....................................................................................................................................23
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】...........................................................................................................25
知识点 1 角的平分线的性质
1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导
其他结论．
知识点 2 角的平分线的判定
1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线
上，角的外部的点不会在角的平分线上．
知识点 3 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
1
（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
2
（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知∠AOB=150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点
D，PC∥OB交OA于点C，若PD=4，则OC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，30°角直角三
角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
如图，过点P作PE⊥OC，垂足为E，由角平分线性质，得PE=PD=4，∠POD=∠POE，由平行性
质，可推证∠PCO=30°，∠CPO=POE，得CO=CP，Rt△CPE中，CP=2PE=8，所以
CO=CP=8．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OC，垂足为E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，
∴PE=PD=4，∠POD=∠POE，
∵PC∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∠CPO=∠POD；∴∠PCO=180°−150°=30°，
∠CPO=POE；
∴CO=CP，
Rt△CPE中，CP=2PE=2×4=8，
∴CO=CP=8；
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE⊥BC于E点，
若AB=4，BC=5，S =9，则DE的长为 ．
△ABC
【答案】2
【分析】过点D作DF⊥BA于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形周长公式计算即
可．
本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DE=DF，
∵AB=4，BC=5，S =9，
△ABC
1 1
∴ ×4×DF+ ×5×DE=9，
2 2
解得：DE=DF=2，
故答案为：2.
【变式1-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一
点，连接AD，DE，DE∥AC，AE=ED，若AB=2.7，BD=1.5，CD=1，则AC= ．【答案】1.8
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据AE=ED，DE∥AC，证明
∠BAD=∠DAC，令点A到BC的距离为ℎ，点D到AB，AC的距离为ℎ
1
，ℎ
2
，则ℎ
1
= ℎ
2
，再由等面积
AB BD
法可得 = ，即可求解．
AC CD
【详解】解：∵AE=ED，
∴∠BAD=∠ADE，
又∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴∠BAD=∠DAC，则AD平分∠BAC，
令点A到BC的距离为ℎ，点D到AB，AC的距离为ℎ
1
，ℎ
2
，则ℎ
1
= ℎ
2
，
1 1
AB⋅ℎ BD⋅ℎ
S 2 1 2
∴ △ABD = = ，
S 1 1
△ACD AC⋅ℎ CD⋅ℎ
2 2 2
AB BD 2.7 1.5
则 = ，即： = ，
AC CD AC 1
∴AC=1.8，
故答案为：1.8．
【变式1-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则点O到AB的距离
为 ．
【答案】1cm/1厘米【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作
OE⊥AC,OF⊥BC,OG⊥AB，连接OC，易得点O在∠ACB的角平分线上，推出OF=OE=OG，设
OE=OF=OG=x，根据S =S +S +S ，建立方程求解即可．
△ABC △OAB △OAC △OCB
【详解】解：分别过点O作OE⊥AC,OF⊥BC,OG⊥AB，连接OC，
∵点O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，
∴点O在∠ACB的角平分线上，
∴OF=OE=OG，
设OE=OF=OG=x，
∵S =S +S +S ，
△ABC △OAB △OAC △OCB
在△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，
1 1 1 1
∴ ×3×4= ×5OG+ ×4OE+ ×3OF，
2 2 2 2
∴6x=6，
∴x=1，
∴点O到AB的距离等于1cm．
故答案为：1cm．
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，AD平分∠BAC，
DE⊥AC于E，DE=2，则△ABC的面积为（ ）
A．13 B．19 C．20 D．26
【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解
答本题的关键．
过D点作DF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到DF=DE=2，然后利用三角形面积公式，利用
S =S +S 进行计算即可．
△ABC △ABD △ACD
【详解】解：如图，过D点作DF⊥AB于F，
∵AD ∠BAC DE⊥AC DF⊥AB
平分 ， ， ，
∴DF=DE=2，
∴S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
1 1
= ×7×2+ ×6×2，
2 2
=13．
故选：A．
【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①
以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于
1
MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD的长为3，
2
AB=8，则△ABD的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点D作DE⊥AB于点E，根据作图可得AD为
∠CAB的角平分线，根据角平分线的性质可得CD=DE=3，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，根据作图可知AD为∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°,DE⊥AB
∴CD=DE=3，
∵AB=8，
1 1
∴S = AB⋅DE= ×3×8=12，
△ABD 2 2
故答案为：12
【变式2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是∠ABC的平
3
分线，如果△ABC的面积为 ，那么△DBC的面积为 ．
2
9
【答案】 /0.9
10
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足为E、F，由角平分线的
S AB 2
性质可得DE=DF，则可证明 △ABD= = ，据此求解即可．
S BC 3
△CBD
【详解】解：如图所示，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足为E、F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，1
AB⋅DE
S 2 AB 2
∵ △ABD= = = ，
S 1 BC 3
△CBD BC⋅DF
2
3 9
∴S = S = ，
△CBD 3+2 △ABC 10
9
故答案为； ．
10
【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且CD=2BD，4BC=3AC
，CF为∠ACB的角平分线，交AD于点E，交AB于点F，若△CDE的面积为7，则图中阴影部分四边形
BDEF的面积为 ．
13
【答案】
2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设BD=a，则有BC=3a，AC=4a，过点
E作EG⊥AC于点G，即可得到ED=EG，然后根据S 可得DE⋅a=7，然后可得
△CDE
1 S BC 3 63
S = AC⋅EG=14，则S =S +S =21，根据 △ABC = = ，得到S = ；同理可
△ACE 2 △ADC △ACE △CDE S CD 2 △ABC 2
△ADC
BF BC 3 3 27 13
得FM=FN，可证明 = = ，则S = S = ，即可得到S =S −S = ．
AF AC 4 △BCF 7 △ABC 2 阴影 △BCF △CDE 2
【详解】解：设BD=a，则CD=2a，
∴BC=3a，
∵4BC=3AC，
∴AC=4a，
过点E作EG⊥AC于点G，过点F分别作BC，AC的垂线，垂足分别为M、N，∵CF平分∠ACB，AD⊥BC，EG⊥AC
∴ED=EG，
1 1
∵S = DE⋅DC= DE⋅2a=7，
△CDE 2 2
∴DE⋅a=7，
1 1
∴S = AC⋅EG= DE⋅4a=DE⋅2a=14，
△ACE 2 2
∴S =S +S =21，
△ADC △ACE △CDE
S BC 3
∵ △ABC = = ，
S CD 2
△ADC
63
∴S = ；
△ABC 2
同理可得FM=FN，
1
BC⋅FM
S BF 2
∵ △BCF = = ，
S AF 1
△ACF AC⋅FN
2
BF BC 3
∴ = = ，
AF AC 4
3 3
∴BF= AB= AB，
3+4 7
3 27
∴S = S = ，
△BCF 7 △ABC 2
13
∴S =S −S = ，
阴影 △BCF △CDE 213
故答案为： ．
2
【题型3 利用角平分线的性质求角度】
【例3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分
线分别交CD、BC于E,F,FG⊥AB，垂足为点G．
(1)求证：CE=FG．
(2)若∠B=20°，求∠AFG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)55°
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角
平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；
（1）由题意易得CF=FG，∠CAF=∠BAF，则有∠BAF+∠AED=∠CAF+∠AFC=90°，然后可
得∠AED=∠AFC=∠CEF，进而问题可求证；
1
（2）由（1）可得∠BAF= ∠BAC=35°，则有∠AED=90°−∠BAF=55°，然后可得CD∥FG，
2
进而根据平行线的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠BAC的平分线分别交CD、BC于E,F,FG⊥AB，
∴CF=FG，∠CAF=∠BAF，
∵CD⊥AB，
∴∠BAF+∠AED=∠CAF+∠AFC=90°，
∴∠AED=∠AFC=∠CEF，
∴CE=CF=FG；（2）解：∵∠B=20°，
∴∠BAC=90°−∠B=70°，
1
∴∠BAF= ∠BAC=35°，
2
∴∠AED=90°−∠BAF=55°，
∵CD⊥AB,FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠AFG=∠AED=55°．
【变式3-1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE=DF，
∠AOD=25°，则∠EDF的度数是 ．
【答案】130°
【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和
360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角
的平分线上是解题的关键．
【详解】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE=DF，
∴点D在∠AOB的平分线上，
∴∠AOD=∠BOD=25°．
∴∠BOA=50°
∴360°−90°−90°−50°=130°
故答案为：130°
【变式3-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A′处，
恰好满足A′B平分∠ABC,A′C平分∠ACB，若∠1=125°，则∠2度数为 ．【答案】70°/70度
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，
熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°是解题的关键．连接
A A′，过A′作A′M⊥AB,A′N⊥BC,A′P⊥AC，利用角平分线的判定得到A A′平分∠BAC，利用角
平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得∠BAC=70°；再根据折叠可知，得出
DA=DA′，由等腰三角形性质得出∠DA A′=∠DA′ A=∠CAA′，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接A A′，过A′作A′M⊥AB,A′N⊥BC,A′P⊥AC，如图所示：
∵A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，
∴A′M=A′N=A′P，
∴A A′平分∠BAC，
∴∠DAA′=∠EAA′，
∵A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，
1 1
∴∠A′BC= ∠ABC，∠A′CB= ∠ACB，
2 2
∵ ∠1=125°，
∴ ∠A′BC+∠A′CB =180°−∠1 =180°−125° =55°，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠A′BC+∠A′CB)=110°，
∴∠BAC=180°−110°=70°，
∵将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A′处，∴DA=DA′，
∴∠DAA′=∠DA′ A，
∵∠DAA′=∠CAA′，
∴∠DAA′=∠DA′ A=∠CAA′，
∵∠2是△A′DA的一个外角，
∴∠2=∠DA′ A+∠DAA′=∠DAA′+∠CAA′=∠BAC=70°，
故答案为：70°．
【变式3-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平
分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是 ．
【答案】36°
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，
作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，然后证明AE是∠CAH的平分线，进而可得∠CAH的度数，
再求出∠BAC的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．
【详解】解：延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，
∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，
∴EH=EF，EG=EF，
∴EH=EG，
∴AE是∠CAH的平分线，
∵∠CAE=54°，
∴∠CAH=2∠CAE=108°，
∴∠BAC=180°−∠CAH=72°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECD=∠BEC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠BEC=72°，
∴∠BEC=36°；
故答案为：36°．
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
【例4】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连
接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，DE=BE，点P为线段AB上一动点，连接DP，若CD=6，则
线段DP的最小值是 ．
【答案】6
【分析】由垂线段最短得，当DP⊥AB时，线段DP的值最小，由等边对等角得∠BDE=∠DBE，根据
平行线的性质得∠BDE=∠D BC，则BD平分∠ABC，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：由垂线段最短得，当DP⊥AB时，线段DP的值最小，
∵DE=BE，
∴∠BDE=∠DBE，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC，
∴∠DBE=∠DBC，即BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，当DP⊥AB时，线段DP的值最小，
∴线段DP的最小值是：DP=CD=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查平行线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的
性质以及垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
【变式4-1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交1
OA，OB于点M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于 MN长为半径画弧（弧所在圆的半径都相
2
等），两弧交于点P．画射线OP，作PC⊥OA于点C，且PC=2，Q是射线OB上一个动点，则PQ的最
小值为
【答案】2
【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得OP是∠AOB的平分线，由垂线段最短得
PQ⊥OB时，PQ的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关
键．
【详解】解：由作法得：OP是∠AOB的平分线，
当PQ⊥OB时，PQ的值最小，
∵PC⊥OA，
∴PQ=PC=2，
∴ PQ的最小值为2，
故答案：2．
【变式4-2】（22-23八年级上·陕西西安·期末）在△ABC中，已知BC=6，BC边上的高ℎ =4，△ABC两
个内角的角平分线相交于点O，过O作OD⊥BC于点D，则OD的最大值是 ．
【答案】2
【分析】首先要根据条件画出草图，如图所示，根据条件可知：点O为△ABC角平分线的交点，则OD为
到△ABC各边的距离，根据角平分线的性质：到三角形三条边的距离相等．可得△OAB，△OBC，
△OAC的高都是OD，则S =S +S +S ，最后根据三角形三边关系即可得出．
△ABC △OAC △OBC △OAB
【详解】
解：如图：∵点O为△ABC两个内角的角平分线的交点，OD⊥BC∴ OD为点O到△ABC三边的距离
设 OD=r
1 1
则 S = ×BC×ℎ = ×(AB+BC+AC)×r
△ABC 2 2
24
代入数据得：r=
AB+AC+6
∵ AB+AC>BC
∴ AB+AC>6
24
∴ r< =2
6+6
∴ OD的最大值为2
故答案为2
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质、三角形三边关系、等积法求线段长度等，三角形角平分线的
性质的熟练运用是解决本题的关键．
【变式4-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M
，N分别是AD和AB上的动点．
（1）若∠BAC=60∘，∠C=40∘，则∠ADB的度数为 ；
（2）若S =12，AC=8，则BM+MN的最小值为 ．
△ABC
【答案】 70°/70度 3
【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质即可求解；
（2）如图，过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，则∠AGB=∠AGB′=90∘，可证
△ABG≌△AB′G(ASA)，得到BG=B′G，AB=AB′，即点B′与点B关于AD对称，过点B′作B′N⊥AB
于点N，交AD于点M，由轴对称的性质可知，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点
B作BE⊥AC于点E，由三角形面积得到BE=3，又因为△ABB′是等腰三角形，得到B′N=BE=3，即
BM+MN的最小值是3，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60∘，1 1
∴∠CAD= ∠BAC= ×60∘=30∘ ，
2 2
∵∠ADB=∠CAD+∠C，∠C=40∘，
∴∠ADB=30∘+40∘=70∘．
（2）如图，过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，则∠AGB=∠AGB′=90∘，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAG=∠B′ AG，
∵AG=AG，
∴△ABG≌△AB′G(ASA)，
∴BG=B′G，AB=AB′，即点B′与点B关于AD对称，过点B′作B′N⊥AB于点N，交AD于点M，由轴
对称的性质可知，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于点E，
∵S =12，AC=8，
△ABC
1
∴ ×8⋅BE=12，
2
解得，BE=3，
∵AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N=BE=3，即BM+MN的最小值是3；
故答案为：①70°；②3．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及性质定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的判定和性质，轴对称求最短路径的计算等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关
键．
【题型5 利用角平分线的性质证明】
【例5】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA
，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连接DF，EF．求证：∠DFO=∠EFO．【答案】见详解
【分析】本题考查了角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．先由角平分线的性质得∠DOC=∠EOC,∠ODC=∠OEC=90°,DC=CE,结合外角性质得
∠DCF=∠ECF，因为CF=CF，证明△DFC≌△EFC(SAS)，即可作答．
【详解】解：∵OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠DOC=∠EOC,∠ODC=∠OEC=90°,DC=CE,
∴∠DOC+∠ODC=∠EOC+∠OEC，
即∠DCF=∠ECF，
∵CF=CF，
∴△DFC≌△EFC(SAS)，
∴∠DFO=∠EFO．
【变式5-1】如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分
别是M、N，求证：PM=PN．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先得∠ABD=∠CBD，再结合AB=BC，BD=BD，证明△ABD≌△CBD，则∠MDP=∠NDP，因为
PM⊥AD，PN⊥CD，故PM=PN．
【详解】证明：∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠MDP=∠NDP，∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【变式5-2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分
别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等边对等角，先由角平分线的性质
得到OD=OE，再证明△BOD≌△COE(ASA)得到OB=OC，则可证明∠OBC=∠OCB．
【详解】证明：∵AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，
∴OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
【变式5-3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的
点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，求证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角
平分线的性质得出BC=BP，AD=AP，根据线段的和差关系即可得结论．
【详解】解：∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP，BC⊥MN，AD⊥MN，
∴BC=BP，AD=AP，
∴AD+BC=BP+AP=AB．
【题型6 角平分线的判定】
【例6】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分
∠ABC．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理
是解题关键；
先由角平分线的性质定理得到∠ADP=∠CDP，再证明△ABD≌△CBD(SAS)，得到∠ABP=∠CBP
，即可证明结论．
【详解】证明：∵ PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN，
∴ DP为∠ADC的角平分线，
∴ ∠ADP=∠CDP，
∴ ∠ADB=∠CDB，
在△ABD和△CBD中，
{
AD=CD,
)
∠ADB=∠CDB,
BD=BD,
∴ △ABD≌△CBD(SAS)，
∴ ∠ABP=∠CBP，
∴ BP平分∠ABC．
【变式6-1】（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，
两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是
2、5，则OC的长度是 ．【答案】3cm
【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定
理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP=∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO=∠NOP，得到
∠COP=∠CPO，因此OC=PC，由PC=5−2=3(cm)，即可得到OC的长度是3cm．
【详解】解：过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM=PN，PC∥OB，PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP=∠NOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO=∠NOP，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC=5−2=3(cm)，
∴OC的长度是3cm．
故答案为：3cm．
【变式6-2】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O，且
OB=OC．(1)求证：BE=CD；
(2)求证：判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点O在∠BAC的平分线上．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此
题的关键是找到△BEC≌△CDB．
（1）根据等边对等角先求出∠OBC=∠OCB，再证明△BEC≌△CDB即可解决问题．
（2）先由（1）的全等得到BD=CE，再得到OD=OE，即可得到点在角平分线上．
【详解】（1）解：∵ BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵ BC是公共边，
∴△BEC≌△CDB(AAS)．
∴BE=CD．
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由如下：
∵△BEC≌△CDB，
∴BD=CE，
又∵OB=OC，
∴ EC−OC=BD−OB，即：OD=OE
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
【变式6-3】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)求证：PA平分∠BPE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．
（1）利用角的和差可得∠BAD=∠CAE，结合AB=AC，AD=AE，即可由SAS证得；
（2）过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，由（1）可知△BAD≌△CAE，推出S =S ，BD=CE，然
△BAD △CAE
后利用面积公式进而得到AH=AF，根据角平线的判定定理即可判定．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
（2）证明：过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，如图，
由（1）可知△BAD≌△CAE，
∴S =S ，BD=CE，
△BAD △CAE
1 1
∴ BD×AH= CE×AF，
2 2
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴PA平分∠BPE．
【题型7 角平分线的应用】
【例7】（2023·山东青岛·三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷
泉，要求喷泉到两条道路OA，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分
线的作法得出P点即可．
【详解】如图所示：P点即为所求．
【变式7-1】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三
条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（
）
A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．△ABC三条中线的交点位置
【答案】A【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：A
【变式7-2】（22-23八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P
．
【答案】见解析
【分析】作∠AOB的角平分线OD，OD与MN的交点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
【详解】如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的
距离相等．
【变式7-3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修
建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
【答案】4
【分析】
此题主要考查角平分线的性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是△ABC内角平分线和外角平分线的交点，作图可
知．
【详解】解：如图
故答案为：4．
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
【例8】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，
∠ADC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接BE．
(1)求∠DAE的度数；
(2)求证：BE平分∠ABC；
(3)若AD=6,CD=10，三角形ACD的面积是16，求EF的长．
【答案】(1)40°
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分
线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=140°，再根据
∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
（2）过点E作EG⊥AD,EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=EG,EG=EH，进而得到EF=EH
，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EH=2，再根据（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，∵∠AEF=50°，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=100°，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=140°−100°=40°，即∠DAE=40°．
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G,EH⊥BC交BC于点H，
∵∠F=90°,∠AEF=50°，
∴∠EAF=90°−50°=40°，
由（1）可知，∠CAD=40°，
∴∠EAF=∠CAD=40°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF,EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵DE平分∠ADC,EG⊥AD,EH⊥BC，
∴EG=EH，
∴EF=EH
∵EF⊥BF,EH⊥BC，
∴BE平分∠ABC．
（3）解：∵S =16，
△ACD
∴S +S =16，
△ADE △CDE
1 1
∴ AD⋅EG+ CD⋅EH=16，
2 2
∵AD=6,CD=10,EG=EH，
1 1
∴ ×6×EH+ ×10×EH=16，
2 2
∴EH=2，
∴EF=2．
【变式8-1】如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线的判定即可．
【详解】证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB．
【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，
∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)求证：AB=AF+2BE．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．【分析】（1）由∠CFD+∠AFD=180°，∠B+∠AFD=180°，则∠CFD=∠EBD，证明
△CDF≌△EDB(AAS)，再由角平分线的判定定理即可求证；
（2）先证明△CDA≌△EDA(AAS)，则AC=AE，所以AC=AE=AF+FC，又CF=BE，然后代入求
证即可；
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的
应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BED=∠AED=90°，
∵∠CFD+∠AFD=180°，∠B+∠AFD=180°，
∴∠CFD=∠EBD，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠BED=90°，
∴在△CDF和△EDB中，
{∠C=∠BED=90°
)
∠CFD=∠EBD ，
DF=BD
∴△CDF≌△EDB(AAS)，
∴DE=DC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
在△CDA和△EDA中，
{∠C=∠AED=90°
)
∠DAC=∠DAB ，
AD=AD
∴△CDA≌△EDA(AAS)，
∴AC=AE，
∴AC=AE=AF+FC，
由（1）得△CDF≌△EDB，
∴CF=BE，
∴AE=AF+FC=AF+BE，∴AB=AE+EB=AF+2BE，
∴AB=AF+2BE．
【变式8-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，
∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=55°．
(1)∠ACE的度数是 ；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14,AB=8，且S =21，求△ABE的面积．
△ACD
【答案】(1)35°
(2)证明见解析
(3)12
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用；
（1）先求出∠ACD=70°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DCE=40°，然后根据
∠ACE=∠ACD−∠DCE即可得；
（2）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，先根据角平分线的性质可得EM=EH,EN=EH
，从而可得EM=EN，再根据角平分线的判定即可得证；
（3）过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，则EM=EH=EN，设EM=EH=EN=x，再根
据S +S =S =21和三角形的面积公式可得x的值，从而可得EM的值，然后利用三角形的面积
△ACE △DCE △ACD
公式即可得．
【详解】（1）解：∵∠ACB=110°，
∴∠ACD=180°−∠ACB=70°，
∵EH⊥BD,∠CEH=55°，
∴∠DCE=90°−∠CEH=35°，
∴∠ACE=∠ACD−∠DCE=35°．
（2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，∵BE ∠ABC EM⊥BF,EH⊥BD
平分 ， ，
∴EM=EH，
由（1）可知，∠ACE=∠DCE=35°，即CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
又∵点E在∠CAF的内部，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N，
由（2）已得：EM=EH=EN，
设EM=EH=EN=x，
∵S =21，
△ACD
∴S +S =21，
△ACE △DCE
1 1 1
∴ AC⋅EN+ CD⋅EH=21，即 x(AC+CD)=21，
2 2 2
又∵AC+CD=14，
2×21 2×21
∴x= = =3，
AC+CD 14
∴EM=3，
∵AB=8，
1 1
∴△ABE的面积为 AB⋅EM= ×8×3=12．
2 2
