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专题 13.2 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构
造等腰三角形之六大题型
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】........................................................................................1
【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】......................................................................................10
【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】........................................................................17
【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】................................................................................29
【题型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】..............................................................................41
【题型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】..............................................................................................50
【典型例题】
【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：如图，在 中， ， ，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D
作直线 ，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是
_____________，请说明理由．【变式训练】
1．如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 为边 上任意一点，点 为 的中点，
过点 作 交 于点 ．求证： 为定值．
2.如图1，在 中， ， ，点P是斜边 的中点，点D，E分别在边 上，
连接 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)若点D，E分别在边 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下， 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出 的度数（不用说
理）；若不能，请说明理由．【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】
例题：如图，点 ， 在 的边 上， ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，过点 作 于点 ，如果 ，求 的值．
【变式训练】
1．如图， 与△BCA均为等腰三角形， ，且 ， 为 延长线上一点，
．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ；
(3)若 ， ， ，求 的面积（用含 ， ， 的式子表示）．
【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在 中， 平分 ， 是 的中点，过点 作 交 的延长线于 ，
交 于 ，交 的延长线于 ．
求证：
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．如图所示，D为 内一点， 平分 ， ， ，若 ， ，
求：线段 的长．
2．如图， 为 的角平分线．(1)如图 ，若 于点 ，交 于点 ， ， 则 ______．
(2)如图 ，若 ，点 在 上，且 ， ， ，求 的长； 用含 、 的式
子表示
(3)如图 ， ，点 在 的延长线上，连接 ，若 的面积是 ，求 的面积．
【题型四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】
例题：已知，如图 中， 、 的平分线相交于点 ，过点 作 交 、 于 、
．
(1)如图1若 ，图中有________个等腰三角形，且 与 、 的数量关系是________．
(2)如图2若 ，其他条件不变，（1）问中 与 、 间的关系还成立吗？请说明理由．
(3)如图3在 中，若 ， 的平分线与三角形外角 的平分线 交于 ，过 点作交 于 ，交 于 ．请直接写出 与 、 间的数量关系是．
【变式训练】
1．在 ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EF AD交CA延长线于P，交AB于
F，求△证：
(1) APF是等腰三角形；
(2)△BF=CP
(3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长．
2．已知：如图1， 中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作 交AB于点E，交
AC于点F．
(1)求证：BE+CF＝EF；
(2)若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不
需证明）
3．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如
下是一个案例，请补充完整．
已知△ABC．
(1)观察发现
如图①，若点D是 和 的角平分线的交点，过点D作 分别交 ， 于E，F．填
空： 与 的数量关系是______．请说明理由
(2)猜想论证
如图②，若点D是外角 和 的角平分线的交点，其他条件不变，填： 与 的数量关
系是______．请说明理由
(3)类比探究
如图③，若点D是 和外角 的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若
成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．
【题型五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】例题：已知：等边 中．
(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足 ，求 的值；
(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且 ，
求证： ．
(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足 ，
求 的值．
【变式训练】
1．如图，在 中， ， 为 延长线上一点，且 交 于点.(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ， ， 为 中点，求 的长.
2．已知，在等边三角形 中，点E在 上，点D在 的延长线上，且 ．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写
出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为 边上任意一点时，确定线段 与 的大小关系，请你
写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作 ，
交 于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形 中，点E在直线 上，点D在线段 的延长线上，且
，若 的边长为1， ，求 的长（直接写出结果）．
【题型六 利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：如图，在 中， ， 的平分线 交 于点D．求证： ．
【变式训练】
1．在 中， ，
(1)如图①，当 ， 为 的角平分线时，在 上截取 ，连接 ，易证
．请证明 ；
(2)①如图②，当 ， 为 的角平分线时，线段 又有怎样的数量关系？请直
接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当 ， 为 的外角平分线时，线段 又有怎样的数量关系？请写出
你的猜想并证明．
