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专题 14.4 角的平分线（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用角平分线的性质求长度】..................................................................................................................2
【题型2 利用角平分线的性质求面积】..................................................................................................................3
【题型3 利用角平分线的性质求角度】..................................................................................................................4
【题型4 利用角平分线的性质求最值】..................................................................................................................5
【题型5 利用角平分线的性质证明】......................................................................................................................6
【题型6 角平分线的判定】......................................................................................................................................6
【题型7 角平分线的应用】......................................................................................................................................8
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】..............................................................................................................8
知识点 1 角的平分线的性质
1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导
其他结论．
知识点 2 角的平分线的判定
1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线
上，角的外部的点不会在角的平分线上．
知识点 3 作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
1
（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
2
（3）画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知∠AOB=150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点
D，PC∥OB交OA于点C，若PD=4，则OC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE⊥BC于E点，
若AB=4，BC=5，S =9，则DE的长为 ．
△ABC
【变式1-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一
点，连接AD，DE，DE∥AC，AE=ED，若AB=2.7，BD=1.5，CD=1，则AC= ．
【变式1-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则点O到AB的距离
为 ．【题型2 利用角平分线的性质求面积】
【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，AD平分∠BAC，
DE⊥AC于E，DE=2，则△ABC的面积为（ ）
A．13 B．19 C．20 D．26
【变式2-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①
以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于
1
MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD的长为3，
2
AB=8，则△ABD的面积为 ．
【变式2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是∠ABC的平
3
分线，如果△ABC的面积为 ，那么△DBC的面积为 ．
2
【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且CD=2BD，4BC=3AC
，CF为∠ACB的角平分线，交AD于点E，交AB于点F，若△CDE的面积为7，则图中阴影部分四边形BDEF的面积为 ．
【题型3 利用角平分线的性质求角度】
【例3】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分
线分别交CD、BC于E,F,FG⊥AB，垂足为点G．
(1)求证：CE=FG．
(2)若∠B=20°，求∠AFG的度数．
【变式3-1】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE=DF，
∠AOD=25°，则∠EDF的度数是 ．
【变式3-2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A′处，
恰好满足A′B平分∠ABC,A′C平分∠ACB，若∠1=125°，则∠2度数为 ．【变式3-3】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平
分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是 ．
【题型4 利用角平分线的性质求最值】
【例4】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连
接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，DE=BE，点P为线段AB上一动点，连接DP，若CD=6，则
线段DP的最小值是 ．
【变式4-1】（24-25八年级上·天津·期末）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
OA，OB于点M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于 MN长为半径画弧（弧所在圆的半径都相
2
等），两弧交于点P．画射线OP，作PC⊥OA于点C，且PC=2，Q是射线OB上一个动点，则PQ的最
小值为
【变式4-2】（22-23八年级上·陕西西安·期末）在△ABC中，已知BC=6，BC边上的高
ℎ
=4，△ABC两
个内角的角平分线相交于点O，过O作OD⊥BC于点D，则OD的最大值是 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M
，N分别是AD和AB上的动点．（1）若∠BAC=60∘，∠C=40∘，则∠ADB的度数为 ；
（2）若S =12，AC=8，则BM+MN的最小值为 ．
△ABC
【题型5 利用角平分线的性质证明】
【例5】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA
，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连接DF，EF．求证：∠DFO=∠EFO．
【变式5-1】如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分
别是M、N，求证：PM=PN．
【变式5-2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分
别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB．
【变式5-3】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的
点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，求证：AD+BC=AB．【题型6 角平分线的判定】
【例6】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD
、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分
∠ABC．
【变式6-1】（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，
两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是
2、5，则OC的长度是 ．
【变式6-2】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O，且
OB=OC．
(1)求证：BE=CD；(2)求证：判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【变式6-3】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)求证：PA平分∠BPE．
【题型7 角平分线的应用】
【例7】（2023·山东青岛·三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷
泉，要求喷泉到两条道路OA，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．
【变式7-1】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三
条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（
）
A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．△ABC三条中线的交点位置
【变式7-2】（22-23八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P
．【变式7-3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修
建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
【题型8 角平分线的判定与性质的综合】
【例8】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，
∠ADC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接BE．
(1)求∠DAE的度数；
(2)求证：BE平分∠ABC；
(3)若AD=6,CD=10，三角形ACD的面积是16，求EF的长．
【变式8-1】如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠DAB．
【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，
∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，BD=DF．
(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求证：AB=AF+2BE．
【变式8-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，
∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=55°．
(1)∠ACE的度数是 ；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14,AB=8，且S =21，求△ABE的面积．
△ACD
