文档内容
专题 13.3 三角形的内角（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用三角形内角和直接求角】..................................................................................................................2
【题型2 三角形内角和的证明】..............................................................................................................................4
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】..............................................................................................................8
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】.......................................................................................................12
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】.......................................................................................17
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】...................................................................................21
【题型7 直角三角形的性质】................................................................................................................................26
【题型8 直角三角形的判定】................................................................................................................................29
知识点 1 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°.
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
由 三 角 形 的 内 角 和 定 理 易 得 ∠A+∠B=∠C+∠D.知识点 2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° .
2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 .
【题型1 利用三角形内角和直接求角】
【例1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，
我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为48°，则这个三角形中最大
的内角度数为 ．
【答案】96°或108°或88°
【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为180°，是解决问题的关键．
根据三角形内角和等于180°，如果一个“倍角三角形”有一个角为48°，可得另两个角的和为132°，根
据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即
可．
【详解】解：当48°的角是另一个内角的2倍时，
三个角分别为：24°，48°，108°；
当一个内角是48°的角的2倍时，三个角分别为：48°，96°，36°；
当另外两个角是两倍关系时，
设这两个角分别是x°，2x°，
则x+2x+48=180，
解得x=44，
∴2x=88，
∴三个角分别为：48°，44°，88° ；
因此，这个三角形中最大的内角度数为96°或108°或88°．故答案为：96°或108°或88°．
1 1
【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，则此三角形按角分类是
2 2
三角形．
【答案】锐角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个
三角形三个内角的度数即可得到答案．
1 1
【详解】解：∵在△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
2 2
1
∴ ∠B+∠B+∠B=180°，
2
∴∠B=72°，
∴∠A=36°，∠C=72°，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）加图．△ABC平移后得列△≝¿，∠A=55°，∠B=50°，
则∠DFE的度数是 ．
【答案】75°/75度
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理的运用．根据三角形内角和定理得到∠ACB=75°，
再根据平移得到∠DFE=∠ACB=75°，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠A=55°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−55°−50°=75°，
∵△ABC平移后得到△≝¿，
∴∠DFE=∠ACB=75°，
故答案为：75°．
【变式1-3】（24-25七年级下·江西九江·期中）一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中
的几何图形，其中AB∥CD，ED∥BF，点E，F在线段AC上．若∠A=13°，∠B=∠D=50°，则∠AED的度数为 ．
【答案】63°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得∠AFB的度数，再
由平行线的性质可得∠DEC的度数，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵∠A=13°，∠B=50°，
∴∠AFB=180°−∠A−∠B=117°，
∵ED∥BF，
∴∠DEC=∠AFB=117°，
∴∠AED=180°−∠DEC=63°，
故答案为：63°．
【题型2 三角形内角和的证明】
【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同
学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．如图①所示，过三角形一边上点D作ED∥CB, DF∥AC
B．如图②所示，过三角形内部一点P作QR∥BC,ST∥AC,MN∥AB
C．如图③所示，过点C作CD⊥AB于点D
D．如图④所示，过三角形外部一点P作QR∥BC,ST∥AC,MN∥AB
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得
∠BDF=∠A，∠EDA=∠B，∠C=∠AED，∠AED=∠EDF，则∠C=∠EDF，由平角的定义得到∠EDF+∠ADE+∠BDF=180°，则∠A+∠B+∠C=180°，据此可判断A；由平行线的性质可
得∠AQR=∠B，∠ARQ=∠C，同理可得∠A+∠ARQ+∠AQR=180°，据此可判断B；设
QR，AB交于O，根据平行线的性质可得∠QOB=∠B，∠ARO=∠C，∠ARO=∠TPO，
∠AOR=∠OPN，∠A=∠ATS， ∠ATS=∠SPN，再由∠SPN+∠OPN+∠TPO=180°，即可判
断D；C中根据现有条件无法证明∠A+∠B+∠C=180°．
【详解】解：A、∵ED∥CB, DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，∠EDA=∠B，∠C=∠AED，∠AED=∠EDF，
∴∠C=∠EDF，
∵∠EDF+∠ADE+∠BDF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°，故A不符合题意；
B、∵QR∥BC
∴∠AQR=∠B，∠ARQ=∠C，
∵ST∥AC,MN∥AB，
∴同A选项中的证明方法可得∠A+∠ARQ+∠AQR=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°，故B不符合题意；
C、根据现有条件无法证明∠A+∠B+∠C=180°，故C符合题意；
D、设QR，AB交于O，
∵QR∥BC，
∴∠AOR=∠B，∠ARO=∠C，
∵ST∥AC，
∴∠ARO=∠TPO，∠AOR=∠OPN，∠A=∠ATS，
∵MN∥AB，
∴∠ATS=∠SPN，
∵∠SPN+∠OPN+∠TPO=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°，故D不符合题意；
故选；C．
【变式2-1】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了
．
【答案】三角形内角和等于180°
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解
题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）我们在小学就已经知道三角形内角和等于180
度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不
能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°．请完成下
面证明过程．
已知：如图任意画一个△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．过点A作
直线DE∥BC，由平行线的性质可得∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，再由平角的定义，通过等量代换可
得∠B+∠BAC+∠C=180°．【详解】证明：如图，过点A作直线DE∥BC，
∵ DE∥BC
，
∴ ∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，
∵ ∠DAE+∠BAC+∠EAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形内角和等于180°．
【变式2-3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过
程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE ∥ AC交AB于点D，作EF ∥ AB交AC于点F．
∵DE ∥ AC，AB ∥ EF
∴∠1=_______，∠3=_______．
∵AB∥EF，
∴∠4=_______．
∵DE∥AC，
∴∠4=_______，
∴∠2=_______．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C=_______．
【答案】∠C；∠B；∠A；∠2；∠A；180°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进
行证明即可．
【详解】解；∵DE ∥ AC，AB ∥ EF
∴∠1=∠C，∠3=∠B．
∵AB∥EF，
∴∠4=∠A．∵DE∥AC，
∴∠4=∠2，
∴∠2=∠A．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】
【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于
点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG平行AB，过点B作BG⊥DG交
DG于点G．下列结论：①BC平分∠ABG；②∠BDG=2∠CBE；③∠AFB=135°；④
∠BEC=∠FBG．正确结论的序号有 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等．根据角平分线
的定义及三角形内角和定理即可判断③正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等
角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断①，所以错误，综上所述即可得出答案．
【详解】解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
1 1
∴∠FAB= ∠BAC，∠ABE=∠EBC= ∠ABC，
2 2
1
∴∠FAB+∠ABE= (∠BAC+∠ABC)=45°，
2
∴∠AFB=180−(∠FAB+∠ABF)=180°−45°=135°，
∴③正确；
∵DG∥AB，
∴∠BDG=∠ABC
1
∵∠EBC= ∠ABC，
21
∴∠EBC= ∠BDG，
2
∴∠BDG=2∠CBE，
∴②正确；
∵∠ABC的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明BC平分∠ABG，
∴①不正确；
∵BG⊥DG，∠C=90°，
∴∠BGD=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠BDG+∠DBG=90°，
又∵DG∥AB，
∴∠BDG=∠ABC，
∴∠DBG=∠CAB，
又∵∠BEC=∠EAB+ABE，
∴∠BEC=∠DBG+∠ABE，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=EBC
∴∠DBG+∠ABE=∠DBG+∠EBC=∠EBG，
即∠BEC=∠FBG，
∴④正确；
综上，正确的结论为②③④，
故答案为：②③④．
【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，D, E分别是BA, BC上的点，满足
∠ACB+∠B+∠BDE=180°．
(1)AC，DE是否平行？说明理由．
(2)若CD平分∠ACB，∠1=35°，求∠2度数．
【答案】(1)平行(2)70°
【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点．
（1）由三角形内角和为180°，结合已知可得∠A=∠BDE，由同位角相等两直线平行即可得出结论；
（2）根据角平分线定义可得∠ACB=2∠1=70°，结合AC∥DE可得∠2=∠ACB=70°．
【详解】（1）结论：平行，
∵∠ACB+∠B+∠BDE=180°，
∠ACB+∠B+∠A=180°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE．
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠1=70°，
∵AC∥DE，
∴∠2=∠ACB=70°．
【变式3-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD中，点G是BC上一点，过点G作
¿∥AB,GF∥CD，若∠A+∠D=123°，则∠EGF= °．
【答案】57
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等．
首先根据平行线的性质得到∠GEF=∠A，∠GFE=∠D，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵¿∥AB，GF∥CD，
∴∠GEF=∠A，∠GFE=∠D，
∵∠A+∠D=123°，
∴∠GEF+∠GFE=∠A+∠D=123°，
∴∠EGF=180°−(∠GEF+∠GFE)=180°−123°=57°．
故答案为：57．
1
【变式3-3】（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，AB∥CD，∠EAF= ∠EAB，
41
∠ECF= ∠ECD，则∠AFC= ∠AEC．
4
3
【答案】
4
【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF= y°，
∠EAB=4x°，∠ECD=4 y°，由平行线的性质得∠BAC+∠ACD=180°，进一步得出
∠AEC=4(x°+ y°), ∠AFC=3(x°+ y°)，从而可得结论
【详解】解：连接AC，如图，
，
设∠EAF=x°，∠ECF= y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4 y°，
∵AB∥CD
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4 y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°−(4x°+4 y°)，
∴∠FAC+∠FCA=180°−(3x°+3 y°)，
∴∠AEC=180°−(∠CAE+∠ACE)
=180°−[180°−(4x°+4 y°))
=4x°+4 y°
=4(x°+ y°)；
∠AFC=180°−(∠FAC+∠FCA)
=180°−[180°−(3x°+3 y°))
=3x°+3 y°=3(x°+ y°)，
3
∴∠AFC= ∠AEC
4
3
故答案为：
4
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】
【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，BM、CM分别平分∠ABC和
∠ACB，连接AM，已知∠MBC=25°，∠MCA=30°，则∠MAB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于
同一点，得出AM平分∠BAC是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出∠ABC=50°，
∠ACB=60°，根据三角形内角和定理得出∠BAC=70°，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可
知AM平分∠BAC，进而可求出答案．
【详解】解：∵ BM平分∠ABC，∠MBC=25°，
∴ ∠ABC=2∠MBC=50°，
∵ CM平分∠ACB，∠MCA=30°，
∴ ∠ACB=2∠MCA=60°，
∴ ∠BAC=180°−∠ABC−∠BCA=70°．
∵在△ABC中，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，
∴ AM平分∠BAC，
1
∴ ∠MAB= ∠BAC=35°，
2
故选：C．
【变式4-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，F是AE
上一动点，FD⊥BC于点D，∠BAC=60°，∠C=70°，则∠DFE的度数为（ ）A．15° B．8° C．10° D．12°
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，理解并掌握三角形内角和定理是解
题关键．首先根据三角形角平分线的定义可得∠EAC=30°，再利用三角形内角和定理确定∠AEC=80°
，然后在△EDF中，由∠DFE=180°−∠EDF−∠AEC求解即可．
【详解】解：∵∠BAC=60°，AE是△ABC的角平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC=30°，
2
∵∠C=70°，
∴∠AEC=180°−∠C−∠EAC=80°，
∵FD⊥BC，
∴∠EDF=90°，
∴∠DFE=180°−∠EDF−∠AEC=10°．
故选：C．
【变式4-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，AB∥CD，点E是平面内一点，连接EB，EC，
∠DCE的平分线与∠ABE的平分线交于点P．若∠E=α°，则∠BPC= °（用含α的代数式表
示）．
1
【答案】90°+ α
2
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握
以上性质，并作辅助线构造三角形．
延长EB,CD交于点F，AB,PC相交于点G，利用角平分线的性质和平行线的性质得出1 1
∠PBE=∠ABP= ∠ABE，∠PGB= ∠ECD，得出∠BPC=180°−(∠PGB+∠ABP)，进行整理
2 2
求解即可．
【详解】解：如图，延长EB,CD交于点F，AB,PC相交于点G，
∵CP平分∠ECD，BP平分∠ABE，
1
∴∠ECP=∠DCP= ∠ECD，
2
1
∠PBE=∠ABP= ∠ABE，
2
∵AB∥CD，
1
∴∠AGC=∠DCP= ∠ECD，∠ABE=∠F，
2
1
∴∠PGB=∠AGC= ∠ECD，
2
(1 1 ) 1
∴∠BPC=180°−(∠PGB+∠ABP)=180°− ∠ECD+ ∠ABE =180°− (∠ECD+∠F)
2 2 2
1 1
=180°− (180°−∠E)=90°+ α°，
2 2
1
故答案为：90°+ α．
2
【变式4-3】（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作
DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF
的平分线CQ与DP相交于点Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=______°，∠Q______°；
(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数______．
【答案】(1)115，25
(2)不会发生变化，理由见解析
(3)∠A=45°或60°或120°或135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
1
（3）设∠A=x，则∠Q= x，再由∠PCQ=90°不变，即可分类讨论： 当∠Q=3∠QPC时， 当
2
① ②
∠QPC=3∠Q时， 当∠PCQ=3∠Q时， 当∠PCQ=3∠QPC时，分别列出关于x的等式，解出x
即可． ③ ④
【详解】（1）解：∵∠A=50°，∠B=60°，
∴ ∠ACB=180°−∠A−∠B=70°．
∵ CP平分∠ACB，
1
∴ ∠BCP=∠ACP= ∠ACB=35°．
2
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°．
∵ DP平分∠ADE，
1
∴ ∠PDG= ∠ADE=30°．
2
∴ ∠DPC=180°−∠PDG−∠PGD=115°；
∵ ∠DPC=115°，
∴ ∠QPC=180°−115°=65°．
∵ CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，1 1
∴ ∠ACP= ∠ACB，∠ACQ= ∠ACF．
2 2
∵ ∠ACB+∠ACF=180°，
∴ ∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°，
∴ ∠Q=90°−∠QPC=25°．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
∵ ∠A=50°，
∴ ∠ACB+∠B=130°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．
∵ DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
1 1 1
∴ ∠PDE= ∠ADE= ∠B，∠PCB= ∠ACB=∠PGD．
2 2 2
∴ ∠DPC=180°−(∠PDE+∠PGD)
1
=180°− (∠B+∠ACB)
2
1
=180°− ×130°
2
=115°．
∴ ∠QPC=65°，
∵ ∠ACB+∠ACF=180°，
1
∴ ∠PCQ= (∠ACB+∠ACF)=90°，
2
∴ ∠Q=90°−∠QPC=25°．
∴当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化；
（3）解：设∠A=x，
∴ ∠ACB+∠B=180°−x．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB，
∵ DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，
1 1 1
∴ ∠PDE= ∠ADE= ∠B，∠PCB= ∠ACB=∠PGD，
2 2 2∴ ∠DPC=180°−(∠PDE+∠PGD)
1
=180°− (∠B+∠ACB)
2
1
=180°− ×(180°−x)
2
1
=90°+ x．
2
( 1 ) 1
∴ ∠QPC=180°− 90°+ x =90°− x．
2 2
∵ CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
1 1
∴∠ACP= ∠ACB，∠ACQ= ∠ACF，
2 2
1
∴ ∠PCQ= (∠ACB+∠ACF)=90°，
2
( 1 ) 1
∴∠Q=90°−∠QPC=90°− 90°− x = x，
2 2
∵ △PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
1 ( 1 )
∴ 当∠Q=3∠QPC时， x=3 90°− x ，
2 2
①
解得：x=135°
1 1
当∠QPC=3∠Q时，90°− x=3× x，
2 2
②
解得：x=45°
1
当∠PCQ=3∠Q时，90°=3× x，
2
③
解得：x=60°
( 1 )
当∠PCQ=3∠QPC时，90°=3× 90°− x ，
2
④
解得：x=120°
综上可知，∠A=45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类
讨论的思想是解题关键．
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】
【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=80°，则∠BPC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是解题关键．根
据折叠得出∠PDE=∠ADE，∠PED=∠AED，再由三角形内角和和平角定义求出
1
∠A= (∠1+∠2)=40°．根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A，根据角平分线
2
1
的定义可得∠BPC=180°−(∠FBC+∠FCB)=90°+ ∠A由此即可得答案．
2
【详解】解：由折叠可知：∠PDE=∠ADE，∠PED=∠AED，
∴∠1+2∠ADE=180°，∠2+2∠AED=180°．
∴∠1+∠2+2(∠ADE+∠AED)=360°，
又∵∠ADE+∠AED=180°−∠A，
1
∴∠1+∠2+2(180°−∠A)=360°，即∠A= (∠1+∠2)=40°，
2
1 1
∵∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
2 2
1 1
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−∠A)，
2 2
1
∴∠BPC=180°−(∠FBC+∠FCB)=90°+ ∠A，
2
1
∴∠BPC=90°+ ×40°=110°．
2
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大
12°，则∠1的度数为 ．【答案】68°/68度
【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出∠2的度
数，然后即可计算出∠1的度数．
【详解】解：如图所示，
．
由题意可得：∠3=∠4，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠2=∠4，
由图可得，∠1+∠2+∠4=180°，
∵∠1比∠2大12°，
∴(∠2+12°)+∠2+∠2=180°，
解得∠2=56°，
∴∠1=∠2+12°=56°+12°=68°，
故答案为：68°．
【变式5-2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的
点F，若∠BFA=38°．则∠DEA= 度．
【答案】71
【分析】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质 折叠性质，平行线的性质，直角三角形角性质，是解决本题的重点．
首先根据平行线的性质得到∠DAF的度数，再根据对折的性质求出∠DAE的度数，即可求出∠DEA的度
数．
【详解】解：∵长方形ABCD中AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB=38°，
1
由折叠知，∠DAE=∠FAE= ∠DAF=19°，
2
∵∠D=90°，
∴∠DEA=90°−∠DAE=71°．
故答案为：71．
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°．第一步，
将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿
ED折叠，点A落在A′处；第三步，将纸片沿DA′折叠，点E落在E′处，当点E′恰好在原直角三角形纸片
的边上时，∠AD A′的度数为 °．
【答案】60°或120
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键．
分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：当点E′在AC上时，
由折叠得， A′D⊥EE′，
那么此时A′D⊥AC，记A′D与AC交于点G，
∴∠DGA=90°，
∵∠A=30°，∴∠AD A′=180°−∠A−∠DGA=60°；
当点E′在AB上时，
由折叠知∠ADE=∠A′DE=∠A′DE′，
当点E′在AB上时，则∠ADE+∠A′DE+∠A′DE′=180°，
∴∠ADE=60°，
∴∠AD A′=2∠ADE=120°，
综上：当点E′恰好在原直角三角形纸片的边上时，∠AD A′的度数为60°或120°，
故答案为：60°或120．
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】
【例6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的
△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边
DE平行．
【答案】21或57
【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，依据题意，正确分两种情
况讨论是解题关键．
先根据旋转的定义画出图形，再根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角的度数，由此即可得出答案．
【详解】解：如图1所示：当B′C′∥DE时，由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°，
则∠FAD=180°−∠D−∠DFA=75°，
故∠CAF=90°−75°=15°，
则∠BAF=90°+15°=105°，
105
故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为： =21（秒），
5
如图2，当B″C″∥DE时，
由（1）同理可得：∠BAB″=75°，
则BA绕点A顺时针旋转了360°−75°=285°，
285
在旋转的过程中：第 =57（秒）时，边BC恰好与边DE平行．
5
综上所述：在第21或57秒时，边BC恰好与边DE平行．
故答案为：21或57．
【变式6-1】（24-25八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数
是（ ）A．75° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】本题考查了通过三角板求角度，三角形的内角和定理，根据三角板中特殊角度，三角形内角内角
和定理解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，根据三角板角度的特殊性可知∠AEB=45°，∠B=60°，
∵∠α+∠AEB+∠B=180°，
∴∠α=180°−45°−60°=75°，
故选：A．
【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）将一副三角板如图放置，边BC与边EF在同一条直线上，
∠C=∠DFE=90°,∠ABC=60°，∠E=45°．三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B逆时针旋转
α(0°<α<180°)．当α= 时，AB⊥DE．
【答案】75°
【分析】本题考查垂直的定义，三角形内角和，角的和差．当AB⊥DE时，即∠1=90°，结合三角形内
角和得∠2=45°，由旋转性质得∠A′BC′=∠ABC=60°，再根据角的和差关系进行列式计算，即可作
答．
【详解】解：如图，∵三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)，且AB⊥DE，
∴∠1=90°，
∵∠C=∠DFE=90°,∠ABC=60°，∠E=45°．
∴∠2=90°−∠E=45°，∠A′BC′=∠ABC=60°，
则∠C′BC=180°−45°−60°=75°，
∴三角板ABC绕点B顺时针旋转75度，
即α=75°，
故答案为：75°．
【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板
CDE,∠CED=90°,∠CDE=30°,∠AOB=α(0°<α<90°)，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落
在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．若∠MDC的平分线DF交
OB边于点F，以下结论中
①当α=60°且DF∥OA时，CE∥OA；
1
②当CE∥OA时，∠OFD+ α=150°；
2
③当∠OFD+α=150°时，DE⊥OA．正确的有（ ）
A．② B．①② C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形
内角和定理是解题的关键．
根据DF∥OA，可得∠DFC=∠AOB=α=60°，再由MN∥OB以及DF平分∠MDC，可得∠CDF=∠MDF=60°，然后根据∠DCE=60°，可得∠CDF=∠DCE，从而得到CE∥DF，可判断
①；根据CE∥OA，可得∠BCE=∠AOB=α，从而得到∠DCF=180°−∠DCE−∠BCE=120°−α
，再由MN∥OB以及DF平分∠MDC，可得∠CDF=∠MDF=∠CFD，然后根据三角形内角和定理可
1
得∠CFD=30°+ α，可判断②；根据∠OFD+α=150°，可得∠CFD=30°+α，再由MN∥OB以及
2
DF平分∠MDC，可得∠CDF=∠MDF=∠CFD=30°+α，然后根据三角形内角和定理可得
∠DCF=120°−2α，从而得到∠BCE=180°−∠DCE−∠DCF=2α，无法得到OA与CE平行，可判
断③．
【详解】解：如图，
∵DF∥OA，
∴∠DFC=∠AOB=α=60°，
∵MN∥OB，
∴∠MDF=∠DFC=60°，
∵DF平分∠MDC，
∴∠CDF=∠MDF=60°，
在Rt△DCE中，∠DCE=60°，
∴∠CDF=∠DCE，
∴CE∥DF，
∵DF∥OA，
∴CE∥OA，故①正确；
∵CE∥OA，
∴∠BCE=∠AOB=α，
∵∠DCE=60°，
∴∠DCF=180°−∠DCE−∠BCE=120°−α，
∵MN∥OB，
∴∠MDF=∠DFC，∵DF平分∠MDC，
∴∠CDF=∠MDF=∠CFD，
∵∠CDF+∠CFD+∠DCF=180°，
1
∴∠CFD=30°+ α，
2
1 1 ( 1 ) 1
∴∠OFD+ α=180°−∠CFD+ α=180°− 30°+ α + α=150°，故②正确；
2 2 2 2
∵∠OFD+α=150°，
∴∠OFD=150°−α，
∵∠OFD+∠CFD=180°，
∴150°−α+∠CFD=180°，
∴∠CFD=30°+α，
∵MN∥OB，
∴∠MDF=∠DFC，
∵DF平分∠MDC，
∴∠CDF=∠MDF=∠CFD=30°+α，
∵∠CDF+∠CFD+∠DCF=180°，
∴30°+α+30°+α+∠DCF=180°，
∴∠DCF=120°−2α，
∵∠DCE=60°，
∴∠BCE=180°−∠DCE−∠DCF=2α，
∴∠BCE≠∠AOB，
∴无法得到OA与CE平行，
∵∠CED=90°，即DE⊥CE，
∴无法得到DE⊥OA，故③错误．
故选：B
【题型7 直角三角形的性质】
【例7】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，
∠A=35°，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。【答案】∠A=∠CBD=35° ∠C=∠ABD=55°；相等的锐角有：∠A=∠CBD, ∠C=∠ABD
【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵∠A=35°，
∴∠C=90°−∠A=90°−35°=55°；
在Rt△ABD中，∵BD⊥AC，即∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠A=35°，
∴∠ABD=90°−∠A=90°−35°=55°；
在Rt△DBC中，∵BD⊥AC，即∠ADC=90°，
∴∠C+∠CBD=90°，
∵∠C=55°，
∴∠CBD=90°−∠C=90°−55°=35°；
∴相等的锐角有：∠A=∠CBD, ∠C=∠ABD．
【变式7-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若
∠1=65°，则∠2的大小是 °．
【答案】55
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由30°三角尺可知∠3=60°，由平角可求∠4，再根据平行线的
性质可知∠2=∠4．
【详解】解：如图：由30°的三角尺可知∠3=60°，
∴∠4=180°−∠1−∠3=180°−65°−60°=55°．
由平行线的性质可知∠2=∠4=55°．
故答案为：55．
【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，
∠B=60°,∠C=40°，则∠DAE= 度．
【答案】10
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内
角和定理求解∠BAC的大小，再由角平分线的性质求解∠BAE的大小，再利用直角三角形的两锐角互余
求出∠BAD，最后利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：在△ABC中，∠B=60°,∠C=40°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−60°−40°=80°，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴．∠BAE= ∠BAC= ×80°=40°，
2 2
∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−30°=10°．
故答案为：10．
【变式7-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC=90°，
DE∥AC．则下列结论：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B=∠CAD；④
∠CFG+∠BDE=90°．正确结论的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识的判定，掌握以上
知识是关键．根据垂线的定义，平行线的判定和性质，结合图形判定即可．
【详解】解：∵AD⊥BC,FG⊥BC，
∴FG∥AD，故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE,∠CAD=∠ADE，
∵∠C与∠CAD的数量无法确定，即∠C与∠CAD不一定相等，
∴不能判定DE平分ADB，故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，故③正确；
∵FG⊥BC，
∴∠C+∠CFG=90°，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∴∠CFG+∠BDE=90°，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：B．
【题型8 直角三角形的判定】
【例8】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①∠A+∠B=∠C；②
1 1
∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A= ∠B= ∠C；⑤∠A=2∠B=3∠C中，能
2 3
确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，
即可分别进行判断．
【详解】解：①由∠A+∠B+∠C=180°得到2∠C=180°，即∠C=90°，是直角三角形；
3
②由题可得∠C=180°× =90°，是直角三角形；
1+2+3
③由∠A+∠B+∠C=180°得到2∠C+2∠C+∠C=180°，解得∠C=36°，∠A=∠B=72°，不是
直角三角形；
④由∠A+∠B+∠C=180°得到∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
，是直角三角形；
1 1 1080
⑤由∠A+∠B+∠C=180°得到∠A+ ∠A+ ∠A=180°，解得∠A=( )°，不是直角三角形；
2 3 11
故选：C．
【变式8-1】（24-25七年级下·上海·期中）若△ABC的三个内角的比为2:5:3，则△ABC的形状是
三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个）
【答案】直角
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，先根据三角形的内角和定理求出△ABC中最
大角的度数，然后根据三角形的分类求解即可．
【详解】解：∵△ABC的三个内角的比为2:5:3，
5
∴△ABC中最大角为 ×180°=90°，
2+3+5
∴△ABC的形状是直角三角形，
故答案为：直角．
【变式8-2】（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，
∠A=∠2．求证：△ABC是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得∠1+∠2=90°，据此即可证明△ABC是直角三角形．【详解】解：在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2，
∵∠A+∠2+∠1+∠B=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，即∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于180°”是解题的关键．
【变式8-3】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一
点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由AD是BC边上的高，得∠DMC+∠DCM=90°；再由
∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，即可得结论成立．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DMC+∠DCM=90°．
∵∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，
∴∠AME+∠MAE=90°，
∴△AEM是直角三角形．
