文档内容
专题 14.3 全等三角形的判定（二）（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 数全等三角形的对数】..............................................................................................................................1
【题型2 全等三角形的动态问题】..........................................................................................................................6
【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】...................................................................11
【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】...................................................................17
【题型5 结合尺规作图的全等问题】....................................................................................................................23
【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】.......................................................................................28
【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】...................................................................................32
【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】...............................................................................36
【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】.......................................................................................43
【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】...............................................................................47
知识点 判定两个三角形全等的常用思路
（1）找第三边——利用“SSS”；
已知两边 （2）找夹角——利用“SAS”；
（3）找直角——利用“HL”
（1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”；
已知一角与 （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”；
邻边 （3）找这边的对角——利用“AAS”；
已知一边一角
（4）若是直角找对边——利用“HL”
已知一角与 （1）找一角——利用“AAS”；
对边 （2）若是直角找一边——利用“HL”
（1）找夹边——利用“ASA”；
已知两角
（2）找夹边外任意一边——利用“AAS”
【题型1 数全等三角形的对数】
【例1】（上海市虹口区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷）如图，在△ABC中，线段AB=AC，
BD,CE都是△ABC的角平分线，连接DE，则图中的全等三角形的对数是（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到
∠ABD=∠ACE=∠DBC=∠ECB，利用全等三角形的判定即可．
【详解】令EC和BD的交点为O．
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵BD,CE都是△ABC的角平分线
∴∠ABD=∠ACE=∠DBC=∠ECB
∵∠A是△ABD和△ACE的公共角
∴△ABD≌△ACE(ASA)
∴BD=CE
∴△BCE≌△CBD(AAS)
∴BE=DC
∴△BED≌△CDE(SAS)
∵∠EOB=∠DOC
∴△EOB≌△DOC(AAS)
故选：B．
【变式1-1】如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】图中有3对全等三角形，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC，△ABC≌△DEF，
理由为：由AB与DE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由AF=DC，两边都加上FC，得到
AC=DF，利用SAS可得证；△ABF≌△DEC，理由为：由AB与DE平行利用两直线平行得到一对内错角相等，
由已知两对边相等，利用SAS可得证；△BCF≌△EFC，理由为：由全等三角形对应边相等得到FB=EC，
CB=EF，再由FC为公共边，利用SSS即可得证．
【详解】解：图中的全等三角形的对数为3对，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC．
△ABC≌△DEF，理由为：
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
{
AB=DE
)
∠A=∠D ，
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
△ABF≌△DEC，理由为：
证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABF和△DEC中，
{
AB=DE
)
∠A=∠D ，
AF=DC
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
∵△ABC≌△DEF，△ABF≌△DEC，
∴BC＝EF，BF＝EC，在△BCF和△EFC中，
{BC=EF
)
BF=EC ，
CF=FC
∴△BCF≌△EFC（SSS）．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直
角三角形判定全等的方法）．
【变式1-2】如图，点C，D分别在线段OA，OB上，AD与BC相交于点E，若OC=OD，∠A=∠B，
则图中全等三角形的对数为（）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定和性质依次证明图中三角形全等即可．
【详解】解：在△AOD和△BOC中，
∵OC=OD，∠AOD=∠BOC，∠A=∠B，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴OA=OB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴AC=BD，
在△ACE和△BDE中，
∵∠A=∠B，∠AEC=∠BED，AC=BD，
∴△ACE≌△BDE(AAS)；
∴AE=BE，
在△AOE和△BOE中，
∵OA=OB，∠A=∠B，AE=BE，
∴△AOE≌△BOE(SAS)，∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，
∵OC=OD，∠COE=∠DOE，OE=OE，
∴△COE≌△DOE(SAS)，
故全等的三角形有4对，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1-3】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一
点，连接BD、CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD、CD、BE、
CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、
CF；…，依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
n(n−1) n(n+1)
A．2n−1 B．3(n+1) C． D．
2 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三
角形全等，然后找规律．根据图1证出有1对三角形全等，根据图2证出有3对三角形全等，根据图3证出有
6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAD ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD，
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，又∵△ABD≌△ACD，
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理图3中有6对三角形全等；
n(n+1)
由此发现：第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
2
故选：D．
【题型2 全等三角形的动态问题】
【例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC三条边的长都为10cm，三个内角都相等，点P、
Q同时从点A出发，点P以每秒1cm速度沿AB向点B运动，点Q以每秒4cm速度沿折线A−C−B运动，当
点Q到达点B时，点P也同时停止运动．如果点Q在边BC上，且以A、B、C中的两点和点Q为顶点构成的
三角形与△PAC全等，那么运动的时间为 秒．
10
【答案】2或 或4．
3
【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是
解题的关键．
分当点Q在AC上时以及当点Q在BC上时的有两种情形CQ=AP或BQ=PA满足条件，分别构建方程求解
即可．
【详解】解：当点Q在AC上时，CQ=PA时，△BCQ≌△CAP，
∴AP=t,AQ=4t，CQ=10−4t，
∴t=10−4t，解得：t=2．当点Q在BC上时，
如图：当CQ=AP时，△ACQ≌△CAP，AP=t，CQ=4t−10， BQ=20−4t；
10
∴4t−10=t，解得：t= ；
3
如图：当BQ=PA时，△ABQ≌△CAP，
∴20−4t=t，解得t=4，
10
综上所述，满足条件的t的值为2或 或4．
3
10
故答案为：2或 或4．
3
【变式2-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为
AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A
点运动，当点Q的运动时间为 秒时，△BPD与△CQP全等．
2 4
【答案】 或
3 3
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，然后分两种情况讨论：当△BPD≌△CQP时，当
△BPD≌△CPQ时，即可求解．
【详解】解：∵点D为AB的中点，1
∴BD= AB=6cm，
2
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
当△BPD≌△CQP时，BP=CQ,BD=CP=6cm，
∵BC=8cm，
∴CQ=BP=2cm，
2
∴运动时间为 s；
3
当△BPD≌△CPQ时，BP=CP,BD=CQ=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
4
∴运动时间为 s，
3
2 4
综上所述，点Q的运动时间为 s或 s
3 3
2 4
故答案为： 或 ．
3 3
【变式2-2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知△ABD≌△CDB，AD=8cm，
BD=10cm，动点P以1cm/s的速度从点A出发沿边AD向终点D移动，动点Q以2cm/s的速度从点B出发
沿边BC向终点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线BD向终点D移动，三点同时出发，当其中一点到
达终点时，其余两点也停止运动．连接PM、QM，求动点M的速度为多少时，存在某个时刻，使得以
15
P、D、M为顶点的三角形与△QBM全等（点B与点D是对应点）．”甲答：3cm/s，乙答： cm/s，
8
10
丙答： cm/s，则正确的是（ ）
3
A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整
C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，AP=tcm，BQ=2tcm，即得DP=(8−t)cm，又
由△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠CBD，然后分△PDM≌△QBM和△PDM≌△MBQ两种情况根据全
等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，AP=tcm，BQ=2tcm，
∴DP=(8−t)cm，
∵△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
当△PDM≌△QBM时，则DP=BQ，DM=BM，
1
∴8−t=2t，DM=BM= BD=5cm，
2
8
∴t= ，
3
8 15
∴此时点M的速度为5÷ = cm/s；
3 8
当△PDM≌△MBQ时，则DP=BM，DM=BQ，
∴DP+BQ=BM+DM=BD，
即8−t+2t=10，
∴t=2，
∴BM=DP=8−2=6cm，
∴此时点M的速度为6÷2=3cm/s；
15
综上，动点M的速度为 cm/s或3cm/s，
8
故选：A．
【变式2-3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在△ABC中，
∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm，直线l经过点C且与边AB相交，动点P从点A出发沿A→C→B路
径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为2cm/s和
3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l
于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为ts，则△PEC与△QFC全等时，t的值为 ．14
【答案】2或 或6
5
【分析】本题考查全等三角形的性质，分△PEC≌△CFQ，且点P在AC上、点Q在BC上运动，
△PEC≌△QFC，且点P与点Q重合，当△PEC≌△CFQ，且点Q在AC上、点P在BC上运动三种情况
进行讨论求解即可．
【详解】解：∵PE⊥l,QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∴△PEC与△QFC全等分三种情况讨论：
①如图①，当△PEC≌△CFQ，且点P在AC上、点Q在BC上运动时，
PC=CQ．
此时AP=2tcm,BQ=3tcm，
∴6−2t=8−3t，
解得t=2；
②如图②，当△PEC≌△QFC，且点P与点Q重合时，
PC=CQ．
此时AP=2tcm,CQ=(3t−8)cm，
∴6−2t=3t−8，
14
解得t= ；
5
③当△PEC≌△CFQ，且点Q在AC上、点P在BC上运动时，PC=CQ．
此时PC=(2t−6)cm,CQ=(3t−8)cm．
当点Q未到达终点A时，
2t−6=3t−8，
解得t=2，
不符合题意，舍去．
当点Q到达终点A时，P继续运动，如图③，
此时点Q与点A重合，PC=CQ=AC=6cm，
∴2t−6=6，解得t=6．
14
综上所述，当t的值为2或 或6时，△PEC与△QFC全等．
5
14
故答案为：2或 或6
5
【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】
【例3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）题目：“如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点
B作BC⊥BA交AN于点C，且BC=AB．动点E从点A出发，沿射线AN运动，作BD⊥BE，交直线
AM于点D．关于BD和BE的关系，下列说法正确的是（ ）
A．点E只有在线段AC上运动时，BD和BE才相等
B．点E只有在线段AC的延长线上时，BD和BE才相等
C．点E在运动过程中，BD和BE一直相等
D．无法判断
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由BD⊥BE，BC⊥BA，AM⊥AN得到
∠MAB=∠DBE=∠ABC=90°，从而有∠DBA=∠EBC，分两种情况：点E在线段AC上运动时，点
E在线段AC的延长线上运动时，分别证明△DAB≌∠ECB(ASA)即可，熟练掌握判定与性质是解题的关
键．
【详解】解：①如图，点E在线段AC上运动时，∵BD⊥BE，BC⊥BA，AM⊥AN
∴∠MAN=∠DBE=∠ABC=90°，即∠DBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC，
∴∠DBA=∠EBC，
∵AB平分∠MAN，
∴∠DAB=∠EAB=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠DAB=∠ECB，
在△DAB和△ECB中，
{∠DAB=∠ECB
)
AB=CB ，
∠DBA=∠EBC
∴△DAB≌∠ECB(ASA)，
∴BD=BE，
②点E在线段AC的延长线上时，
∵BD⊥BE，BC⊥BA，AM⊥AN，
∴∠MAN=∠DBE=∠ABC=90°，即∠DBA+∠DBC=∠DBC+∠EBC，
∴∠DBA=∠EBC，
∵AB平分∠MAN，BC=AB
∴∠BAC=∠ACB=∠MAB=45°，
∴∠DAB=∠ECB=135∘，
在△DAB和△ECB中，
{∠DAB=∠ECB
)
AB=CB ，
∠DBA=∠EBC∴△DAB≌∠ECB(ASA)，
∴BD=BE，
综上可知：点E在运动过程中，BD和BE一直相等，
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，∠F=∠M，EF∥NM，EF=NM
(1)试判断线段FG与MH的关系，并说明理由．
(2)证明EH=NG．
【答案】(1)FG=MH，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质：
（1）先由平行线的性质得到∠E=∠N，进而利用ASA证明△EFG≌△NMH即可证明FG=MH；
（2）由△EFG≌△NMH可得EG=NH，进而可证明EH=NG．
【详解】（1）解：FG=MH，理由如下：
∵EF∥NM，
∴∠E=∠N，
又∵∠F=∠M，EF=NM，
∴△EFG≌△NMH(ASA)，
∴FG=MH；
（2）证明：∵△EFG≌△NMH，
∴EG=NH，
∴EG−HG=NH−HG，
∴EH=NG．
【变式3-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图1，等腰直角△ABC中，
AC=BC,∠ACB=90°，点D是射线AB上的一动点，△DCE是等腰直角三角形，
∠DCE=90°,CD=CE，连接BE．(1)如图2，点D是AB的延长线上的一点，猜想AD、BE的关系，并证明你的结论；
(2)探究AB,BE,BD的数量关系，直接写出你的结论 ．
【答案】(1)AD=BE，理由见解析
(2)AB+BD=BE或AB−BD=BE，理由见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过“SAS”证明三角形全等是
解题的关键．
（1）根据等腰直角△CED得出CD=CE，∠DCE=90°，结合∠ACB=90°可证∠ACD=∠BCE，然
后根据“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出AD=BE；
（2）分两种情况：当点D是AB的延长线上的一点时，或当点D是线段AB上的一点时，由
△ACD≌△BCE，则AD=BE，由线段的和差即可得结论．
【详解】（1）解：AD=BE，理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
又∵∠ACB=90°，则∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
)
∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）解：AB+BD=BE或AB−BD=BE，理由如下：
当点D是AB的延长线上的一点时，
如图2，∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵AB+BD=AD，
∴AB+BD=BE；
当点D是线段AB上的一点时，
如图1，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
又∵∠ACB=90°，则∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
)
∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
∵AB−BD=AD，
∴AB−BD=BE．
【变式3-3】（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE
是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．(1)求证：①△ABD≌△CAE；②BD=DE+CE；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？
请直接写出结果，不需证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)DE=BD+CE，见解析
(3)结论：DE=BD+CE
【分析】本题考查直角三角形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，本题属于几何变换综合题．
（1）根据已知条件证明∠BAD=∠ACE，且根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线
段的关系即可得结论．
（2）BD=DE+CE．根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．
（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，DE=BD+CE．
【详解】（1）证明：①∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，
{∠ACE=∠BAD
)
∠ADB=∠CEA ，
AB=AC
∴△ABD≌△CAE(AAS)；
②∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE；
∵AE=DE+AD，
∴BD=DE+CE．
（2）解：结论：DE=BD+CE．
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，
{∠ACE=∠BAD
)
∠ADB=∠CEA ，
AB=AC
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE；
∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+CE；
（3）解：结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；
理由：如图（1），由（1）②知：BD=DE+CE；
当B、C在AE同侧时，DE=BD+CE；
理由：如图（3），由（2）知：△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE；
∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+CE．
【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】
【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠DAE=∠BAC．
【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB______EC．（填>、<或
=）
【发现证明】（2）将图①中△ADE的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明．
【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，
CE，则BD，CE满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【答案】（1）=；（2）DB=EC仍然成立，证明见解析；（3）BD=CE，BD⊥CE，理由见解析
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握三角形
全等的判定．
（1）根据线段的和差关系即可得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，
∴AB−AD=AC−AE，
∴BD=CE；
（2）解：DB=EC仍然成立，证明如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE即：∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴DB=EC；
（3）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
延长BD，分别交AC、CE于点F、G，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC即：∠BAD=∠CAE，
在△△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AFB=∠GFC，
∴∠CGF=∠BAF=90°即：BD⊥CE．
【变式4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AB，CD的
延长线上，连接EF分别交AD，BC于点G，H，AB∥CD，AE=CF，EH=FG．
(1)△AEG与△CFH全等吗？为什么？
(2)判断线段AD与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)△AEG≌△CFH，见解析；
(2)AD∥BC，见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质．
(1)根据平行线的性质可知∠E=∠F，根据EH=FG可得：EG=FH，利用SAS可证△AEG≅△CFH；
(2)由(1)可知△AEG≅△CFH，根据全等三角形对应角相等，可证∠AGE=∠CHF，根据内错角相等，
两直线平行可得：AD∥BC．
【详解】（1）解：△AEG≌△CFH，
理由如下：
∵ AB∥CD，
∴ ∠E=∠F，
∵ EH=FG，
∴ EH+GH=FG+GH，
∴ EG=FH，{
AE=CF
)
在△AEG和△CFH中， ∠E=∠F ，
EG=FH
∴△AEG≅△CFH；
（2）解：AD∥BC，
理由如下：
由(1)可知，△AEG≅△CFH，
∴ ∠AGE=∠CHF，
∴ AD∥BC．
【变式4-2】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=α(0°<α<90°),D为射线BC上一动点（不与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得
AE=AD，∠DAE=∠BAC连接CE．
(1)若∠ABC=45°，则∠ADE=______．
(2)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
(3)若点D运动到线段BC上某一点时，恰好有AB=CD+CE，问：线段CE与线段AB有什么位置关系并说
明理由．
【答案】(1)45°
(2)见解析
(3)CE∥AB．理由见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全
等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）等边对等角，求出∠BAC，进而得到∠DAE的度数，再根据等边对等角进行求解即可；
（2）利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可；
（3）根据△BAD≌△CAE，得到BD=CE,∠ACE=∠ABC，推出△ABC为等边三角形，进而推出
∠ACE=∠BAC=60°，进而得到CE∥AB即可．
【详解】（1）解：∵∠ABC=45°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°；
（2）证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠CAD=∠BAC−∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中．
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)；
（3）CE∥AB．理由如下：
由（2）知△BAD≌△CAE，
∴BD=CE,∠ACE=∠ABC．
∵AB=CD+CE，
∴AB=CD+BD=BC．
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC．
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACE=∠ABC=60°，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴CE∥AB．
【变式4-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°．点
D在AC上，点E在BC上，且CD=CE．则BE与AD的数量关系是________，直线BE与直线AD的位置关
系是________；
（2）如图2，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．则BE与AD的数量
关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由．【答案】（1）BE=AD，BE⊥AD；（2）BE=AD，BE⊥AD，见解析
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以
上知识点是解题的关键．
（1）由AC=BC，CD=CE，得出BE=AD，由AC⊥BC，得出BE⊥AD；
（2）证明△BCE≌△ACD，证出BE=AD，∠CAD=∠CBE，由三角形内角和定理得出
∠CAF+∠AFB=∠CBE+∠ACB，进而求解．
【详解】解：（1）∵AC=BC，CD=CE，
∴BE=AD．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴BE⊥AD．
（2）BE=AD，BE⊥AD，理由如下：
延长BE交AD交于点F．如图：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
{
BC=AC
)
在△BCE和△ACD中， ∠BCE=∠ACD ，
CE=CD
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，∵∠CAF+∠AFB=∠CBE+∠ACB，
∴∠AFB=∠ACB=90°，即BE⊥AD．
故答案为：BE=AD，BE⊥AD．
【题型5 结合尺规作图的全等问题】
【例5】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在△ABC中，以BC为一边作△BCD，使得
△ABC≌△DCB，画出所有符合条件的△BCD（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）请用两种不同方法作出BC边上的中点E．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点B为圆心，AC的长为半径画弧，再以点C为圆心，
AB的长为半径画弧，在BC的两侧分别交于点D′，D″，连接BD′，CD′，BD″，CD″，则△BCD′和
△BCD″均满足题意．
（2）①作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，则点E即为所求；②以点B为圆心，AC的长为半径画弧，
再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的下方交于点M，连接BM，CM，连接AM交BC于点E，
则点E即为所求．
【详解】解：（1）如图所示， △BCD′和△BCD″为所求．
在△CBA和△BCD′中，{AB=D′C)
AC=D′B
BC=CB
∴△CBA≌△BCD′
在△CBA和△BCD″中，
{AB=D″C)
AC=D″B
BC=CB
∴△CBA≌△BCD″．
（2）如图①所示，点E即为所求；
如图②所示，点E即为所求；．
如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是BC的中点；
如图②，∵BM=AC，CM=AB，BC=CB，
∴△MCB≌△ABC(SSS)，
∴∠MBC=∠ACB，即∠MEB=∠AEC，
在△MBE和△ACM中，
{∠MBE=∠ACE
)
∠MEB=∠AEC ，
MB=AC
∴△MBE≌△ACM(AAS)，
∴BE=CE，即点E是BC的中点．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判
定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式5-1】在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等
于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小明和小
强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL
【答案】A
【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
【变式5-2】课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
B′C′=BC
（1）画 ；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点
A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
{
B′C′=BC,
)
A′B′=_____,
A′C′=_____,
∴△A′B′C′≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】（1）AB,AC,△ABC；（2）④．
【分析】（1）先根据作图可知A′B′=AB,A′C′=AC，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】（1）证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
{B′C′=BC
)
A′B′=AB ，
A′C′=AC
∴△A′B′C′ ≅△ABC．
故答案为：AB,AC,△ABC．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了利用SSS定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
【变式5-3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上
一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
CF与BE相交于点O，请探究线段BC、BF、CE之间的关系，请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）BC=BF+CE，证明见解析．
【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等．
（1）当AB=AP时，可以证明出△ABC≌△APC，即以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P，可以作出图形；
（2）在BC上截取BD=BF，证明△BFO≌△BDO(SAS)，继而再证明△COE≌COD(ASA)，即可得到本
题答案．
【详解】解：（1）当AB=AP时，
∵AE是∠MAD的平分线，
∴∠BAC=∠PAC，
在△ABC和△APC中，
{
AB=AP
)
∠BAC=∠PAC ，
AC=AC
∴△ABC≌△APC，
∴以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P，如下图所示：
（2）BC=BF+CE，理由如下：
在BC上截取BD=BF，
在△BFO和△BDO中，
¿，
∴△BFO≌△BDO(SAS)，
∴∠BOF=∠BOD，
∵∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O，
1 1
∴∠BOC=180°− ∠ABC− ∠ACB=180°−60°=120°，
2 2
∴∠COE=180°−120°=60°，
∴∠BOD=∠BOF=∠COE=60°，
∴∠COD=∠BOC−∠BOD=120°−60°=60°，在△COE和△COD中，
¿，
∴△COE≌COD(ASA)，
∴CE=CD，
∴BC=BF+CE．
【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】
【例6】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则
∠α+∠β= 度．
【答案】45
【分析】连接AB，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出∠DBC=∠BCE=∠β、
∠ABD=∠CAE=∠α及△CAB是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接AB，
∵DB∥CE，
∴∠DBC=∠BCE=∠β，
∵△ACE和△BAD中，
{
AE=BD
)
∠AEC=∠BDA
CE=AD
∴△ACE≌△BAD(SAS)，
∴∠ABD=∠CAE=∠α，AC=BA，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
即∠CAB=90°，∴△CAB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠α+∠β=45°．
故答案为：45．
【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判
定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形．
【变式 6-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，求证：
∠B=∠E．
【答案】证明：连接AC，AD，
∵AF是CD的垂直平分线，
∴AC=AD．
又AB=AE，BC=ED，
∴△ABC≌△AED(SSS)．
∴∠B=∠E．
【解析】本题考查三角形全等判定“SSS”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是常用的方法之一．
连接AC，AD证得AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，则可得证．
【变式6-2】如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（ ）A．50∘ B．40∘ C．40∘或70∘ D．30∘
【答案】B
【分析】连接AD，可证△ABD≌△ACD，根据全等三角形对应角相等可以得到
1
∠BAD=∠CAD= ∠BAC，∠ADB=∠ADC，代入角度即可求出∠BAD和∠ADB的度数，最后利
2
用三角形内角和定理即可求解．
【详解】连接AD，如图，
在△ABD与△ACD中
{AB=AC
)
BD=CD ，
AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SSS)，
1
∴ ∠BAD=∠CAD= ∠BAC，∠ADB=∠ADC，
2
∵ ∠A=60∘，
∴ ∠BAD=∠CAD=30∘，
∵ ∠D=140∘，
1
∴ ∠ADB=∠ADC= (360∘−140∘)=110∘ ，
2
∵ ∠BAD+∠ADB+∠B=180∘，
∴ ∠B=40∘．
故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
【变式6-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）D是等边三角形内一点，DB=DA，BP=AB，
∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数为______．
【答案】30°
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．应用全等三角
形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【解答】
解：连接DC.
∵等边三角形ABC，
∴AB=BC=AC，
∵AB=BP，
∴BP=AB=BC，
在△PBD和△CBD中，{BP=BC
∠1=∠ 2，
BD=BD
∴△PBD≌△CBD(SAS)，
∴∠BFD=∠BCD，
在△ACD和△BCD中，
{AC=BC
CD=CD，
BD=AD
∴△ACD≌△BCD(SSS)，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=∠BCD=∠BPD=30°.
故答案为30°．
【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】
【例7】如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交
DE于F.求证：EF=DF.
【答案】详见解析
【分析】如图，过点D作DG⊥CF的延长线于点G，易证ΔABC≌ΔBDG，再证ΔBFE≌GFD即可得答
案.
【详解】如图，过点D作DG⊥CF的延长线于点G，
∵∠ABC+∠DBG=90°，
∠BDG+∠DGB=90°，
∴∠ABC=∠BDG，又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴ΔABC≌ΔBDG，
∴BC=DG，
又∵BC=BE，
∴BE=DG，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴ΔBFE≌△GFD，
∴EF=DF.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是
解题的关键.
【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，BC⊥AC，AC=m，则△ACD的面
积等于( )
1
A. 2m2 B. m2 C. m2
2
1
D.
m2
4
【答案】C
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵∠BAD=90°，BC⊥AC，
∴∠BAC+∠DAE=∠BAC+∠B=90°，
∴△DAE=∠B，
在△DAE与△ABC中，
{∠AED=∠ACB
∠DAE=∠B ，
AD=AB
∴△DAE≌△ABC(AAS)，
∴DE=AC，
1 1
∴S = AC⋅DE= m2，
△ACD 2 2
故选：C．
【变式7-2】如图，在△ABC和△≝¿中，AB=DE，BC=EF，∠B+∠E=180°.如果△ABC的面积
48cm2.那么△≝¿的面积为( )
A. 48cm❑ 2 B. 24cm❑ 2 C. 54cm❑ 2 D. 96cm❑ 2
【答案】A【详解】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
∵∠ABC+∠E=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠ABM=∠E，
在△ABM和△DEN中，
{∠AMB=∠DNE
∠ABM=∠DEN，
AB=DE
∴△ABM≌△DEN(AAS)，
∴AM=DN，
1 S
∵S = ⋅BC⋅AM， 1 ，
△ABC 2 △≝¿= 2 ⋅EF⋅DN¿
而BC=EF，
∴S ．
△≝¿=S =48cm2¿
△ABC
故选：A．
【变式7-3】如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，DE=AC，求证：
∠BAC=∠BED.
【答案】详见解析
【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建RtΔDFE与RtΔCGA，证其全等即可求得答案.【详解】如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥AB的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴ΔDBF≌ΔCBG，
∴DF=CG，.
又∵DE=AC，
∴RtΔDFE≌RtΔCGA，
∴∠BAC=∠BED.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题
的关键.
【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】
【例8】已知在等腰 ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接
DE，DE所在直线交△直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数
量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立
吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线
BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【答案】(1)DM=EM．理由见详解；
(2)成立，理由见详解；
1
(3)MD= ME．
2
【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明
DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
△（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明
DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
△ 1
（3）MD= ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到
2
DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；
△【详解】（1）解：DM=EM；
证明：过点E作EF//AB交BC于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在 DBM和 EFM中
{∠△BDM=∠△FEM
)
∠BMD=∠FME ，
BD=EF
∴△DBM≌△EFM，
∴DM=EM．
（2）解：成立；
证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．在 DBM和 EFM中
{∠△BDE=∠△FEM
)
∠BMD=∠FME
BD=EF
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；
（3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
1
∴MD= ME．
2
【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三
角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．
【变式8-1】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连
接DE交BC于点M．
求让：MD=ME【答案】见详解
【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而
证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF，
∵BD=CE，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴∆FMD≅∆CME，
∴MD=ME．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构
造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
【变式8-2】如图△ABC是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC，若AE=2，
那么BD=______【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．过点E作AC的
平行线，交BC的延长线于点F，证得△EBD≌△EFC后即可证得BD=CF，然后利用等边三角形的性质
可得AE=CF，即可求得BD的长．
【详解】
解：过点E作AC的平行线，交BC的延长线于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠F=60°，∠BAC=∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠ECF，
在△EBD和△EFC中，
B=∠F=60∘
{∠BDE=∠FCE,
DE=CE
∴△EBD≌△EFC(AAS)，
∴BD=CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴BE−BA=BF−BC，即AE=CF，∵AE=2，
∴BD=AE=CF=2，
故答案为2．
【变式8-3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，
点D在边CB的延长线上，且ED=EC．
(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；
(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)=
(2)AE=DB，证明见解析
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，由三线合一得到
1
AE=BE，∠BCE= ∠ACB=30°，由ED=EC，得∠D=∠BCE=30°，由外角的性质得到
2
∠BED=30°，得到∠D=∠BED，则BD=BE，证得AE=DB；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得到AE=EF=AF，再用AAS证明
△DEB≌△ECF，得到BD=EF=AE，进而证得猜想
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC．
∵E为AB的中点，
1
∴AE=BE，∠BCE= ∠ACB=30°，
2
∵ED=EC，
∴△CDE是等腰三角形，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D＋∠BED，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，∴BD=BE，
∴AE=DB．
故答案为：=
（2）解：AE=DB．理由如下：
过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC．
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴AE=EF=AF．
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°．
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD．
∴∠BED=∠ECF．
在△DEB和△ECF中，¿
∴△DEB≌△ECF(AAS)．
∴BD=EF=AE，即AE=BD．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质
等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键．
【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】
【例9】在四边形ABCD中，AB=1，CD=2，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，连接AE，DE，
AE⊥DE．
(1)∠AEB ______∠EDC；(填“>”“<”或“=”)
(2)AD= ______．【答案】(1)= (2) 3
【详解】解：(1)∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB=∠EDC；
故答案为：=；
(2)延长AE、DC交于点F，如图所示：
∵∠B+∠DCB=180°，
∴AB//DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠ECF，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，AB=CF=1，
∴DF=DC+CF=2+1=3，∵DE⊥AF，
∴∠AED=∠FED=90°，
∵DE=DE，
∴△AED≌△FED，
∴AD=DF=3．
故答案为：3．
【变式9-1】如图，∠AOB=∠EOF=90°，OA=OB，OE=OF，连结AE、BF，试着判断AE与BF的
关系，并证明你的结论．
【答案】解：AE⊥BF，AE=BF；
∵∠AOB=∠EOF=90°，∠AOE=90°−∠BOE，∠BOF=90°−∠BOE，
∴∠AOE=∠BOF
∴在Rt△OAB与Rt△OEF中，
{
AO=OB,
∠AOE=∠BOF,
OE=OF,
∴△AEO≌△BFO(SAS)，
∴AE=BF；
延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，∵△AEO≌△BFO
∴∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，
∴AE⊥BF．
【变式9-2】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC+∠ACD=180°，CD=4，则
BC的长为______．
【答案】8
【详解】解：延长AB、CD长于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
在△ADE和△ADC中，
{∠EAD=∠CAD
AD=AD ，
∠ADE=∠ADC∴△ADE≌△ADC，
∴DE=CD=4，AE=AC，
∴CE=8，∠E=∠ACD，
∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠E=∠ACD=∠CBE，
∴BC=CE=8，
故答案为：8．
【变式9-3】如图，已知AD//BC，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA．
(1)求：∠BEA度数．
(2)判断：AF、BG、AB之间关系，并证明．
【答案】解：(1)∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，
1 1
∴∠DAE=∠BAE= ∠BAD，∠ABE=∠CBE= ∠ABC，
2 2
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BEA=90°；
(2)AB=BG+AF，
理由如下：延长AE，交BC点H，在△ABE和△HBE中，
{∠ABE=∠HBE
BE=BE ，
∠AEB=∠HEB
∴△ABE≌△HBE(ASA)，
∴AE=EH，AB=BH，
∵AD//BC，
∴∠AFE=∠HGE，
在△AFE和△HGE中，
{∠AFE=∠HGE
∠AEF=∠HEG，
AE=EH
∴△AFE≌△HGE(AAS)，
∴AF=GH，
∴AB=BH=BG+GH=BG+AF．
【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】
【例10】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再
证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°，E，F分别是BC、CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
2
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC、CD延长线上的
1
点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间
2
的数量关系，并证明．
【答案】(1)EF=BE+FD；
(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立，证明见解析；
(3)结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE−FD；证明见解析．
【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，根据
全等三角形的性质即可求解；
（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．如图2中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证明
△ABM≌△ADF(SAS)和△AME≌△AFE(SAS)即可求证；
（3）结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE−FD．如图3中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接
AG，证明△ABG≌△ADF(SAS)和△AEG≌△AEF(SAS)即可求证；
本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构
造全等三角形解决问题．
【详解】（1）解：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，{
AB=AD
)
∠B=∠ADG ，
BE=DG
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF，
即∠GAF=∠BAE+∠DAF，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=120°−60°=60°，
∴∠GAF=60°，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AGF和△AEF中，
{
AF=AF
)
∠GAF=∠EAF ，
AG=AE
∴△AGF≌△AEF(SAS)，
∴FG=EF，
∵FG=DF+DG，
∴EF=BE+FD，
故答案为：EF=BE+FD；
（2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图2中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°， ∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，{AB=AD
)
∠1=∠D ，
BM=DF
∴△ABM≌△ADF(SAS)，
∴AF=AM，∠2=∠3，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
1
∴∠2+∠4= ∠BAD=∠EAF，
2
∴∠3+∠4=∠EAF，
即∠MAE=∠EAF，
在△AME与△AFE中，
{
AM=AF
)
∠MAE=∠EAF ，
AE=AE
∴△AME≌△AFE(SAS)，
∴EF=ME，
∵EF=BE+BM，
∴EF=BE+DF
（3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE−FD．
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°， ∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
在△ABG与△ADF中，{
AB=AD
)
∠ABG=∠ADF ，
BG=DF
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
1
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAE=∠EAF，
∴AE=AE，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴EG=EF，
∵EG=BE−BG，
∴EF=BE−FD．
【变式10-1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在
△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC，垂足为D，则BD，CD，AC之间的等量关系是 ．
【答案】CD+AC=BD
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先在BD上截
取DE=CD，连接AE，可证△ADE≌△ADC，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC、
∠AED=∠C，根据∠C=2∠B可证∠B=∠BAE，根据等角对等边可知BE=AE，所以可证
CD+AC=BD．
【详解】解：如下图所示，在BD上截取DE=CD，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=∠ADC=90°，{
AD=AD
)
在△ADE和△ADC中 ∠ADE=∠ADC ，
DE=DC
∴△ADE≌△ADC，
∴AE=AC，∠AED=∠C，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=2∠B，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE，
∴BD=BE+DE，
∴CD+AC=BD．
故答案为：CD+AC=BD ．
【变式10-2】如图，在 ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
△
【答案】见解析
【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平
分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过 FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得
ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结△论．
△【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
{
CF=CF′
)
在△FCE与△F′CE中， ∠F′CE=∠FCE ，
CE=CE
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
{
∠A=∠BF′E
)
在△ABE与△F′BE中， ∠ABE=∠F′BE ，
BE=BE
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关
键．
【变式10-3】如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠ABC的平分线相交于点E，连接CE并延长交
AP于点D，试说明：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【分析】在AB上截取AF=AD，连接EF，由AE平分∠PAB可得∠DAE=∠FAE，利用SAS可证得
△DAE≌△FAE，于是可得∠ADE=∠AFE，由两直线平行同旁内角互补可得∠ADE+∠C=180°，结合∠AFE+∠EFB=180°，进而可得∠EFB=∠C，由BE平分∠ABC可得∠EBF=∠EBC，利用
AAS可证得△BEF≌△BEC，于是可得BF=BC，然后利用等量代换即可得出结论．
【详解】证明：如图，在AB上截取AF=AD，连接EF，
∵AE ∠PAB
平分 ，
∴∠DAE=∠FAE，
又∵AE=AE，
∴△DAE≌△FAE(SAS)，
∴∠ADE=∠AFE，
∵AP∥BC，
∴∠ADE+∠C=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵BE=BE，
∴△BEF≌△BEC(AAS)，
∴BF=BC，
∴AD+BC=AF+BF=AB．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，线
段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
