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专题 13.4 三角形的外角（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 三角形的外角定义】..................................................................................................................................1
【题型2 由三角形的外角性质求角的度数】.........................................................................................................3
【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】.........................................................................................5
【题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】.............................................................................................9
【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】.......................................................................................12
【题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合】...............................................................................................16
【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】...........................................................................................21
【题型8 与三角形的外角性质有关的探究问题】...............................................................................................28
【题型9 三角形外角的实际应用】........................................................................................................................34
知识点 三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.三角形的外角和等于360°.
在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°.
【题型 1 三角形的外角定 义】
【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是△ACD的外角的是（ ）
A．∠B B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAE
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案．
【详解】解：图形中是△ACD的外角的是∠ACB．
故选：B．
【变式1-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，∠ADB是△ 和△ 的外角；以AC为一边长的三
角形有 个．
【答案】 ADC DFC 4
【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组
成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角
形的外角”是解题的关键．
【详解】解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；
以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；
故答案为：ADC；DFC；4．
【变式1-2】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可．
【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意；
故选D．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有
外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，
并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：__________________求证：__________________
证明：
【答案】三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；证明过程见解析
【分析】根据三角形的内角和，结合平角的定义，利用等量代换即可求证．
【详解】解：
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∠ACD+∠ACB=180°
∴∠ACD=∠A+∠B
【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质证明．掌握三角形的内角和及平角的定义是解题关键．
【题型2 由三角形的外角性质求角的度数】
【例2】如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为180°，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据三角形的外角性质和已知条件判断即可.
【详解】解：∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角与它不相邻的两个内角
的和为180°
∴2×此外角=180°
此外角=90°
故与此外角相邻的内角为：180°－90°=90°
故选：A．
【点睛】此题考查的是三角形外角的性质和直角三角形的判定，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角之和及直角三角形的定义是解决此题的关键.
【变式2-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，则外角
∠ACD的度数为 °．【答案】135
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解
题的关键．根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：∵∠A=75°，∠B=60°，∠ACD=∠A+∠B，
∴∠ACD=∠A+∠B=75°+60°=135°，
故答案为：135．
【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为1:3:5，则该三角形最大
的外角为（ ）
A．100° B．120° C．160° D．165°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可．
【详解】解：设三角形的内角为别为x，3x，5x，
x+3x+5x=180°，
解得x=20°，
∴3x=40°，6x=120°，
∴最小的内角为20°，
故这个三角形的最大的外角的度数是160°．
故选：C．
【变式2-3】（22-23八年级上·河北石家庄·期末）已知等腰三角形的一个外角是90°，则这个三角形是
（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形
【答案】C
【分析】根据外角求出它的内角，即可判断该三角形是什么三角形．
【详解】解：解：根据题意得：等腰三角形的一个外角是90°，
则该角相邻的内角为90°．
则该三角形一定是直角三角形．故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，理解三角形的外角与它相邻的内角互补是解
题关键．
【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】
【例3】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，∠1=80°，∠2=100°，且AC∥DF．若
∠C:∠A=3:2，求∠D的度数．
【答案】60°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出
∠C=60°，根据平行线的判定与性质证明出∠B=∠D=∠C=∠E，即可得解，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵∠A+∠C=∠2=100°，∠C:∠A=3:2，
∴∠C=60°，∠A=40°，
∵∠1=80°，∠2=100°，
∴∠1+∠2=180°，
∴BD∥CE，
∴∠B=∠C，∠D=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠B=∠D，
∴∠B=∠D=∠C=∠E，
∴∠D=∠C=60°．
【变式3-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知∠BCD=130°，EF∥DC，∠EAF=100°
，∠EFA=20°，求∠B的度数．【答案】∠B=30°
【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系
是解题的关键，
由三角形内角和定理以及已知条件可得∠E=60°，再根据平行线的性质可得∠ECD=∠E=60°，易得
∠ACB=70°，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】证明：∵∠EFA+∠EAF+∠E=180°，∠EAF=100°，∠EFA=20°，
∴∠E=180°−∠EFA−∠EAF=60°，
∵EF∥DC，
∴∠ECD=∠E=60°（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCD=130°，
∴∠ACB=∠BCD−∠ECD=70°，
∵∠EAF=∠B+∠ACB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠B=∠EAF−∠ACB=30°．
【变式3-2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF
交AB于点M，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC．则3∠EHG−∠EFM的
度数是 ．
【答案】180°/180度
【分析】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键．
证明AB∥CD，过点F作FP∥AB,HQ∥AB，则FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB=x,∠HGC= y
，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG,∠EFM，即可分析出答案．
【详解】解：∵∠FMA=∠FGC，
∴AB∥CD，
过点F作FP∥AB,HQ∥AB，∴FP∥AB∥HQ∥CD，
∴∠EHQ=∠AEH,∠GHQ=∠HGC,∠AMG+∠FGC=180°，
设∠NEB=x,∠HGC= y，则∠FEN=2x,∠FGH=2y，
∵∠AEH=∠NEB,∠FME=∠AMG，
∴∠EHG=∠EHQ+∠GHQ=∠AEH+∠HGC=∠NEB+∠HGC=x+ y，
∠EFM=∠BEF−∠FME=∠BEF−∠AMG
=∠BEF−(180°−∠FGC)
=x+2x−(180°−2y−y)=3x+3 y−180°，
∴3∠EHG−∠EFM=3(x+ y)−(3x+3 y−180°)=180°，
故答案为：180°．
【变式3-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图1，在三角形ABC中，
∠BAC=40°,∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连结AE．
(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)当AE垂直三角形ABC中的一边时，直接写出所有满足条件的∠E的度数．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)∠BAE=23°,∠EAC=17°
(3)当AE垂直三角形ABC中的一边时∠E的度数为50°或90°或25°
【分析】本题主要考查图形平移的性质，三角形内角和定理，外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分
析，分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质得到∠BAE=∠ADE+∠E=40°+65°=105°，则∠CAE=65°=∠C，即可求解；
（2）根据三角形的外加得到∠BDE=∠BAE+2∠BAE−29°，可求出∠BAE=23°，则
∠EAC=∠BAC−∠BAE，由此即可求解；
（3）根据直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质，分类计算即可．
【详解】（1）解：将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴AC∥DE，
∴∠BAC=∠ADE=40°，
∴∠BAE=∠ADE+∠E=40°+65°=105°，
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=105°−40°=65°=∠C，
∴AE∥BC；
（2）解：将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴AC∥DE，
∴∠BDE=∠BAC，∠E=∠CAE，
∵∠BDE=∠BAE+∠E，∠E=2∠BAE−29°，
∴∠BDE=∠BAE+2∠BAE−29°，
∴3∠BAE=∠BDE+29°=∠BAC+29°=40°+29°=69°，
∴∠BAE=23°，
∴∠EAC=∠BAC−∠BAE=40°−23°=17°；
（3）解：如图所示，AE⊥AB时，
∵AC∥DE，
∴∠BAC=∠ADE=40°，
∴当∠E=50°时，∠E+∠ADE=50°+40°=90°，即AE⊥AB；
如图所示，AE⊥AC时，∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴∠AC∥DE，
∴∠CAE=∠E=90°；
如图所示，AE⊥BC时，垂足为点G，
∵在三角形ABC中，∠BAC=40°,∠C=65°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠C=180°−40°−65°=75°，
∴∠BAG=90°−∠ABC=90°−75°=15°，
∵∠FDE=∠BAC=40°=∠BAG+∠E，
∴∠E=40°−15°=25°；
综上所述，当AE垂直三角形ABC中的一边时∠E的度数为50°或90°或25°．
【题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】
【例4】（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片ABC按如图方式折叠：折痕分别为DC
和DE，点A与BC边上的点G重合，点B与DG延长线上的点F重合．若满足∠ACB=38°，则∠CEF=
°．
【答案】38
【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出1
∠CDE=90°,∠DCE= ACB，三角形的内角和与外角的性质，分别求出∠BED,∠CED，进而求出
2
∠CEF的度数即可．
【详解】解：∵折叠，
1 1 1
∴∠DCE= ∠ACB=19°，∠CDG= ∠ADG,∠EDG= ∠BDG，∠BED=∠FED，
2 2 2
1
∴∠CDG+∠EDG= (∠ADG+∠BDG)=90°，即：∠EDC=90°，
2
∴∠CED=180°−∠CDE−∠DCE=71°，∠BED=∠EDC+∠DCE=109°，
∴∠≝=∠BED=109°，
∴∠CEF=∠≝−∠CED=38°；
故答案为：38．
【变式4-1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成
一个四边形，点A与点B重合．点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=（ ）度．
A．60° B．70° C．45° D．72°
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间
的关系式正确解答本题的关键．把图展开后，可知AD=BD=BC，∠A=∠ABD,∠BCD=∠BDC，可
由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得∠B的度数．
【详解】解：如图：
AD=BD=BC,∠A=∠ABD,∠BCD=∠BDC
由题意知： ，
∵∠C=∠BDC=2∠A,∠A+2∠C=180°，∴5∠A=180°，即∠A=36°，
1
∴∠ABC=∠C= (180°−∠A)=72°．
2
故选：D．
【变式4-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，∠B=44°，点D，E分别是BA、BC
边上的点，将△BDE沿DE所在直线对折，得到△FDE．若∠ADF=136°，则∠CEF的度数为（ ）
A．46° B．48° C．50° D．52°
【答案】B
【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解
题的关键．
先由题意易得∠BDF=44°，由对折的性质可得∠F=∠B=44°，∠BDE=∠FDE=22°，再由三角形
的外角的定义可得∠DEC=66°，最后由三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵∠ADF=136°，
∴∠BDF=180°−∠ADF=44°，
∵∠B=44°，△BDE沿DE所在直线对折得到△FDE，
1
∴∠F=∠B=44°，∠BDE=∠FDE= ∠BDF=22°，
2
∴∠DEC=∠B+∠BDE=66°，
∴∠CEF=180°−∠F−∠FDE−∠DEC=180°−44°−22°−66°=48°，
故选：B．
【变式4-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将△ABC沿AC折叠得到△ADC，再将△ADC沿
AD折叠得到△ADE，连接BE，交AC，AD于点M，N，连接CN，DM，CN与DM相交于点F，若
∠BAC=α，则∠CFD的度数为（ ）3α 3α
A．90°+ B．90°+2α C．180°−2α D．180°−
2 2
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角定理，三角形的外角性质，由折叠得
∠BAC=∠CAD=∠EAD=α，得出∠1+∠2=180°−3α，利用外角性质求出结论．
【详解】解：由折叠的性质得∠BAC=∠CAD=∠EAD=α，
∴∠1+∠2=180°−3α，
由折叠的性质得∠2=∠6，∠3=∠4，
∵∠4=∠3=∠1+α，
∴∠CFD=∠4+∠6
=∠1+α+∠2
=180°−3α+α
=180°−2α，
故答案为：C．
【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】
【例5】（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方
式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠≝=60°．当
AD∥BC时，∠ADE的大小为（ ）A．5° B．15° C．25° D．35°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到∠DAE=∠BCA=45°，
再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=90°,∠B=45°，
∴∠ACB=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ACB=45°，
∵∠≝=∠DAE+∠ADE=60°，
∴∠ADE=15°；
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成
如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】本题考查了与三角板有关的计算以及三角形外角性质，先根据∠C=90°，∠B=45°，得出
∠BAC=45°，结合∠BAC是△AEF的外角，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵∠C=90°，∠B=45°，
∴∠BAC=45°，
∵∠E=30°，
∴∠BFD=∠AFE=∠BAC−∠E=45°−30°=15°，故选：A．
【变式5-2】（22-23七年级下·江苏南京·期末）将一副直角三角板如图放置，已知∠C=60°，∠F=45°
，当DF⊥BC时，∠EGB= ．
【答案】75°
【分析】根据三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质计算即可.
【详解】如图：
∵∠C=60° ∠F=45°
， ，
∴∠B=30°，∠E=45°，
∵DF⊥BC
∴∠DHB=90°
∵∠EDH=90°
∴∠DHB+∠EDH=180°
∴DE∥BC，
∴∠E=∠GMB=45°
∴∠EGB=∠GMB+∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质掌握相应的定理和性质
是解答此题的关键.
【变式5-3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，直角顶点A重合，其中
∠B=∠C=45°，∠E=60°，∠D=30°，则下列结论正确的有（ ）
① ∠BAE+∠CAD=180°；②如果BC∥AD，则有∠2=30°；③如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C；④如果∠2=30°，则DE∥AC．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的和差运算，三角形的外角的性质，熟记平行线的判定定理
与性质定理是解题的关键．如图，点M在DA的延长线上，证明∠2=∠CAM，进一步可得①正确；证明
∠3=60°≠∠B，可得故②错误；证明∠3=∠B=45°，可得③正确；求解∠BAE=30°，可得
∠BOE=∠BAE+∠E=90°，求解∠4=45°，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：如图，点M在DA的延长线上，
∵∠DAE=90°
，
∴∠EAM=∠1+∠CAM=180°−∠DAE=90°，
又∵∠CAB=∠2+∠1=90°，
∴∠2=∠CAM，
又∵∠CAD+∠CAM=180°，
∴∠2+∠CAD=180°，
即∠BAE+∠CAD=180°，
故①正确，符合题意；
∵BC∥AD，
∴∠3=∠B=45°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=45°，
故②错误，不符合题意；
∵∠CAD=150°，∠CAM+∠CAD=180°，∠BAE=∠CAM，
∴∠BAE=30°，∵∠E=60°，
∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，
∴∠4+∠B=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∵∠C=45°，
∴∠4=∠C，
故③正确，符合题意．
∵∠2=30°，∠BAC=90°，∠E=60°，
∴∠1=60°，
∴∠1=∠E=60°，
∴AC∥DE；
故④正确，符合题意；
故选：A．
【题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合】
【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM，ON上移动，
BC平分∠OBA，交OM于点E，AD平分∠BAM，AD的反向延长线与BC交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，
下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若∠BAD=65°，则∠ABC=20°；
结论Ⅱ：无论点A、B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质的应用等知识，熟练掌握以上知识并会利用数形结
合的思想是解题关键．根据题意可求出∠MAB=130°，再根据角平分线的定义和三角形外角性质即可求1
出∠ABC= ∠ABO=20°；根据角平分线的定义和三角形外角性质求解∠C的度数即可；
2
【详解】解：∵∠BAD=65°，AD为∠BAM 的平分线，
∴∠MAB=2∠BAD=130°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠MAB−∠AOB=130°−90°=40°
∵BC为∠ABO 的平分线，
1
∴∠ABC= ∠ABO=20°,
2
故结论Ⅰ正确；
∵∠MAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，
又∵AD 为∠MAB 的平分线，
1 1
∴ ∠DAB= ∠MAB=45°+ ∠ABO，
2 2
∵BC为∠ABO 的平分线，
1
∴ ∠ABC= ∠ABO，
2
1 1
∴ ∠C=∠DAB−∠ABC=45°+ ∠ABO− ∠ABO=45°，
2 2
故结论Ⅱ正确；
故选：C．
【变式6-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A=72°
，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC=115°，则∠ABC的度数为 ．
【答案】58°/58度
【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，三角形内角和定理与三角形外角的性质，由三角形外角
的性质，得到∠DCE=25°，进而得到∠BCD=50°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°，∵∠BEC=115°，
∴∠DCE=∠BEC−∠CDE=25°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCD=2∠DCE=×25°=50°，
∵∠A=72°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−72°−50°=58°，
故答案为：58°．
【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与
点O重合）．射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．
(1)若∠AOB=90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运
动发生变化？请说明理由．
1 1
(2)若∠AOB=α°(0<α<180)，∠ECD= ∠ACD，∠CDF= ∠CDO，则∠F= °．（用含α、
n n
n的代数式表示）
【答案】(1)∠F的度数不变，∠F=45°
α
(2)
n
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．
（1）依据∠ACD是△OCD的外角，即可得到∠ACD−∠CDO=∠AOB，再根据CE、DF分别是
1 1
∠ACD和∠CDO的平分线，可得∠ECD= ∠ACD，∠CDF= ∠CDO，再根据∠ECD是△CDF
2 2
的外角，即可得到∠F=∠ECD−∠CDF，进而得到∠F的度数不变；
（2）利用（1）中的方法进行计算即可得到∠F的度数．
【详解】（1）解：∠F的度数不变．∵∠ACD是△OCD的外角，
∴∠ACD−∠CDO=∠AOB，
∵CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，
1 1
∴∠ECD= ∠ACD，∠CDF= ∠CDO，
2 2
∵∠ECD是△CDF的外角，
∴∠F=∠ECD−∠CDF
1 1
= ∠ACD− ∠CDO
2 2
1
= (∠ACD−∠CDO)
2
1
= ∠AOB
2
=45°，
∴∠F的度数不变．
（2）如图，∵∠ACD是△OCD的外角，
∴∠ACD−∠CDO=∠AOB，
1 1
∵∠ECD= ∠ACD，∠CDF= ∠CDO，且∠ECD是△CDF的外角，
n n
∴∠F=∠ECD−∠CDF
1 1
= ∠ACD− ∠CDO
n n
1
= (∠ACD−∠CDO)
n
1
= ∠AOB
n
α°
= ；
n
α
故答案为： ．
n
【变式6-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，AD∥BC，∠D=∠ABC，E是边DC上的一点，
连接AE并延长，交BC的延长线于点H，F是边AB上的一点，BE平分∠FEC，作∠FEH的平分线EG
，交BH于点G．若∠BAE=68°，则∠BEG的度数为 ．【答案】34°/34度
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，涉及三角形内角和定理、三角形外角定理．
根据AD∥BC以及∠D=∠ABC，可得∠BAD+∠D=180°，从而得到AB∥CD，再结合BE平分
∠FEC，可得∠ABE=∠BEF，设∠ABE=∠BEF=α，根据三角形外角的性质可得
∠AFE=∠ABF+∠BEF=2α，设∠GEH=∠GEF=β，可得∠AEF=180°−∠FEH=180°−2β，
在△AEF中， 根据三角形内角和定理可得β−α=34°，即可求解．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠D=∠ABC，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABE，
∵BE平分∠FEC，
∴∠BEC=∠BEF，
∴∠ABE=∠BEF，
设∠ABE=∠BEF=α，
∴∠AFE=∠ABF+∠BEF=2α，
∵EG是∠FEH的平分线，
∴可设∠GEH=∠GEF=β，
∴∠AEF=180°−∠FEH=180°−2β，
在△AEF中， ∠BAE+∠AFE+∠AEF=180°，∠BAE=68°，
∴68°+2α+180°−2β=180°，
∴β−α=34°，
∴∠BEG=∠FEG−∠BEF=β−α=34°．
故答案为：34°．
【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】
【例7】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为30°，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如∠1=70°，∠2=40°，∠1−∠2=30°，则
∠1和∠2互为“好友角”，即∠1是∠2的“好友角”，∠2也是∠1的“好友角”．
【理解】（1）若∠A=45°，则∠A的“好友角”的度数为 ；
（2）已知∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，∠1的度数为 ；
（3）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A′处，已知∠B=58°，∠C=82°
，若∠A′EB和∠A′DC互为“好友角”，则∠A′EB的度数为 ；
【拓展】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，过点C作AB的垂线，垂足为D，
AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“好友角”，求∠ABC的度数．
【答案】【理解】（1）75°或15°；（2）105°；（3）∠A'EB=55°或∠A'EB=25°；
【拓展】∠ABC=50°或∠ABC=10°．
【分析】【理解】（1）根据“好友角”定义，分情况讨论即可；
（2）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可；
（3）连接A A′，由三角形内角和得出∠BAC=40°，由折叠性质可知∠EA'D=∠BAC=40°，然后根
据外角性质得出∠A'EB+∠A'DC=80°，由题意分情况讨论即可；
【拓展】由AE平分∠CAB，CD⊥AB，得∠CAE=∠BAE，∠CDB=90°，从而可得
2∠CEF+∠FCE=180°，再根据∠FCE与∠CEF互为“好友角”进行分类讨论即可；
本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】【理解】（1）根据“好友角”定义可得：
∠A的“好友角”的度数为45°+30°=75°或45°−30°=15°，
故答案为：75°或15°；
（2）∵∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2，
∴∠1−∠2=30°，
∵∠1和∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，{∠1−∠2=30°)
联立 ，
∠1+∠2=180°
解得∠1=105°，
故答案为：105°；
（3）如图，连接A A′，
∵∠B=58°，∠C=82°，
∴∠BAC=40°，
∴由折叠性质可知∠EA'D=∠BAC=40°，
∵∠A′EB=∠EA′ A+∠EA A′，∠A′DC=∠DA′ A+∠DA A′，
∴∠A'EB+∠A'DC=∠EA' A+∠EA A'+∠DA' A+∠DA A'=∠EA'D+∠BAC=80°，
即∠A'EB+∠A'DC=80°，
∵∠A′EB和∠A′DC互为“好友角”，
∴∠A'EB−∠A'DC=30°或∠A'DC−∠A'EB=30°，
∴∠A'EB=55°或∠A'EB=25°；
【拓展】∵AE平分∠CAB，CD⊥AB，
∴∠CAE=∠BAE，∠CDB=90°，
∵∠CEF=∠B+∠BAE，∠FCE=90°−∠B，
∴2∠CEF+∠FCE=∠B+∠BAC+90°=180°，
∵∠FCE与∠CEF互为“好友角”，
∴∠CEF−∠FCE=30°或∠FCE−∠CEF=30°，
则∠FCE=40°或∠FCE=80°，
∵∠FCE+∠ABC=90°，
∴∠ABC=50°或∠ABC=10°．
【变式7-1】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外
角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．(1)如图①，在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为_______；
(2)小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为
直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论．
根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格：
② ③ ④
∠C的度数 90° 80° 120°
∠C的伴随角∠APB的度数 45° 40° 60°
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想_______；
(3)请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想．
【答案】(1)45°
(2)∠C=2∠APB
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义：
（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC=30°，再由平角的定义和角平分线的定义得到
1
∠CBP=∠DBE=75°，则∠ABP=105°，再由角平分线的定义得到∠BAP= ∠BAC=30°，据此根
2
据三角形内角和定理可得答案；
（2）根据表格中的数据即可得到答案；
（3）当∠C是锐角时，先证明∠ABD=∠BAC+∠C，再由角平分线的定义和平角的定义得到
1 1 1 1
∠CBP=∠DBE= ∠BAC+ ∠C，则∠ABP=180°− ∠BAC− ∠C，再由角平分线的定义得到
2 2 2 2
1
∠BAP= ∠BAC，据此根据三角形内角和定理可证明结论；当∠C是钝角时，同理可证明结论．
2
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°∴∠ABC=180°−∠C−∠BAC=30°，
∴∠ABD=180°−∠ABC=150°，
∵BE平分∠ABD，
1
∴∠CBP=∠DBE= ∠ABD=75°，
2
∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=105°，
∵AP平分∠BAC，
1
∴∠BAP= ∠BAC=30°，
2
∴∠APB=180°−∠ABP−∠BAP=45°；
（2）解：根据表格可猜想∠C=2∠APB
（3）解：如图③所示，当∠C是锐角时，
∵∠ABC=180°−∠BAC−∠C，∠ABD=180°−∠ABC，
∴∠ABD=∠BAC+∠C，
∵BE平分∠ABD，
1 1 1
∴∠CBP=∠DBE= ∠ABD= ∠BAC+ ∠C，
2 2 2
1 1
∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=180°− ∠BAC− ∠C，
2 2
∵AP平分∠BAC，
1
∴∠BAP= ∠BAC，
2
1 1 1 1
∴∠APB=180°−∠ABP−∠BAP=180°−180°+ ∠BAC+ ∠C− ∠BAC= ∠C，
2 2 2 2
∴∠C=2∠APB；如图④所示，当∠C是钝角时，同理可得∠C=2∠APB．
【变式7-2】我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为
“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交
线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使
∠EFC+∠BDC=180°，∠≝=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
【答案】（1）30°，不是；（2）见解析；（3）∠B=30°或∠B=80°．
【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB=90°，求得∠ABO=90°−∠MON=30°，得到
∠OAB=3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；
（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB=∠O+∠OAC，求出∠OAC=24°，∠ACO=96°，所以∠ACO=4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；
（3）由∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，得到∠EFC=∠ADC，可以证明
AD∥EF，得到∠≝=∠ADE，而∠≝=∠B，得到∠B=∠ADE，由DE∥BC，得到
∠CDE=∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解；
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的补角相等，平行线的性质，理解和谐三
角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90°，
∴∠ABO=90°−∠MON=30°，
∴∠OAB=3∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：30°， 不是；
（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB=∠O+∠OAC，
又∵∠O=60°，∠ACB=84°，
∴∠OAC=24°，∠ACO=180°−84°=96°，
∴∠ACO=4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
（3）∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠≝=∠ADE，
∵∠≝=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠B=∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
∴∠B=30°或∠B=80°．
【变式7-3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角
的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°,60°,20°的三角形是
“优美三角形”．
【概念理解】
（1）如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线
AD，交线段OB于点C（点C不与点O,B重合）．
①△AOB______“优美三角形”（填“是”或“不是”）．
②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三角形”．
【应用拓展】
（2）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC>90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，
在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠≝=∠B．若△BCD是“优美三角形”，求∠B的度
数．
【答案】（1）①是；②见解析；（2）∠B=36°
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，
解题的关键是理解题意．
（1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“优美三角形”的概念判断；
②根据“优美三角形”的概念证明即可；
（2）根据比较的性质得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠≝=∠ADE，推出DE∥BC，得
到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“优美三角
形”的定义求解即可．
【详解】（1）①解：∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90°，∴∠ABO=180°−90°−∠MON=90°−60°=30°，
∵∠OAB=3∠ABO，
∴△AOB为“优美三角形”，
故答案为：是；
②证明：∵∠AOC=60°，∠ACB=80°，
∴∠OAC=∠ACB−∠MON=20°，
∴∠AOC=3∠OAC，
∴△AOC为“优美三角形”；
（2）解：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠≝=∠ADE，
∵∠≝=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠B=∠BCD，
∵△BCD是“优美三角形”，∠BDC>90°
∴∠BDC=3∠B，
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
∴∠B=36°．
【题型8 与三角形的外角性质有关的探究问题】
【例8】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我
们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A=36°，直接写出∠ABX＋∠ACX的结果；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A=40°，∠DBE=130°，求∠DCE 的度数；
③如图4，求图中五角星五个“角”的和．
【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，见解析
(2)①54°；②85°；③180°
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关
键．
（1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）①先根据三角尺可知：∠BXC=90°，根据（1）的结论可得：
∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°，从而得结论；
②先根据第1题的结论可得：∠ADB+∠AEB的度数，由角平分线可得：
1
∠ADC+∠AEC= (∠ADB+∠AEB)=45°，从而得结论；
2
③由（1）中“规形图”结论可知：∠CFD=∠A+∠C+∠D，结合三角形的内角和即可得解
【详解】（1）∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由如下：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,
∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
（2）①∵∠BXC=90°，
由（1）可知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠BXC=90°
∵∠A=36°
∴∠ABX+∠ACX=90°−36°=54°
②∵∠DAE=40°,∠DBE=130°∴∠ADB+∠AEB=∠DBE−∠A=130°−40°=90°
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
1 1
∴∠ADC= ∠ADB,∠AEC= ∠AEB,
2 2
1
∴∠ADC+∠AEC= (∠ADB+∠AEB)=45°
2
∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°
③如图：由（1）中“规形图”结论可知：∠CFD=∠A+∠C+∠D，
又∵∠CFD=∠BFE
∴∠B+∠E+(∠A+∠C+∠D)=∠B+∠E+∠BFE=180°
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
【变式8-1】（23-24七年级下·吉林长春·期中）【感知】（1）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE
是角平分线，CD是高，AE,CD相交于点F．若∠B=40°，则∠CFE= °，∠CEF= °．
【探究】（2）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE,CD相交于点F．
求证：∠CFE=∠CEF．
【拓展】（3）如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平
分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B=α，则∠CEF的大小为
（用含α的代数式表示）．
1
【答案】（1）65°，65°；（2）见解析；（3）45°− α
21
【分析】（1）先求得∠CAB=50°，∠ACD=40°， ∠CAF=∠DAF= ∠CAB=25°，再结合三角
2
形的外角的性质可得结论；
（2）先证明∠B=∠ACD，∠CAF=∠DAF，再结合三角形的外角的性质可得结论；
1
（3）先求解∠GAB=90°+α，结合角平分线可得∠GAF=∠DAF=45°+ α，再利用三角形的内角和
2
定理可得答案．
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是高，∠B=40°，
∴∠CAB=90°−40°=50°，∠ACD=90°−50°=40°，
∵AE是角平分线，
1
∴∠CAF=∠DAF= ∠CAB=25°，
2
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD=65°，∠CEF=∠DAF+∠B=65°，
故答案为：65，65；
（2）证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
（3）∵∠ACB=90°，
∴∠GAB=∠B+∠ACB=90°+α，
∵AF为∠BAG的角平分线，
1 1
∴∠GAF=∠DAF= (90°+α)=45°+ α，
2 2
1
∴∠CAE=∠GAF=45°+ α，
2
1 1
∴∠CEF=90°−∠CAE=90°−45°− α=45°− α，
2 2
1
故答案为：45°− α．
2
【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键．
【变式8-2】（22-23八年级上·江西南昌·期末）在△ABC中，∠A=60°，点D、E分别是△ABC边AC、
AB上的点，点P是一动点，设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
(1)如图1，若点P在线段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；
(2)若点P在线段BC延长线上，请借助图2和图3，分别探究∠1、∠2与∠α之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)60°+α
(2)由图2可得∠2=∠α+∠1+60°，由图3可得∠2=∠1−∠α+60°，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质：
（1）根据三角形的外角的性质得出∠DPB=∠1+∠C，∠EPC=∠2+∠B，两式相加，即可求解．
（2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解．
【详解】（1）解：根据图1可得：∠DPB=∠1+∠C，∠EPC=∠2+∠B，
∴∠DPB+∠EPC=∠1+∠2+∠C+∠B，
∵∠DPE=∠α，
∴∠α+180°=∠1+∠2+(180°−∠A)，∠A=60°，
即∠1+∠2=60°+α；
（2）解：由图2得∠2=∠α+∠1+60°，由图3得∠2=∠1−∠α+60°，理由如下：
如图2，设AC,EP交于点F，
∵∠AFE=∠1+∠α，∠2=∠A+∠AFE，
∴∠2=60°+∠1+∠α；
如图3，设AC,EP交于点F，
∵∠AFE=∠1−∠α，∠2=∠A+∠AFE，
∴∠2=60°+∠1−∠α；【变式8-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）【探究】如图①所示，∠AFH和∠CHF的平分线交于
点 O，EG经过点O 且平行于FH，分别与AB、CD交于点 E、G．
(1)若∠AFH=60°，∠CHF=50°，则∠EOF= °，∠FOH= °；
(2)若∠AFH+∠CHF=100°，求∠FOH的度数．
(3)如图②所示，∠AFH和∠CHI的平分线交于点 O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD 交于
点 E、G．若∠AFH+∠CHF=α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）
【答案】(1)30，125
(2)130°
1
(3)90°− α
2
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
1 1
（1）由角平分线的定义可得∠AFO=∠HFO= ∠AFH=30°，∠CHO=∠FHO= ∠CHF=25°，
2 2
再由三角形内角和定理和平行线的性质计算即可得解；
1 1
（2）由角平分线的定义可得∠HFO= ∠AFH，∠FHO= ∠CHF，再由三角形内角和定理计算即可
2 2
得解；
1 1
（3）由角平分线的定义可得∠HFO= ∠AFH，∠IHO= ∠CHI，结合题意可得
2 2∠CHI−∠AFH=180°−α，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解．
【详解】（1）解：∵∠AFH和∠CHF的平分线交于点 O，
1 1
∴∠AFO=∠HFO= ∠AFH=30°，∠CHO=∠FHO= ∠CHF=25°，
2 2
∴∠FOH=180°−∠OFH−∠OHF=125°，
∵EG∥FH，
∴∠EOF=∠OFH=30°；
（2）解：∵∠AFH和∠CHF的平分线交于点 O，
1 1
∴∠HFO= ∠AFH，∠FHO= ∠CHF，
2 2
∵∠AFH+∠CHF=α
(1 1 ) 1
∠FOH=180°−∠OFH−∠OHF=180°−(∠OFH+∠OHF)=180°− ∠AFH+ ∠CHF =180°− (∠AFH+∠CHF)=130°
2 2 2
；
（3）解：∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点 O，
1 1
∴∠HFO= ∠AFH，∠IHO= ∠CHI，
2 2
∵∠AFH+∠CHF=α①，∠CHI+∠CHF=180°②，
∴由②−①可得：∠CHI−∠AFH=180°−α，
1 1 1 1 1
∴∠FOH=∠OHI−∠HFO= ∠CHI− ∠AFH= (∠CHI−∠AFH)= (180°−α)=90°− α
2 2 2 2 2
．
【题型9 三角形外角的实际应用】
【例9】（24-25七年级下·山西运城·期中）如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图
由救援台AB、延展臂BC（B在C左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成．在作业过程中，救援台AB、
车身GH及地面MN三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂BC与支撑臂EF所
在直线互相垂直，且∠EFH=76°，则这时展角∠ABC的度数为 °．【答案】166
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长BC
，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得
∠Q=∠EFH=76°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．
【详解】解：延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，如图：
∵AB FH ∠EFH=76°
平行 ， ，
∴∠Q=∠EFH=76°，
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，
∴∠BPQ=90°，
∴∠ABC=∠BPQ+∠Q=90°+76°=166°．
故答案为：166．
【变式9-1】（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新
极大方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，他们从家A处出发，向正北行驶160km
3
到达B处，若在A处测得景区C在北偏西34°方向上，且∠ACB= ∠BAC，则在B处测得景区C应位于
2
（ ）
A．北偏西68° B．南偏西85° C．北偏西85° D．南偏西68°
【答案】C【分析】依题意，∠DAC=34°，根据三角形的外角的性质以及已知条件得出∠DBC，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，∠DAC=34°
3 3 5 5
∵∠ACB= ∠BAC，∠DBC=∠BAC+∠ACB=∠DAC+ ∠DAC= ∠DAC=34°× =85°
2 2 2 2
即在B处测得景区C应位于北偏西85°
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角的计算，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
【变式9-2】（2025九年级下·广东·学业考试）汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于
焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知∠1=20°，∠3=56°，则∠2的度数为
（ ）
A．20° B．26° C．36° D．56°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得∠≝=∠3=56°，然后利用三
角形的外角性质即可得解．
【详解】解：由题意可得AB∥CD，如图，∴∠≝=∠3=56°，
∵∠1=20°，
∴∠2=∠≝−∠1=36°，
故选：C．
【变式9-3】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的
夹角∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点
B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD=2∠ABD，∠BDC增大了5°，则∠DCE的变化情况
为 （ ）
A．增大10° B．减小10° C．增大25° D．减小25°
【答案】C
【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设∠BDC=x，根据题意可
1
得∠CBD=∠ABD= ∠ABC=60°，则∠DCE=60°+x，物体被吊起后，可得
2
∠CBD=2∠ABD=80°，∠BDC增大了5°，由∠DCE=∠CBD+∠BDC即可解答．
【详解】解：起吊物体前，设∠BDC=x，
∵ ∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线，
1
∴ ∠CBD=∠ABD= ∠ABC=60°，
2
∴ ∠DCE=∠CBD+∠BDC=60°+x；
物体被吊起后，∵机械臂AB的位置不变，∠CBD=2∠ABD，∠CBD+∠ABD=120°，
∴ ∠CBD=2∠ABD=80°，
∵ ∠BDC增大了5°，
∴ ∠BDC=x+5°，
∴ ∠DCE=∠CBD+∠BDC=80°+x+5°=85°+x，
∴ (85°+x)−(60°+x)=25°，
∴ ∠DCE的变化情况为增大25°．
故选：C．
