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专题11.4 与三角形有关的线段（三角形的边）（分层练习）（培优
练）
一、单选题
1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 为公共边的“共边三
角形”有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
3．如图所示的图形中，以BC为边的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一个三角形的三个内角度数之比为7:7:14，这个三角形不是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
5．已知，关于x的不等式组 至少有三个整数解，且存在以 为边的三角形，则a的整数
解有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．一个三角形的3边长分别是 、 ， ，它的周长不超过39cm．则x的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．7．如图是一个三棱柱和它的侧面展开图，其中线段AB、EF、HI、DC分别表示这个三棱柱的侧棱，
若AD＝16，HD＝4，则AE的长度可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．三角形的两边长分别是4和11，第三边长为 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
9．用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3
倍，则最小边用了（ ）
A．20根火柴 B．19根火柴 C．18或19根火柴 D．20或19根火柴
10．平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是
（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
二、填空题
11．如果一个三角形的三边长度之比是2：3：4，周长为36cm，则最大的边长为___________．
12．如图，图中共有_____个三角形，∠B是_________________的内角．13．一个等腰三角形的周长是21，其中两边之差为6，则腰长为_____．
14．长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同
的三角形共有________个
15．如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角
形的概率是_______．
16．三角形的两边长分别是2、7，若第三边长为奇数，则此三角形第三边的长是______．
17．已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式 ，若 的周长为偶数，
则 的周长为__________．
18．边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则
DF的值为__________.
三、解答题
19．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC
的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
20．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数之比为1:2:3.
21．三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于 ，求三边的长．22．若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程 ，若这个三角形的周长
为整数，求这个三角形的周长．
23．如图1，点 是 内部一点，连接 ，并延长交 于点 ．
(1)试探究 与 的大小关系；
(2)试探究 与 的大小关系；
(3)如图2，点 ， 是 内部两点，试探究 与 的大小关系．
24．如图，已知平面内有A， ， 三点，其中 ， ，当线段 绕点 转动（不与 共
线）时，A， 两点间的距离 的取值范围恰好包含了关于 的不等式组 的所有整
数解，试确定 的取值范围．参考答案
1．C
【分析】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可．
解：∵三角形的外角中有一个角是锐角，
∴与这个外角相邻的内角是钝角，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键．
2．B
解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
故选：B．
3．D
【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角
形）找出图中的三角形．
解：以BC为边的三角形有 BCE， BAC， DBC， BFC，
故选D． △ △ △ △
【点拨】本题考查了三角形的定义，解题关键是注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个
数”，而不是找“图中三角形的个数”．
4．A
【分析】一个三角形的内角和180°，把180°按照7：7：14进行分配，先求出三个内角度数的总份数，
再分别求得这三个角占总度数的几分之几，根据分数乘法的意义求出各个角的度数，再根据度数进行判断
这个三角形的形状．
解：总份数：7+7+14=28（份），180 =45（度），
180 =45（度），
180 =90（度），
最大的角是90度，是直角，所以这个三角形是直角三角形；又因为两个锐角相等，所以这个三角形又
是等腰三角形，因此这个三角形就是等腰直角三角形，不是锐角三角形．
故选：A．
【点拨】本题属于比的应用按比例分配，关键是先弄清要分配的总量是多少，再看此总量是按照什么
比例进行分配的，再进一步按照比例分配的方法求出每一个量；由此求出每个角的度数，进而判断三角形
的形状．
5．B
【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可
得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个．
解：
解不等式①，可得x＜2a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴a＞ ，
又∵存在以3，a，5为边的三角形，
∴2＜a＜8，
∴a的取值范围是3＜a＜8，
∴a的整数解有4、5、6、7共4个，
故选：B．
【点拨】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵
循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．A
【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．解：根据题意，可得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键．
7．C
【分析】根据图形先求出AE与EH的和，然后设AE＝x，表示出EH＝12﹣x，然后利用三角形的任意
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组，求解得到AB的取值范围，即可得解．
解：由图可知，AD＝AE+EH+HD，
∵AD＝16，HD＝4，
∴AE+EH＝12，
设AE＝x，则EH＝12﹣x，
所以 ，
解不等式①得x＞4，
解不等式②得，x＜8，
所以，不等式组的解集是4＜x＜8，
∴AE长度的取值范围是4＜x＜8，
∴AE的长度可能是6．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的存在性，认知三棱柱的展开图，运用三角形存在性确定AE的长度范围
是解题的关键．
8．A
【分析】已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进行判断即可．
解：根据三角形的三边关系，得
11-4＜3+4m＜11+4，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点拨】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解
不等式即可．
9．C
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
解：设三边为a（最小边），3a（最大边），b 则a＜b＜3a，
又∵2a＜b＜4a （三角形三边关系），
∴2a＜b＜3a，
又4a+b=120，则b=120-4a
∴2a＜120-4a＜3a，
则6a＜120＜7a，即 ＜a＜20，
∴a取值可为18或者19；
故选：C．
【点拨】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力及一元一次不等式组的解法．根据三
边关系列出不等式组关键．
10．B
【分析】如图，设这个凸四边形为 ，连接 ，并设 ，先在 中，根据三角形的三
边关系定理可得 ，再在 中，根据三角形的三边关系定理可得 ，即
从而可得 ，据此即可解答．
解：如图，如图，设这个凸四边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，在 中， ，即 ，
所以
观察四个选项可知，只有选项B符合．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线、构造两个三角形是解题关键．
11．16cm．
【分析】根据比例设三角形的三边分别为2k、3k、4k，然后根据周长为36列出方程求解即可．
解：设三角形的三边分别为2k、3k、4k，
根据题意得，2k+3k+4k=36，
解得k=4，
所以，最大的边长为4×4=16cm．
故答案为16cm．
【点拨】本题考查了三角形，利用“设k法”表示出三边求解更简便．
12． 3; △ABC或△ABD.
【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然后再计算个数．
由三角形内角的定义进行填空．
解：图中的三角形有： ABC、 ACD、 ABD共3个．
∠B是 ABC和 ABD的内△角． △ △
故答案△是：3，△ ABC和 ABD.
【点拨】本题考△查了三角△形．填第一个空的难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可
做到不重不漏．
13．9
【分析】分底小于腰和底大于腰两种情况分别计算三角形的三边，再根据三边关系进行取舍即可．
解：（1）设底为x，则腰为（x+6），由题意得：
x+2（x+6）＝21，
解得：x＝3，
当x＝3时，x+6＝9，此时等腰三角形的三边为：3，9，9；
（2）设底为x，则腰为（x﹣6），由题意得：
x+2（x﹣6）＝21，
解得：x＝11，
当x＝11时，x﹣6＝5，11，5，5不能构成三角形，不符合题意；
因此，腰为9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据题意分类讨论，并对答案根据三边
关系进行分析取舍是解题关键．
14．3
【分析】根据三角形的构成条件：任意两边之和大于第三边，进行判断即可．
解：∵ ，
∴2cm，3cm，4cm可以构成三角形；
∵ ，
∴2cm，3cm，5cm不可以构成三角形；
∵ ，
∴2cm，4cm，5cm可以构成三角形；
∵ ，
∴3cm，4cm，5cm可以构成三角形；
∴可以构成3个不同的三角形．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边是解题的关键．
15．
【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．
解：∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段
∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性
又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种
故概率为：
故答案为：
【点拨】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．
16．7【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得 ，然后再确定x的值即可．
解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和7，
∴ ，
即： ，
∵第三边长为奇数，
∴ ，
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边
差小于第三边．
17．8
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足 ，
∴ ， ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的周长为偶数，即 是偶数，
∴ 是偶数，
∴ 为奇数，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c
的取值范围．
18．3或4或5
【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
解：AC的取值范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5，
△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,当DF=AC时，DF=3或5
当DF=BC时，DF=4
故答案为3或4或5
【点拨】本题考点涉及全等三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解
题关键.
19．①△ABC是等腰三角形；周长为7；②△ABC的周长的最大值13，最小值11．
【分析】①利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，
进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
②利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而求出△ABC的周长最大值和最小值．
解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
【点拨】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是正确理解三角形的三边关系．
20．(1)锐角三角形；(2)直角三角形．
【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.
解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，
∴满足条件的三角形是锐角三角形．
(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．
21．当 时，三边长分别为 ；当 时，三边长分别为 ；当 时，三边长分别为
．
【分析】根据题意可设三角形的三边长分别为 ， ， ，结合题意可列出关于x的一元一次不
等式组，解出x的取值范围，再结合 为奇数分类讨论，最后根据三角形三边关系判断能否构成三角形即
可．
解：设三角形的三边长分别为 ， ， ，
∵三角形的周长小于 ，
∴ ，
解得： ，
最大取9，最小取3，且 为奇数．
分类讨论：当 时，三边长分别为 ，
当 时，三边长分别为 ，
当 时，三边长分别为 ，
当 时，三边长分别为 ，此时不能构成三角形．
【点拨】本题考查一元一次不等式组的应用，三角形三边关系．理解题意，找出不等关系，列出不等
式组是解题关键．
22．9
【分析】利用加减消元法解出方程组，求出a、b，根据三角形的三边关系求出c，根据三角形的周长
公式计算，得到答案．
解：解方程组 ，
得 ，
∵a，b，c是三角形的三条边，
∴ ，
∴ ，
∵周长为整数，
∴ ，∴三角形的周长 ．
【点拨】本题考查的是三角形的三边关系、二元一次方程组的解法，熟记三角形两边之和大于第三边、
三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
23．(1) ，理由见分析；(2) ，理由见分；(3)
，理由见分析
【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（2）在 和 中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（3）延长 交 的延长线于G，交 于点F，在 、 和 中，利用三角形的两边
之和大于第三边解题即可．
（1）解： ，理由为：
，
∴
即：
（2） ，理由为：
在 中， ，
在 中， ，
两式相加得： +
即：
（3） ，理由为：
如图，延长 交 的延长线于G，交 于点F，
在 中， ，①
在 中， ，②
中， ，③
得：
【点拨】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．
24．
【分析】结合题意，根据三角形三边关系，得 ；再根据一元一次不等式组性质，求解得，从而得 ，通过计算即可得到答案．
解：由题意知， 不与 共线，此时A， ， 三点可构成三角形，根据三角形的三边关系可得：
，即 ，
∴其整数值有 ， ， ， ，
∵
∴
∴ ．
由题意可得：
∴
∴ 的取值范围是 ．
【点拨】本题考查了三角形、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系、一
元一次不等式组的性质，从而完成求解．
