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专题 02 与三角形高线、角平分线有关的四种模型
题型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角
题型二：三角形的两条内角平分线形成的夹角
题型三：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角
题型四：三角形的两条外角平分线形成的夹角
题型一：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角
1．如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠EAD
的度数为（ ）
A．35° B．5° C．15° D．25°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°．
∵AE是∠BAC 的平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC=35°，
2
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝5°．
故选：B．
2．如图，等腰△ABC中，腰AC上的高线为BD，∠ABC的平分线为BE，∠CBD＝25°，则∠DBE为（
）A．12.5° B．7.5° C．6.5° D．6.25°
【答案】B
【解答】解：∵等腰△ABC中，腰AC上的高线为BD，∠CBD＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∵∠ABC的平分线为BE，
1
∴∠CBE= ∠ABC=32.5°，
2
∴∠DBE＝∠CBE﹣∠CBD＝32.5°﹣25°＝7.5°，
故选：B．
3．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝ 16 ° ．
【答案】16°．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC＝36°，
2
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°，
∵AD是△ABC的高线，
∴△AED为直角三角形，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°，
故答案为：16°．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB的角平分线和高线，交AB于点
E、D．则∠DCE的值为（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵CE平分∠ACB，
1
∴∠ACE＝∠BCE= ∠ACB＝45°，
2
∵CD是高线，
∴CD⊥AB，
即∠CDB＝90°，在Rt△BCD中，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCE＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，求
∠DAE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BAC：∠B：∠C＝4：3：2，
4 3
∴∠BAC＝180°× =80°，∠B＝180°× =60°，
9 9
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠BAE= ∠BAC＝40°，
2
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
6．如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．【答案】16°．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC＝36°，
2
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°，
∵AD是△ABC的高线，
∴△AED为直角三角形，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°．
7．如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高线，
（1）若∠ABC＝40°∠ACB＝80°，求∠DAE的度数；
（2）若∠ACB﹣∠ABC＝m，试求∠DAE的度数（用含m的代数式表示）；
（3）若△ABC是钝角三角形，如图2，∠ACB为钝角，（2）中条件不变，试问（2）中的结论还成立
吗？请加以推理说明？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝60°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
1
∴∠BAD= ∠BAC＝30°，
2
∴∠ADC＝70°，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠EAD＝20°；
（2）∵∠ACB﹣∠ABC＝m，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣m﹣2∠C，
而AD为∠BAC的角平分线，
1 m
∴∠DAC= ∠BAC＝90°− −∠C，
2 2
又∵AE⊥BC，
∴∠DAC﹣∠DAE＝90°﹣∠C，
m
∴∠DAE= ．
2
（3）成立．
∵∠ACB﹣∠ABC＝m，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣m﹣2∠C，
而AD为∠BAC的角平分线，
1 m
∴∠DAC= ∠BAC＝90°− −∠C，
2 2
m
∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝90°− ，
2
∵AE是BC边上的高线，
m
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED= ．
2
8．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC的高线，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，若∠B＝30°，∠C＝70°，试求∠DAE的度数；
（2）如图2，若点F是AD延长线上一点，FG⊥BC于G，试求∠F与∠C、∠B之间的数量关系；
（3）如图3，延长AB到点M，∠MBC的平分线和AD的延长线交于点N．试说明∠N和∠C的数量关
系．
【答案】（1）20°；
1
（2）∠F= （∠C﹣∠B）；
21
（3）∠N= ∠C．
2
【解答】解：（1）如图1，∵∠B＝30°，∠C＝70°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵AD是∠BAC的平分线，
1
∴∠BAD＝∠CAD= ∠BAC＝40°，
2
∵AE是高线，即AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝40°﹣20°＝20°；
1
（2）∠F= （∠C﹣∠B），
2
如图2，∵FG⊥BC，AE⊥BC，
∴FG∥AE，
∴∠F＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE，
∴∠F＝∠DAC﹣∠CAE
1
= ∠BAC﹣（90°﹣∠C）
2
1
= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C
2
1
= （∠C﹣∠B）；
2
1
（3）∠N= ∠C，如图3，理由如下：
2
∵BN是的平分线，
1
∴∠MBN＝∠CBN= ∠MBC，
2
∵AN是∠BAC的平分线，
1
∴∠BAN＝∠CAN= ∠BAC，
2
∵∠MBC＝∠BAC+∠C，
∴2∠MBN＝∠BAC+∠C，
∵∠MBN＝∠BAN+∠N，
∴2∠BAN+2∠N＝∠BAC+∠C，
1
∴∠N= ∠C．
2题型二：三角形的两条内角平分线形成的夹角
1．如图，点O在△ABC内，且点O是△ABC两个角平分线的交点．若∠OBC+∠OCB＝55°，则∠A的度
数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】A
【解答】解：∵点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝110°，
∴∠A＝180°﹣110°＝70°．
故选：A．
2．如图，BD和CD是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【解答】解：已知∠BDC＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣130°＝50°，
∵BD和CD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB＝2∠ACD，
∴∠ABC+∠ACB＝2∠DBC+2∠DCB＝2（∠DBC+∠DCB）＝2×50°＝100°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°，
所以∠A的度数为80°，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，角平分线BD，CE相交于点H．若∠A＝70°，则∠BHC的度数是（ ）
A．60° B．90° C．110° D．125°
【答案】D
【解答】解：∵BD，CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，1 1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB．
2 2
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠BHC＝∠BDC+∠ACE
＝∠A+∠ABD+∠ACE
1 1
＝∠A+ ∠ABC+ ∠ACB
2 2
1 1 1 1
= ∠A+ ∠ABC+ ∠ACB+ ∠A
2 2 2 2
1 1
= （∠A+∠ABC+∠ACB）+ ∠A．
2 2
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，
1 1
∴∠BHC= ×180°+ ×70°
2 2
＝90°+35°
＝125°．
故选：D．
4．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于点D，∠ABC＝70°，∠A＝60°，则∠CDE的度数
是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝50°，
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC=35°，∠DCB= ∠ACB=25°，
2 2
∴∠CDE＝∠DBC+∠DCB＝60°，
故选：B．
5．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为
25° ．【答案】25°．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．
∵△ABC的三条角平分线交于一点，
∴BO平分∠ABC，
1
∴∠ABO= ∠ABC＝25°．
2
故答案为：25°．
6．如图，平行线AB，CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P ；分别作
1
∠BAP 和∠P CD的角平分线，交点记为P ；分别作∠BAP 和∠P CD的角平分线，交点记为P ，按此
1 1 2 2 2 3
规律继续操作，则∠AP C的度数为 5.625 ° ．
5
【答案】5.625°．
【解答】解：如图所示，过点P 作P Q∥AB，
1 1
∵AB∥CD，
∴P Q∥CD，∠BAC+∠ACD＝180°，
1
又∵AP ，CP 是∠BAC和∠ACD的角平分线，
1 1
1 1
∴∠BAP ＝∠AP Q= ∠BAC，∠QP C＝∠P CD= ∠ACD，
1 1 2 1 1 2
1 1
∴∠AP C = （∠BAC+∠ACD）＝90° = ×180°，
1 2 2
1 1
同理可得，∠AP C= （∠BAP +∠P CD）＝45°= ×180°，
2 2 1 1 4
1
∴∠AP C＝（ ）n×180°，
n 21
∴∠AP C＝（ ）5×180°＝5.625°；
5 2
故答案为：5.625°．
1
7．如图，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+ ∠A的理由．
2
解：∵BD平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC＝ ∠ ABC （角平分线定义）．
2
1
同理：∠DCB＝ ∠ ACB ．
2
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（ 三角形的内角和等于 180 ° ），
∴∠D＝ 180 ° ﹣（∠ DBC + ∠ DCB ） （等式性质）．
1
即：∠D＝90°+ ∠A．
2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BD平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC= ∠ABC（角平分线定义），
2
1
同理：∠DCB= ∠ACB，
2
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°），
1
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°− （∠ABC+∠ACB）
2
1
＝180°− （180°﹣∠A）
2
1
＝90°+ ∠A（等式性质），
21
即：∠D＝90°+ ∠A，
2
1 1
故答案为： ∠ABC， ∠ACB，三角形的内角和等于180°，180°﹣（∠DBC+∠DCB）．
2 2
8．“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点D，求∠ADB的度数．”小
白在解决这个问题的过程中，发现当∠BAC取不同的数值时，∠ADB的大小并不改变，于是猜想三角
形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以决定将其作为一个项
目做进一步探究．
【项目模型】如图2，直线MN与直线PQ相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），
点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．连接AB，∠BAO和∠ABO的平分线交于点E．探究
∠AEB与∠AOB的数量关系；
【特例发现】如图2，当∠AOB＝100°时，∠AEB＝ 14 0 度；当∠AOB＝70°时，∠AEB＝ 12 5
度；
【规律探索】如图2，当∠AOB度数为 时，用含 的代数式表示∠AEB的大小，并写出推导过程；
【拓展应用】如图3，当∠AOB＝90°时，∠PAB和∠MBA的平分线交于点F，∠FAB和∠FBA的角平分
α α
线交于点E．在点A和点B的运动过程中，当△ABE的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接
写出∠BAO的度数 30 ° 或 60 ° ．
【答案】特例发现：140；125；
1
规律探索：∠AEB=90°+ α，推理过程见解析；
2
拓展应用：30°或60°．
【解答】解：特例发现：当∠AOB＝100°时，
由条件可知∠ABO+∠BAO＝80°，
∵∠BAO和∠ABO的平分线交于点E，
1 1
∴∠EAB= ∠BAO，∠EBA= ∠ABO，
2 2
1 1 1
∴∠EAB+∠EBA= ∠BAO+ ∠ABO= (∠BAO+∠ABO)=40°，
2 2 2
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝140°；当∠AOB＝70°时，∠ABO+∠BAO＝110°，
∵∠BAO和∠ABO的平分线交于点E，
1 1
∴∠EAB= ∠BAO，∠EBA= ∠ABO，
2 2
1 1 1
∴∠EAB+∠EBA= ∠BAO+ ∠ABO= (∠BAO+∠ABO)=55°，
2 2 2
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝125°；
故答案为：140，125；
1
规律探索：∠AEB=90°+ α，推理如下：
2
∵∠AOB＝ ，
∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣ ，
α
∵∠BAO和∠ABO的平分线交于点E，
α
1 1
∴∠EAB= ∠BAO，∠EBA= ∠ABO，
2 2
1 1 1 1
∴∠EAB+∠EBA= ∠BAO+ ∠ABO= (∠BAO+∠ABO)=90°− α，
2 2 2 2
1 1
∴∠AEB=180°−∠EAB−∠EBA=180°−90°+ α=90°+ α；
2 2
拓展应用：∵∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
由条件可知∠PAB+∠MBA＝180°﹣∠BAO+180°﹣∠ABO＝270°，
∵∠PAB和∠MBA的平分线交于点F，
1 1
∴∠FAB= ∠PAB，∠FBA= ∠MBA，
2 2
1 1 1
∴∠FAB+∠FBA= ∠PAB+ ∠MBA= (∠PAB+∠MBA)=135°，
2 2 2
∴∠F＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝45°，
∵∠FAB和∠FBA的角平分线交于点E，
1
∴∠E=90°+ ∠F=112.5°；
2
当∠E＝3∠EAB时，则∠EAB＝37.5°，
∴∠FAB＝2∠EAB＝75°，
∴∠PAB＝2∠FAB＝150°，
∴∠BAO＝180°﹣∠PAB＝30°；
当∠E＝3∠EBA时，则∠EBA＝37.5°，
∴∠EAB＝180°﹣∠E﹣∠EBA＝30°，
∴∠FAB＝2∠EAB＝60°，∴∠PAB＝2∠FAB＝120°，
∴∠BAO＝180°﹣∠PAB＝60°；
当∠EAB＝3∠EBA时，
∵∠EAB+∠EBA+∠E＝180°，
1
∴∠EAB+ ∠EAB+112.5=180°，
3
∴∠EAB＝50.625°，
∴∠FAB＝2∠EAB＝101.25°，
∴∠PAB＝2∠FAB＝202.5°，不符合题意；
当∠EBA＝3∠EAB时，∠EAB+3∠EAB+112.5＝180°，
∴∠EAB＝16.875°，
∴∠FAB＝2∠EAB＝33.75°，
∴∠PAB＝2∠FAB＝67.5°，
∴∠BAO＝180°﹣∠PAB＝112.5°，不符合题意；
综上所述，∠BAO的度数为30°或60°．
故答案为：30°或60°．
题型三：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角
1．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则
∠P＝（ ）
A．30° B．35° C．25° D．40°
【答案】A
【解答】解：由条件可知∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故选：A．
2．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝
50°，则∠A+∠P＝（ ）A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E，F分别在边BC，AC上，∠AEF＝2∠AFE，∠ABC的角平
分线与∠AEF的角平分线交于点P，若∠FEC＝26°，则∠P的度数为（ ）
A．39° B．52° C．65° D．78°
【答案】B
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠PBC＝∠C，
设∠C＝x，则∠PBC＝x，
∵∠FEC＝26°，
∴∠AFE＝x+26°，
∵∠AEF＝2∠AFE，
∴∠AEF＝2x+52°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP＝x+26°，
∵∠PEC＝∠P+∠PBC，
∴x+26°+26°＝∠P+x，
∴∠P＝52°，
故选：B．4．如图，已知△ABC的内角∠A＝ ，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A ，
1
得∠A
1
；∠A
1
BC和∠A
1
CD的平分
α
线交于点A
2
，得∠A
2
；……以此类推得到∠A
2024
，则∠A
2024
的度数是
（ ）
α α α α
A． B． C． D．90+
2 22023 22024 2
【答案】C
【解答】解：∵A B是∠ABC的平分线，A C是∠ACD的平分线，
1 1
1 1
∴∠A BC= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，
1 2 1 2
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A CD＝∠A BC+∠A ，
1 1 1
1 1
∴ (∠ABC+∠A)= ∠ABC+∠A ，
2 2 1
1
∴∠A = ∠A，
1 2
∵∠A＝ ，
α
∴∠A =α ；
1 2
1 α 1 α
同理可得∠A
2
=
2
∠A
1
=
22
，∠A
3
=
2
∠A
2
=
23
，⋯，
α
∴∠A = ，
n 2n
α
∴∠A = ，
2024 22024
故选：C．
5．如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数为
60° ．
【答案】60°．
【解答】解：∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠ABC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，1 1 1 1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE= （∠A+∠ABC）= ∠A+ ∠ABC．
2 2 2 2 2
∵∠DCE是△BCD的外角，
1 1
∴∠DCE＝∠DBC+∠D= ∠A+ ∠ABC，
2 2
1
∴∠D= ∠A＝30°，
2
∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．
故答案为：60°．
6．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平
分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数．
【答案】50°，115°．
【解答】解：∵CE为∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
1 1
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC．
2 2
∵∠DCE是△BCE的外角，∠ACD是△ABC的外角，
1 1
∴∠2=∠DCE−∠DBE= (∠ACD−∠ABC)= ∠1，
2 2
∴∠1＝2∠2＝2×25°＝50°．
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
1 1
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ∠ACD，
2 2
1 1
∴∠OCE= (∠ACB+∠ACD)= ×180°=90°，
2 2
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2＝90°+25°＝115°．
7．（1）如图1，在△ABC中，已知∠A＝50°，点E在线段BC的延长线上，∠ABC和∠ACE的角平分线
交于点D，则∠D＝ 25 ° ；
（2）如图2，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，且 + ＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB
等于多少（用 ， 表示）？
α β α β
（3）如图3，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，且 + ＜180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB
α β
等于多少（用 ， 表示）？
α β α β
α β1 1
【答案】（1）25°；（2） （ + ）﹣90°；（3）90°− （ + ）．
2 2
【解答】解：（1）如图1， α β α β
∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE．
2 2
∵∠DCE是△DBE的一个外角，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC
1 1
= ∠ACE− ∠ABC
2 2
1
= （∠ACE﹣∠ABC）．
2
∵∠ACE是△ABC的一个外角，
∴∠ACE﹣∠ABC＝∠A＝50°．
1
∴∠D= ×50°＝25°．
2
故答案为：25°．
（2）由题意，如图2，
∵∠FBE是△ABF的一个外角，
∴∠AFB＝∠FBE﹣∠FAE．
又∵AF、BF分别平分∠DAB和∠CBE，1 1
∴∠FAE= ∠DAB，∠FBE= ∠CBE．
2 2
1 1
∴∠AFB= ∠CBE− ∠DAB．
2 2
又∵∠CBE＝180°﹣∠CBA，
1 1 1
∴∠AFB= （180°﹣∠CBA）− ∠DAB＝90°− （∠CBA+∠DAB）．
2 2 2
又∵∠CBA+∠DAB＝360°﹣（∠ADC+∠BCD）＝360°﹣（ + ），
1
∴∠AFB＝90°− [（360°﹣（ + ）] α β
2
1 α β
＝90°﹣180°+ （ + ）
2
1 α β
= （ + ）﹣90°．
2
（3）由α 题β意，如图3，
∵∠GAB是△ABF的一个外角，
∴∠AFB＝∠GAB﹣∠ABF．
又∵∠HBE＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠GAB﹣∠HBE．
又∵AG、BH分别平分∠DAB和∠CBE，
1 1
∴∠GAB= ∠DAB，∠HBE= ∠CBE．
2 2
1 1
∴∠AFB= ∠DAB− ∠CBE．
2 2
又∵∠CBE＝180°﹣∠CBA，
1 1 1
∴∠AFB= ∠DAB− （180°﹣∠CBA）= （∠CBA+∠DAB）﹣90°．
2 2 2
又∵∠CBA+∠DAB＝360°﹣（∠ADC+∠BCD）＝360°﹣（ + ），
1
∴∠AFB= [（360°﹣（ + ）]﹣90° α β
2
1 α β
＝180°− （ + ）﹣90°
2
α β1
＝90°− （ + ）．
2
题型四：三角形α 的β 两条外角平分线形成的夹角
1．如图，∠ABC的外角平分线AD，CD交于点D．若∠B＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．115° D．65°
【答案】D
1 1
【解答】解：由条件可知∠CAD= (∠B+∠ACB)，∠ACD= (∠B+∠BAC)，
2 2
1
∴∠D=180°−∠CAD−∠ACD=180°−∠B− (∠ACB+∠BAC)，
2
∵∠B＝50°，
∴∠ACB+∠BAC＝180°﹣∠B＝130°，
1
∴∠D=180°−50°− ×130°=65°．
2
故选：D．
2．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的角平分线交于点E，则∠AEC的度数
为（ ）
A．67° B．40° C．77° D．57°
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝46°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠ACF，
1 1
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠FCA，
2 2
1 1 1
∴∠EAC+∠ECA= (∠DAC+∠FCA)=113°∠EAC+∠ECA = （∠DAC+∠FCA）= ×226°＝
2 2 2
113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．
所以∠AEC的度数为67°，
故选：A．
3．如图，△ABC的两条内角平分线BO，CO相交于点O，两条外角平分线BP，CP相交于点P．已知
∠BOC＝120°，则∠P＝（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠CBD+∠BCE＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣120°＝240°，
∵BP，CP是∠CBD，∠BCE的角平分线，
1
∴∠CBP+∠BCP= (∠CBD+∠BCE)=120°，
2
∴∠P＝180﹣（∠CBP+∠BCP）＝60°，
故选：A．
4．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB+∠ABC＝100°，
∴∠ECB+∠DBC＝260°，
∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，1 1
∴∠OBC= ∠DCB，∠OCB= ∠ECB，
2 2
1
∴∠OBC+∠OCB= ×260°＝130°，
2
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，
故选：B．
5．在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平
分线相交于点Q．若∠Q＝55°，则∠BPC＝ 12 5 °．
【答案】125．
【解答】解：如图：
∵∠Q＝55°，
∴∠QBC+∠QCB＝180°﹣∠Q＝180°﹣55°＝125°，
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠EBC＝2∠QBC，∠FCB＝2∠QCB，
∴∠EBC+∠FCB＝2（∠QBC+∠QCB）＝2×125°＝250°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠EBC+180°﹣∠FBC＝360°﹣250°＝110°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）= ×110°＝55°，
2 2
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°．
故答案为：125．6．如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，延长DB至点G，
4 3 360
∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 n+ m= ．
7 7 7
360
【答案】 ．
7
【解答】解：∵BD平分∠CBA，且∠CBA＝m°，
1 1
∴∠CBD= ∠CBA= m°，
2 2
∵延长DB至点G，
∴∠CBD+∠CBG＝180°，
1
∴∠CBG＝180°﹣∠CBD＝180°− m°，
2
∵BE平分∠CBG，
1 1 1 1
∴∠CBE= ∠CBG= （180°− m°）＝90°− m°．
2 2 2 4
∵∠FCB是△ABC的外角，且∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，
∴∠FCB＝∠CBA+∠CAB＝m°+n°．
又∵BE∥AC，
∴∠FCB+∠CBE＝180°，
1
∴m°+n°+90°− m°＝180°，
4
3
∴ m+n＝90，
4
4 3 4 3 4 360
∴ n + m = （n + m）= ×90 = ．
7 7 7 4 7 7360
故答案为： ．
7
7．如图，已知在△ABC中，∠P＝65°，∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P．则∠A＝
50° ．
【答案】50°．
【解答】解：由三角形的内角和可知：∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠P＝115°，
∵PB是∠DBC的角平分线，PC是∠BCE的角平分线，
∴∠DBC＝2∠PBC，∠BCE＝2∠BCP，
∴∠DBC+∠BCE＝2∠（PBC+∠PCB）＝230°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠DBC+180°﹣∠BCE＝130°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝50°；
故答案为：50°．
8．如图，在△ABC，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
证明：当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变．
请将以下证明过程补充完整．
∵BD，CD是∠ABC，∠ACB角平分线，
1 1
∴∠2= ∠ABC，∠1= ∠ACB（依据：角平分线的定义），
2 2
∴∠D＝180°﹣（∠1+ ∠ 2 ）（依据： 三角形内角和定理 ），
1
＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
2
∵∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝180°﹣∠ACB，
BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的角平分线，
1 1 1
∴∠3= ∠EBC= (180°−∠ABC)=90°− ∠ABC，
2 2 2
1 1 1
∠4= ∠FCB= (180°−∠ACB)=90°− ∠ACB，
2 2 2
∵∠P+∠3+∠4＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠3+∠4），
1 1
＝180°﹣（90°− ∠ABC+ 90 °− ∠ACB ），
2 21
= （ ∠ ABC +∠ACB），
2
∴∠D+∠P＝ 180 ° （写具体度数），
∴当∠A大小变化时，∠D+∠P的值不发生变化．
1 1
【答案】∠2，三角形内角和定理， ，90°− ∠ACB，∠ABC，180°．
2 2
【解答】证明：∵BD，CD是∠ABC，∠ACB角平分线，
1 1
∴∠2= ∠ABC，∠1= ∠ACB（依据：角平分线的定义），
2 2
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠2）（依据：三角形内角和定理），
1
＝180°− （∠ABC+∠ACB），
2
∵∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝180°﹣∠ACB，
BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的角平分线，
1 1 1
∴∠3= ∠EBC= (180°−∠ABC)=90°− ∠ABC，
2 2 2
1 1 1
∠4= ∠FCB= (180°−∠ACB)=90°− ∠ACB，
2 2 2
∵∠P+∠3+∠4＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠3+∠4），
1 1
＝180°﹣（90°− ∠ABC+90°− ∠ACB），
2 2
1
= （∠ABC+∠ACB），
2
∴∠D+∠P＝180°（写具体度数），
∴当∠A大小变化时，∠D+∠P的值不发生变化．
1 1
故答案为：∠2，三角形内角和定理， ，90°− ∠ACB，∠ABC，180°．
2 2
9．【初步认识】
（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝ 140 ° ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是 ∠ A ＝ 2 ∠ M ；
【继续探索】
（2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；
【拓展应用】
（3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC
交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数．
【答案】（1）140°，∠A＝2∠M；
1
（2）∠N=90°− ∠A；
2
（3）30°或120°或135°或45°．
【解答】解：（1）如图①，由条件可知：
1 1
∠ABP=∠CBP= ∠ABC，∠ACP=∠BCP= ∠ACB，
2 2
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°，
1
∴∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°− (∠ABC+∠ACB)=140°；
2
如图②，由条件可知：
1 1
∠CBM=∠ABM= ∠ABC，∠DCM=∠ACM= ∠ACD，
2 2
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM，
∴2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），整理得，∠A＝2∠M．
故答案为：140°，∠A＝2∠M．
（2）∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，
1 1
∴∠CBN=∠EBN= ∠CBE，∠BCN=∠FCN= ∠BCF，
2 2
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A，
1 1
∴∠N=180°−(∠CBN+∠BCN)=180°− (∠CBE+∠BCF)=90°− ∠A，
2 2
1
∴∠N=90°− ∠A；
2
1
（3）由题意知，∠NBM＝90°，∠N=90°− ∠A，∠A＝2∠M，
2∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，
①当∠NBM＝3∠M时，∠NBM＝3∠M，
∴∠M＝30°，
∴∠A＝2∠M＝60°；
1
②当∠NBM＝3∠N时，90°=3(90°− ∠A)，
2
∴∠A＝120°；
1 1
③当∠M＝3∠N时， ∠A=3(90°− ∠A)，
2 2
∴∠A＝135°；
1 3
④当∠N＝3∠M时，90°− ∠A= ∠A，
2 2
∴∠A＝45°．
综上所述，∠A的度数为30°或120°或135°或45°．
