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专题 14.2 两边及其夹角证全等（SAS）
1. 掌握全等三角形中SAS判定全等方法的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟
教学目标
练的选择应用。
1. 重点
（1）用“SAS”判定全等。
教学重难点 2. 难点
（1）添加条件形成“SAS”的全等判定方法；
（2）用“SAS”证明全等。
知识点01 边角边（SAS）判定全等
1. 边角边（SAS）的概念：
若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或
“SAS”。
2. 数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。
【即学即练1】
1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ）
A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
【答案】B
【解答】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
{
OA=OD
)
∠AOB=∠COD ，
OB=OC
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC≌△ADE的判定依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：在△ABC和△ADE中，
{
AB=AD
)
∠A=∠A ，
AC=AE∴△ABC≌△ADE（SAS），
故选：B．
【即学即练3】
3．如图，点 B，F，C，E 四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：
△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
{
AB=DE
)
∠B=∠E ，
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
题型01 添加条件形成SAS的全等判定方法
【典例1】如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，BE＝CF，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条
件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（ ）
A．AF＝DE B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC
【答案】A
【解答】解：添加AF＝DE后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE，
理由：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，{
AF=DE
)
∠AFB=∠DEC ，
BF=CE
∴△ABF≌△DCE（SAS），
故选：A．
【变式1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB
【答案】A
【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
【变式2】如图，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，使能运用（SAS）证明△ABD≌△ACD，则这个条
件是（ ）
A．∠B＝∠C B．AB＝AC C．BD＝CD D．∠BAD＝∠CAD
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠ADB＝∠ADC，
补充∠B＝∠C，又AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），故选项A不符合题意；
补充AB＝AC，无法证明△ABD≌△ACD，故B不符合题意；
补充BD＝CD，又AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），故选项C符合题意；
补充∠BAD＝∠CAD，
又AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（ASA），故选项D不符合题意．
故选：C．
【变式3】如图，点P在∠AOB的平分线上，若能用SAS判定△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是
OA ＝ OB【答案】OA＝OB．
【解答】解：需要添加OA＝OB．
理由如下：∵点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△AOP和△BOP中
{
OA=OB
)
∵ ∠AOP=∠BOP ，
OP=OP
∴△AOP≌△BOP（ASA），
故答案为：OA＝OB．
题型02 判定全等的依据—SAS
【典例 1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC 与 BD 交于点 O，添加条件 AB＝DC 后，可使得
△ABC≌△DCB成立，则判断△ABC和△DCB全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，BC＝BC，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴依据是SAS，
故选：B．
【变式1】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依
据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】B
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
{
OA=OD
)
∠AOB=∠DOC ，
OB=OC
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
【变式2】如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．证明△ABC≌△ADC的依据是（ ）
A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS
【答案】D
【解答】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC与△ADC中，
{
AB=AD
)
∠BAC=∠DAC ，
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SAS），
故选：D．
【变式3】如图，AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，连接BD，CE交于点O．不添加辅助线，判断
△ABD≌△ACE的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AA D．ASA
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，
1 1
∴AE= AB，AD= AC，
2 2
∴AE＝AD，
在△ABD和△ACE中，{
AE=AD
)
∠A=∠A ，
AB=AC
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故选：B．
题型03 用SAS判定证明全等
【典例1】如图，点F，C在线段BE上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝EC．△ABC与△DEF全等吗？为什么？
【答案】全等，理由见解析．
【解答】解：△ABC与△DEF全等，理由如下：
由条件可知∠ACB＝∠DFE，BF+FC＝EC+FC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{
AC=DF
)
∠ACB=∠DFE ，
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式 1】如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：
△ABC≌△DEF．
【答案】见详解．
【解答】证明：由条件可得AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
{
AB=DE
)
∠A=∠D ，
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【变式2】如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF．△ABC与△AEF全等吗？
请说明理由．【答案】△ABC≌△AEF，理由见解析．
【解答】解：△ABC≌△AEF，
理由：∵∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠EAF．
在△ABC和△AEF中，
{
AB=AE
)
∠BAC=∠EAF ，
AC=AF
∴△ABC≌△AEF（SAS）．
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的点，点E在△ABC外，且CE∥AB，CE＝BD．求证：
△ABD≌△ACE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B＝∠CAB，AB＝AC，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠CAB，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE 中，
{
AB=AC
)
∠B=∠ACE，
BD=CE
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
1．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：∵AC∥FD，
∴∠CAD＝∠ADF，
∵AE＝DB，
∴ED＝AB，
∵AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：B．
2．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AB，则△ABD≌△ACD的依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
【答案】D
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
{AC=AB
)
∠1=∠2 ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
故选：D．
3．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D B．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D
C．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
【答案】D
【解答】解：只有BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F可以利用SAS证明△ABC和△DEF全等，
故选：D．
4．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（
）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】B
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
¿，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
5．如图，AC 与 BD 相交于点 O，OA＝OD，若再添加下列一个条件，仍然不能运用“SAS“说明
△AOB≌△DOC，则这个条件是（ ）
A．OB＝OC B．AD∥BC C．∠OBC＝∠OAD D．∠AOB＝∠AOD
【答案】D
【解答】解：A、在△AOB和△DOC中，
{
AO=DO
)
∠AOB=∠DOC ，
OB=OC
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故A不符合题意；
B、∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
{
AO=DO
)
∠AOB=∠DOC ，
OB=OC
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故B不符合题意；C、∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵∠OBC＝∠OAD，
∴∠OBC＝∠ADO，
∴AD∥BC，
∴∠DAO＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
{
AO=DO
)
∠AOB=∠DOC ，
OB=OC
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故C不符合题意；
D、根据∠AOB＝∠AOD，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，不能判断△AOB≌△DOC，
故D符合题意；
故选：D．
6．如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使
△ABC≌△DEF，全等的依据是“SAS”，则需要添加的条件是（ ）
A．AC∥DF B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE
【答案】D
【解答】解：需要添加的条件是AB＝DE，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{ AB=DE )
，
∠B=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：D．
7．如图，数学课上老师布置了“测量酸奶瓶内部底面的内径”的探究任务，小熙想到了以下方案：如图，用图钉将两根吸管AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此
方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边边边
B．全等三角形的对应角相等
C．边角边
D．三角形的稳定性
【答案】C
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
{
OA=OD
)
∠AOB=∠DOC ，
OB=OC
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD，
∴此方案依据判断三角形全等的SAS公理，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BC＝10，则BD＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAD ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS），
1
∴BD＝CD= BC，
2∵BC＝10，
∴BD＝5．
故选：A．
9．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，AE和CD相交于点M，那么∠AMC
＝（ ）
A．135° B．120° C．105° D．90°
【答案】B
【解答】解：设AE交BD于点L，
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB＝DB，EB＝CB，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°+∠DBE，
在△ABE和△DBC中，
{
AB=DB
)
∠ABE=∠DBC ，
EB=CB
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴∠ALD﹣∠BAE＝∠ALD﹣∠BDC，
∵∠ABD＝∠ALD﹣∠BAE，∠AMD＝∠ALD﹣∠BDC，
∴∠ABD＝∠AMD＝60°，
∴∠AMC＝180°﹣∠AMD＝120°，
故选：B．
10．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同
时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三
角形全等，则a的值为（ ）24 5
A．4或 B．6 C． 或1 D．4
5 4
【答案】A
【解答】解：设点P，Q运动的时间为t（s），
依题意得：BP＝4t cm，CQ＝at cm，
∵四边形ABCD是长方形，且AB＝6cm，BC＝10cm，
∴∠B＝∠C＝90℃P＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm，
当以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等时，有以下两种情况：
①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ（SAS），
由BP＝CQ，得：4t＝at，
解得：a＝4；
②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP（SAS），
由BP＝CP，得：4t＝10﹣4t，
5
解得：t= ，
4
由AB＝CQ，得：6＝at，
5 24
将t= 代入6＝at，得：a= ，
4 5
24
综上所述：a的值为4或 ．
5
故选：A．
11．如图点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，BE，CD 相交于点 O，AE＝AD，要根据“SAS”证明
△ABE≌△ACD，需要添加一个条件是 AB ＝ AC ．
【答案】AB＝AC．
【解答】解：∵AE＝AD，∠A＝∠A，
∴要根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，需要添加一个条件是AB＝AC，
故答案为：AB＝AC．
12．如图，已知 AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列条件：①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；
④∠BCE＝∠ACD．可以利用SAS判断△ABC≌△DEC的是： ② ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：条件②可以利用SAS判断△ABC≌△DEC，
{CB=EC
)
在△ABC和△DEC中 ∠B=∠E ，
AB=DE
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：②．
13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 55 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF的度数为 65 ° ．【答案】65°．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
1
∴∠B＝∠C= （180°﹣∠A）＝65°．
2
在△BDF和△CED中，
{
BD=CE
)
∠B=∠C ，
BF=CD
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠CDE＝∠BFD，
∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，
∴∠EDF＝∠B＝65°．
故答案为：65°．
15．在△ABC中，BC＝5，AB＝9，D为AC的中点，则AC边上的中线BD的取值范围是 2 ＜ BD ＜ 7 ．
【答案】2＜BD＜7．
【解答】解：如图，延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，
在△ADE和△CDB中，
{
AD=CD
)
∠ADE=∠CDB ，
DE=BD
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE＝BC＝5，
在△ABE中，AB﹣AE＜BE＜AB+AE，即9﹣5＜2BD＜9+5，
∴2＜BD＜7，
故答案为：2＜BD＜7．
16．已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求证：AF∥EB．【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵DF∥CE，
∴∠FDC＝∠ECD，
∴∠ADF＝∠BCE，
在△AFD和△BEC中，
{
DF=CE
)
∠ADF=∠BCE ，
AD=BC
∴△AFD≌△BEC（SAS），
∴∠A＝∠B，
∴AF∥EB．
17．如图，△ABC与△DCE的顶点C重合，DE∥AB交AC于点F，已知AC＝DE，AB＝CD＝CF．
求证：△ABC≌△DCE．
【答案】见详解．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CFD，
∵CD＝CF，
∴∠CFD＝∠D＝∠A，
在△ABC与△DCE中，
{
AB=DC
)
∠A=∠D ，
AC=DE
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
18．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．
（1）试说明：△ABF≌△DCE；
（2）连接AE，若∠AFB＝40°，∠D＝65°，AB＝AE，求∠AED的度数．【答案】（1）见解析；
（2）∠AED＝65°．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
{
AB=DC
)
∠B=∠C ，
BF=CE
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABF≌△DCE，
∠AFB＝40°，
∴∠DEC＝∠AFB＝40°，∠B＝∠C＝180°﹣∠D﹣∠DEC＝75°，
又∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝75°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠DEC＝65°．
19．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且
∠A＝∠CBE，在线段EC上截取EF，使得EF＝CD，连接BF，DE．
（1）△DCE与△FEB全等吗？为什么？
（2）若∠A＝66°，∠FBE＝35°，求∠DEB的度数．
【答案】（1）△DCE≌△FEB，理由见解析；
（2）83°．
【解答】解：（1）△DCE与△FEB全等；理由如下：
∵在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE，
∴AD＝CD，EC＝EB，∠A＝∠DCA，∴∠DCA＝∠CBE，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠BEF，
在△DCE和△FEB中，
{
CD=EF
)
∠DCE=∠FEB ，
EC=EB
∴△DCE≌△FEB（SAS）；
（2）由（1）知：△DCE≌△FEB，∠FBE＝35°，
∴∠DEC＝∠FBE＝35°，
∵BCE是等腰三角形，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠A＝66°，
∴∠BCE＝∠CBE＝∠A＝66°，
∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE＝48°，
∴∠DEB＝∠BEC+∠DEC＝48°+35°＝83°．
20．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的
中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长 AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得
△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围．
（1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 C ．
A．AAS
B．SSS
C．SAS
D．HL
（2）BC边上的中线AD的取值范围是 4 ＜ AD ＜ 1 1 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条
件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC．
【拓展提升】
如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交
CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 4 ．【答案】【问题情境】（1）C；（2）4＜AD＜11；
【初步运用】证明见解答过程；
【拓展提升】4．
【解答】【问题情境】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示：
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
{
CD=BD
)
∠ADC=∠BDE ，
BD=CD
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选：C；
（2）解：△ABC中，若AB＝15，AC＝7，
由（1）可知：△ADC≌△EDB，
∴AC＝DE＝7，
∵DE＝AD，
∴AE＝2AD
在△ABE中，由三角形三边之间的关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即15﹣7＜2AD＜15+7，
∴8＜2AD＜22，
∴4＜AD＜11，
∴BC边上的中线AD的取值范围是：4＜AD＜11，
故答案为：4＜AD＜11；
【初步运用】证明：延长AD到H，使DH＝AD，连接BH，如图2所示：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDA中，
{
DH=AD
)
∠BDH=∠CDA ，
BD=CD
∴△BDH≌△CDA（SAS），
∴BH＝AC，∠H＝∠EAF，
∵∠EAF＝∠EFA，∠EFA＝∠BFH，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴BF＝AC；
【拓展提升】解：延长HE到K，使EK＝EG，连接BK，如图3所示：
设AF＝a，
∵AB＝15，
∴BF＝AB﹣AF＝15﹣a，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，∵EF∥AD，
∴∠AFG＝∠FAD，∠G＝∠CAD，
∴∠AFG＝∠G，
∴AG＝AF＝a，
∵AC＝7，
∴CG＝AC+AG＝7+a，
∵点E为边BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEK和△CEG中，
{
BE=CE
)
∠BEK∠CEG ，
EK=EG
∴△BEK≌△CEG（SAS），
∴BK＝CG＝7+a，∠K＝∠G，
∵∠AFG＝∠G，∠AFG＝∠BFK，
∴∠K＝∠BFK，
∴BF＝BK，
∴15﹣a＝7+a，
解得：a＝4，
∴AF＝a＝4．
故答案为：4．
