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专题 14.4 三边证全等
1. 掌握全等三角形中的SSS判定全等的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的
教学目标
选择应用。
1. 重点
（1）“边边边（SAS）”证全等。
教学重难点 2. 难点
（1）添加条件形成“SSS”的全等判定方法；
（2）用“SSS”证明全等。
知识点01 边边边（SSS）判定全等
1. 边边边（SSS）的概念：
若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△ D E F （SSS）。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还需添加的
条件为（ ）
A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D
【答案】B
【解答】解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，
∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF的条件是BC＝EF，即添加BF＝EC．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
【答案】A
【解答】证明：在△ABC和△ABD中，
{AC=AD
)
BC=BD ，
AB=AB
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴证明△ABC≌△ABD，其依据是SSS．
故选：A．
【即学即练3】
3．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE．求证：△ACF≌△DBE．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵A，B，C，D四点共线，AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∵AC＝AB+BC，DB＝CD+BC，
∴AC＝DB，
在△ACF和△DBE中，
{AC=DB
)
CF=BE ，
AF=DE
∴△ACF≌△DBE（SSS）．
题型01 添加条件形成SSS的全等判定方法
【典例1】如图，△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用SSS证明△ACE和△BDF全等需要增加
一个条件是（ ）
A．AB＝BC B．DC＝BC
C．AB＝CD D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，
A，当AB＝BC时，得不到AC＝BD，故不能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，不符合题意；
B，当DC＝BC时，得不到AC＝BD，故不能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，不符合题意；
C，当AB＝CD时，则AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，符合题
意；
D，不符合题意；故选：C．
【变式1】如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个
条件是（ ）
A．∠B＝∠C B．BD＝CE
C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对
【答案】B
【解答】解：当BD＝CE时，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC
)
AD=AE ，
BD=CE
∴△ABD≌△ACE（SSS），
故选：B．
【变式2】如图，已知AC＝DB，要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 AB ＝
DC ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵全等三角形的判定“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等，
∴当△ABC和△DCB中，
{AC=DB
)
BC=BC ，
AB=DC
∴△ABC≌△DCB（SSS），
故答案为：AB＝DC．
【变式3】7．如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，则下面4个条件中：①AE＝FB；②
AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，能利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是（ ）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【解答】解：如果添加条件①AE＝FB，
则AE+BE＝FB+BE，
∴AB＝FE，
在△ABC和△FED中，
{AC=FD
)
BC=ED ，
AB=FE
∴△ABC≌△FED（SSS），
故添加条件①可以利用SSS判定△ABC和△FED全等；
如果添加条件②AB＝FE，
在△ABC和△FED中，
{AC=FD
)
BC=ED ，
AB=FE
∴△ABC≌△FED（SSS），
故添加条件②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等；
如果添加条件③AE＝BE，不能得出AB＝FE，
故添加条件③不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等；
如果添加条件④BF＝BE，不能得出AB＝FE，
故添加条件④不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等．
综上所述：添加条件①或②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等．
故选：A．
题型02 判定全等的依据—SSS
【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，
AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解答】解：在△AEG和△AFG中，{EG=FG
)
AE=AF ，
AG=AG
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故选：D．
【变式1】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿
着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线 AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和
△ADC是全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】A
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
{AD=AB
)
DC=BC ，
AC=AC
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC就是∠DAB的平分线．
故选：A．
【变式2】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB
上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射
线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【解答】解：由题意可得，OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
【变式3】如图，点O是∠ABC的边BA上任意一点．下面是“过点O作OM∥BC”的尺规作图过程：①
以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②以点O为圆心，线段BD的长为
半径画弧，交OA于点F；③以点F为圆心，线段DE的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线OM，
则OM即为所求．
上述方法通过判定△BDE≌△OFM得到∠AOM＝∠B，进而得到OM∥BC，其中判定△BDE≌△OFM
的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解答】解：由作图痕迹，得BE＝BD＝OF＝OM，DE＝FM，
在△BDE和△OFM中，
{BD=OF
)
BE=OM ，
DE=FM
∴△BDE≌△OFM（SSS），
故选：A．
题型03 用SSS判定全等
【典例 1】如图，已知点 A，E，F，D 在同一条直线上，AF＝DE，BE＝CF，AB＝CD．求证：
△ABE≌△DCF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AF＝DE，
∴AE＝DF，在△ABE和△DCF中，
{AE=DF
)
BE=CF ，
AB=DC
∴△ABE≌△DCF（SSS）．
【变式1】已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，求证：△ABC≌△BAD．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：在△ABC和△BAD中，
{AC=BD
)
AD=BC ，
AB=BA
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
【变式2】如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AE＝CF，BF＝DE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AD＝BC．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵BF＝DE，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
{AB=CD
)
AE=CF ，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF（SSS）；
（2）由（1）可知：△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠AEB+∠AED＝180°，∠CFD+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠BFC，
在△AED和△BFC中，
{
AE=CF
)
∠AED=∠BFC ，
BF=DE
∴△AED≌△BFC（SAS），
∴AD＝BC．
【变式3】如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝45°，∠F＝85°，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴在△ABC和△DEF中，
{AB=DE
)
AC=DF ，
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B＝45°，∠F＝85°，
∴∠ACB＝∠F＝85°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝50°．
1．如图，AB＝CD，AC＝DB，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是（ ）
A．AE＝DE B．BE＝EC
C．DE＝BE D．不需要添加【答案】D
【解答】解：由公用边BC和CB相等，可证△ABC≌△DCB（SSS），
∴不需要添加条件，
故选：D．
2．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下
面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【解答】解：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB＝FE，
若添加①AE＝FB，则可得AE+BE＝FB+BE，即AB＝FE，
故①可以；
若添加AB＝FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．
若添加AE＝BE，或BF＝BE，均不能得出AB＝FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．
故选：A．
3．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图 2是底座部分的平面图，其中支撑杆 AB＝AC，点
E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总
有∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：∵点E，F分别为AB，AC中点，
1 1
∴AE= AB，AF= AC，
2 2
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，在△AED和△AFD中，
{AE=AF
)
AD=AD ，
DE=DF
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴∠EAD＝∠FAD，
∴判定△AED≌△AFD的依据是SSS．
故选：B．
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取
OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N重合．过角尺顶点 C的射线OC便是
∠AOB 的平分线．这种方法是通过判定△MOC≌△NOC 得到∠MOC＝∠NOC，其中判定
△MOC≌△NOC的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【解答】证明：在△MOC和△NOC中，
{OM=ON
)
OC=OC ，
CM=CN
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴判定△MOC≌△NOC的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：A．
5．“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据 DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道
∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解答】解：在△DEH和△DFH中
{DE=DF
)
EH=FH ，
DH=DH
∴△DEH≌△DFH（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH，
故选：A．
6．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）
A．如图1，线段AD与BC相交于点O，AO＝DO，BO＝CO，△ABO与△DCO
B．如图2，AC＝AD，BC＝BD，△ABC与△ABD
C．如图3，线段AC、BD相交于点E，已知AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，△ABE与△DCE
D．如图4，已知∠CAB＝∠DBA，∠1＝∠2，△ABC与△BAD
【答案】C
【解答】解：如图1，在△ABO和△DCO中，
{
AO=DO
)
∠AOB=∠DOC ，
BO=CO
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故A不符合题意；
如图2，在△ABC和△ABD中，
{AC=AD
)
BC=BD ，
AB=AB
∴△ABC≌△ABD（SSS），
故B不符合题意；如图3，∵AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC不符合全等三角形判定定理的条件，
∴不能判断△ABE与△DCE全等，
故C符合题意；
如图4，在△ABC和△BAD中，
{∠CAB=∠DBA
)
AB=BA ，
∠2=∠1
∴△ABC≌△BAD（ASA），
故D不符合题意，
故选：C．
7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝
82°，∠DEF＝28°，则∠F的度数为（ ）
A．28° B．54° C．70° D．82°
【答案】C
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
{BC=EF
)
AB=DE ，
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠D＝∠A＝82°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝70°，
故选：C．
8．如图，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝70°，∠ADB＝120°，则∠C的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．55°
【答案】A
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
{AB=AC
)
BD=CD ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS），
1
∴∠ADC＝∠ADB＝120°，∠CAD= ∠BAC=35°，
2
∴∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝25°．
故选：A．
9．如图，已知四边形OABC与四边形O′A′B′C′，小华在OA，O′A′上分别取点D，D′，使OD
＝O′D′，在OC，O′C′上分别取点E，E′，使OE＝O′E′．为判断∠AOC与∠A′O′C′的大
小关系，应比较（ ）
A．线段CD与C′D′的长 B．线段DE与D′E′的长
C．线段CE与C′E′的长 D．线段OB与O′B′的长
【答案】B
【解答】解：连接DE，D'E'，如图所示：
当DE＝D'E'时，△ODE≌△O'D'E'，理由如下：
在△ODE和△O'D'E'中，
OD＝O′D′，OE＝O′E′，DE＝D'E'，
∴△ODE≌△O'D'E'（SSS），
∴∠AOC＝∠A′O′C′，
∴要判断∠AOC与∠A′O′C′的大小关系，线段DE与D′E′的长即可，
当DE＝D'E'时，∠AOC＝∠A′O′C′，
当DE＞D'E'时，∠AOC＞∠A′O′C′，
当DE＜D'E'时，∠AOC＜∠A′O′C′．
故选：B．10．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，连接BD、DE．若AB＝EB，AD＝ED，∠A＝
80°，∠BDC＝110°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝80°，∠BDC＝110°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝110°﹣80°＝30°，
在△ABD和△EBD中，
{AB=EB
)
AD=ED ，
BD=BD
∴△ABD≌△EBD（SSS），
∴∠ABD＝∠EBD＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠EBD﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故选：B．
11．如图，AB＝CD，AC＝BD，且 AC 交 BD 于点 O，在原图形的基础上，要利用“SSS”证
△AOB≌△DOC，可以添加的条件是 OA ＝ OD ．（写出一个即可）
【答案】OA＝OD．
【解答】解：∵AC＝BD，
若OA＝OD，则可得OB＝OC，
∴可利用SSS证明△AOB≌△DOC．
故答案为：OA＝OD．
12．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠CAB＝20°，则∠DAB的度数为 20 ° ．【答案】20°．
【解答】解：在△ACB和△ADB中，
{AC=AD
)
BC=BD ，
AB=AB
∴△ACB≌△ADB（SSS），
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
故答案为：20°．
13．如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度
数为 2 5 °．
【答案】25．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
{AB=AD
)
AC=AC ，
CB=CD
∴△ABC≌△ADC（SSS），
又∠BCD＝50°，
1
∴∠ACB=∠ACD= ∠BCD=25°，
2
故答案为：25．
14．平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，1），若AO＝BO且AO⊥BO，则点B的坐标为 （ 1 ， 2 ）或
（﹣ 1 ，﹣ 2 ） ．
【答案】（1，2）或（﹣1，﹣2）．
【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝∠AOC+∠BOD，
∴∠OAC＝∠BOD，
在△AOC与△OBD中，
{∠ACO=∠ODB
)
∠OAC=∠BOD ，
OA=OB
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴AC＝OD，OC＝BD，
∵点A（﹣2，1），
∴AC＝OD＝1，OC＝BD＝2，
∴B（1，2）或（﹣1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．
15．如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交
于点M，N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②∠DAE＝∠ABD；③AC＝DN；④EM＝BN．
其中正确结论的是（填序号） ①②④ ．【答案】①②④．
【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴AC＝DC，EC＝BC，∠ADC＝∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB＝60°+∠DCE，
在△ACE和△DCB中，
{
AC=DC
)
∠ACE=∠DCB ，
EC=BC
∴△ACE≌△DCB（SAS），
故①正确；
∴∠CEA＝∠ABD，
∵A，C，B三点在同一条直线上，
∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，
∴∠ADC＝∠DCE，∠MCE＝∠NCB，
∴AD∥CE，
∴∠DAE＝∠CEA，
∴∠DAE＝∠ABD，
故②正确；
在△MCE和△NCB中，
{∠CEM=∠CBN
)
EC=BC ，
∠MCE=∠NCB
∴△MCE≌△NCB（ASA），
∴CM＝CN，EM＝BN，
故④正确；
∴△MCN是等边三角形，
∴∠CNM＝60°，
∴∠DNC＞60°，
∴∠DNC＞∠DCN，
∴DC≠DN，
∴AC≠DN，
故③错误，故答案为：①②④．
16．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
{AC=DF
)
BC=EF ，
AB=DE
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
17．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．
求证：△DEF≌△ABC．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵DA＝EB，
∴DE＝AB，
在△DEF和△ABC中，
{EF=BC
)
DF=AC ，
DE=AB
∴△DEF≌△ABC（SSS）．
18．如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣3）和（﹣2，1）
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）点C的坐标为 （ 3 ， 1 ） ；
（3）网格中存在格点D，使得△CBD≌△BCA，请写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）图见解析；
（2）（3，1）；
（3）（﹣1，﹣3）或（﹣1，5）或（2，5）．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）C（3，1）；
故答案为：（3，1）；
（3）使得△CBD≌△BCA，点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣1，5）或（2，5）．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC上两点，连结AD，AE，且AD＝AE．求证：BD＝
CE．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．”
小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．【答案】证明见解析．
【解答】解：选择小明的方法完成证明，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，
∴∠ADB＝∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
{
∠B=∠C
)
∠ADB=∠AEC ，
AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝CE．
20．如图，△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8cm，BC＝6cm，点D为AB边上的点，且AD＝BD．点P在线段
BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以a cm/s的速度由C点向A点运动，
设运动时间为t（秒）．
（1）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）△BPD≌△CQP，理由见解析；
8
（2）a= ．
3
【解答】解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下：
由题意可得：
∴a＝2，
∴当t＝1时，PB＝CQ＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝8，
∵AD＝BD，
1
∴BD= AB=4，
2
∴BD＝PC＝4，
在△BPD和△CQP中，
{PC=BD
)
∠C=∠B ，
CQ=PB
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）由题意可得：PB≠CQ，
∵△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C，
∴△DBP≌△QCP，
∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，
∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，
3
∴t= ，
2
3
∴ a=4，
2
8
解得a= ，
3
8
∴当a= 时，能够使△BPD与△CQP全等．
3
