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专题第 01 讲 等腰（边）三角形的判定与性质
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的
平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝
∠ACB，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
根据角平分线定义得到 ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
2．（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交
AB，AC于点E，F．（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，
∴AB+AC＝18﹣6＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12．
3．（2023春•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交
BE于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
4．（2023春•淄博期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长
线于点E，
（1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；
（2）当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件得出∠C+∠E＝90°，∠B+∠BDF＝90，再根据∠B＝∠C得出∠BDF＝
∠E，最后根据∠BDF＝∠ADE，得出∠E＝∠ADE，即可证出AD＝AE．
（2）作法同（1）完全相同．
【解答】解：（1）AD＝AE；
理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠E＝90°，
∴∠E＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠EDA，
∴∠E＝∠EDA，
∴AE＝AD；
（2）成立；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠FEC＝90°，
∴∠FEC＝∠BDF，
∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD．
5．（2023春•郫都区期末）如图，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，DE∥BN交BC于点
E．（解答过程要求写出每步推导的理由）
（1）求∠BDC的度数；
（2）若AB＝AC，求证：AE⊥BC．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBN+∠BCM＝180°，再根据角平分线的定义可得∠NBD＝
∠DBE＝ ∠NBC，∠ECD＝∠DCM＝ ∠BCM，然后再利用等式的性质可得∠DBC+∠ECD＝90°，最
后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△BED和△CED是等腰三角形，从而可得BE＝DE，CE
＝DE，进而可得BE＝CE，然后根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答．
【解答】（1）解：∵BN∥AM（已知），
∴∠CBN+∠BCM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵CD、BD分别是∠BCM、∠CBN的角平分线（已知），
∴∠NBD＝∠DBE＝ ∠NBC，∠ECD＝∠DCM＝ ∠BCM（角平分线的定义），
∴∠DBC+∠ECD＝ （∠NBC+∠BCM）＝90°（等式的性质），
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠ECD）＝90°（三角形内角和定理）；
（2）证明：∵DE∥BN（已知），
∴∠NBD＝∠BDE（两直线平行，内错角相等），
∵∠NBD＝∠DBE（已证），
∴∠BDE＝∠DBE（等量代换），
∴EB＝ED（等角对等边），
∵AM∥BN（已知），
∴DE∥AM（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠EDC＝∠DCM（两直线平行，内错角相等），
∵∠DCM＝∠ECD（已证），
∴∠EDC＝∠ECD（等量代换）
∴EC＝ED（等角对等边），
∴EB＝EC（等量代换），
∵AB＝AC（已知）
∴AE⊥BC（等腰三角形的三线合一）．
6．（2023春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△ABC中，
AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的长．
解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，
∵ED＝BD，AD⊥BC，
∴AB＝AE（ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ）．
∴ ∠ ABE ＝∠AEB（ 等边对等角 ）．
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C．
∵∠AEB+∠AEC＝180°（ 平角定义 ），
∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（ 三角形内角和等于 180 ° ），
∴∠AEB＝∠EAC+∠C．
∴ ∠ C ＝∠EAC．
∴ EA ＝ EC （ 等角对等边 ）．∴AB＝CE（ 等量代换 ）．
∵AB＝6，BD＝2，
∴CE＝6，ED＝2．
∴CD＝CE+ED＝6+2＝8．
【分析】在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，先根据线段垂直平分线的性质可得AB＝AE，
从而可得∠ABE＝∠AEB，进而可得∠AEB＝2∠C．然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得
∠AEB＝∠EAC+∠C，从而可得∠C＝∠EAC，进而可得EA＝EC，再利用等量代换可得AB＝CE＝6，
最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，
∵ED＝BD，AD⊥BC，
∴AB＝AE（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
∴∠ABE＝∠AEB（等边对等角）．
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C．
∵∠AEB+∠AEC＝180°（平角定义），
∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（三角形内角和等于180°），
∴∠AEB＝∠EAC+∠C．
∴∠C＝∠EAC．
∴EA＝EC（等角对等边）．
∴AB＝CE（等量代换）．
∵AB＝6，BD＝2，
∴CE＝6，ED＝2．
∴CD＝CE+ED＝6+2＝8，
故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；∠ABE；等边对等角；平角定义；
三角形内角和等于180°；∠C；EA；EC；等角对等边；等量代换．
7．（2023春•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝
∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可
得CD＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝ ，则∠ACB
＝90°﹣ ，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，最后利用三角形内角和定理可得
α
∠BCD＝2 ，即可解答；
α α
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3 ，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝
α
FD时；分别进行计算即可解答．
α
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝ ，则∠ACB＝90°﹣ ，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，
α α
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣ ）﹣（90°﹣ ）＝2 ，
α
∴∠BCD＝2∠CBE；
α α α
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝ +2 ＝3 ，
分三种情况：
α α α
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3 ，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣ ，
α
∴90°﹣ ＝3 ，
α
α α∴ ＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2 ＝45°；
α
当DB＝DF时，
α
∴∠DBE＝∠BFD＝3 ，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣ ﹣ ＝90°﹣2 ，
α
∴90°﹣2 ＝3 ，
α α α
∴ ＝18°，
α α
∴∠A＝∠BCD＝2 ＝36°；
α
当FB＝FD时，
α
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
8．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于
点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC＝AD即可；
（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据已知条件得到∠1＝∠2＝∠3＝ （180°﹣∠BAD）＝20°，根据
等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根据平行线的选择得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到
结论．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝ （180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
9．（2023春•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE
＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F．
（1）说明△AEF是等腰三角形的理由；
（2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得：∠A＝∠AEF，从而可得结论；
（2）设∠A＝x，∠D＝y，当△BEF是等腰三角形时，存在两种情况：①当∠BFE＝∠BEF时，2x＝
2y，②当∠BEF＝∠ABE时，x＝2y，根据三角形内角和定理列方程可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE＝DE，
∴∠CBE＝∠D，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE，∠ACB＝∠D+∠CED，
∴∠ABE＝∠CED，
∵AE＝BE，∴∠A＝∠ABE，
∵∠AEF＝∠CED，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）设∠A＝x，∠D＝y，
∴∠ABE＝x，∠BFE＝∠A+∠AEF＝2x，∠BEF＝∠D+∠DBE＝2y，
∴∠BFE≠∠ABE，
∴当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况：
①当∠BFE＝∠BEF时，2x＝2y，
∴x＝y，
△AEF中，2x+2y+x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°；
②当∠BEF＝∠ABE时，x＝2y，
∵2x+2y+x＝180°，
∴4x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠A＝45°，
综上，∠A的度数为36°或45°．
10．（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把
△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方
法）
（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相
应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；
（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出
两个条件，无需证明）
【分析】（1）按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可；
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，
一共有4种情况，分别画图即可；
（3）根据（1）（2）中的图形总结即可．
【解答】解：（1）如图所示：（2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示：
图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，
图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°，
故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；
（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：
①该三角形是直角三角形；
②该三角形有一个角是最小角的2倍；
③该三角形有一个角是其中一个角的3倍．
11．（2022秋•阳谷县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形．
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【分析】（1）AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，可得∠OEB＝
∠ODC＝90°；∠BOE＝∠COD，根据内角和定理，可得∠OBE＝∠OCD，∠OBC＝∠OCB，进而可证
△OBC是等腰三角形；
（2）欲证明O在∠BAC的平分线上，只需推知OE＝OD即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，∵∠BOE＝∠COD，∠OBE＝180°﹣（∠OEB+∠BOE），∠OCD＝180°﹣（∠ODC+∠COD），
∴∠OBE＝∠OCD，
∵∠OBC＝∠ABC﹣∠OBE，∠OCB＝∠ACB﹣∠OCD，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形；
（2）解：在△BEO与△CDO中，
，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE＝OD，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴O在∠BAC的平分线上．
12．（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点
E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．
【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然
后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结
论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，BD＝4，
∴BE＝ BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
13．（2022秋•开福区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，
求DF的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，
即△CDE是等腰三角形；
（2）解：∵DE∥BC，∠ABC＝30°
，∴∠ADE＝∠ABC＝30°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
由（1）可知，∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝30°，
∵BF＝DF，
∴∠B＝∠BDF＝30°，
∴∠DFC＝30°+30°＝60°，
在Rt△DFC中，∠FDC＝90°，∠FCD＝30°，
∴ ，
又∵DF＝BF，BC＝12，
∴ ．14．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．
【分析】（1）证明△ABC≌△ADC，即可得出BC＝DC；
（2）在等腰三角形BCD中先求出∠CBD＝∠CDB＝25°，即可求出∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝75°．
【解答】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝DC，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵BC＝DC，∠BCD＝130°，
∴∠CBD＝∠CDB＝ （180°﹣∠BCD）＝ （180°﹣130°）＝25°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝50°+25°＝75°．
15．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
α
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α
α
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求
三角形的形状；
α（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨
即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC， ＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝ ＝150°，
α
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
α
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣ ﹣60°＝190°﹣ ，
α
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝ ﹣60°，
α α
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣ ）﹣（ ﹣60°）＝50°．
α
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣ ＝ ﹣60°，
α α
∴ ＝125°．
α α
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣ ＝50°，
α
∴ ＝140°．
α
③当∠ADO＝∠OAD时，
α
﹣60°＝50°，
∴ ＝110°．
α
综上所述：当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
α
16．（2023春•榆阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交
α
AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：
（1）△ADC是等边三角形；
（2）点E在线段CD的垂直平分线上．【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质
可得 ，根据DE是AB的垂直平分线，可得 ，即可证明△ADC是等边三角形；
（2）根据垂直平分线的性质可得 AE＝BE，进而可得AE平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DE＝
DC，根据等边三角形的性质可得AD＝AC，即可得证．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°， ，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴ ，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形；
（2）证明：DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，DE⊥AB，
∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝DC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC，
∴点E在线段CD的垂直平分线上．
17．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且
DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．
（1）求证：△ADB是等边三角形．
（2）求证：AE⊥DB．【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再
由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝30°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB＝∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形；
（2）∵CE∥DA，
∴∠BEC＝∠ADB＝60，
∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴CE＝BE＝CB，
∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°，
∴BC＝ BD，
∴CE＝ BD，
∴E是BD的中点，
∴AE是边BD的中线，
∵△ADB是等边三角形，
∴AE⊥BD．
18．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，
点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．【分析】（1）根据等边三角形性质得出 AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝
∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝ AD，BN＝ BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED
＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解
答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长
为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，
由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角
形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相
等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代
换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
20．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN
交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，
结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由 ASA 得出
△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵ ，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵ ，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
21．（2022秋•南充期末）如图，在等边△ABC中，AC＝12cm，点M以2cm/s的速度从点B出发向点A运
动（不与点A重合），点N以3cm/s的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时
运动，运动时间为ts．
（1）在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？
（2）在点M，N运动过程中，△BMN的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间 t；若不能，
请说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的判定，当BM＝BN时，△BMN是等边三角形，由此即可解决问题；
（2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：BM＝2t，BN＝12﹣3t．
则当BM＝BN时，△BMN是等边三角形．
∴2t＝12﹣3t．
解得：t＝ ．
∴经过 s时△BMN为等边三角形；
（2）分两种情况：
①如图1，当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°．∴ ．
∴ ．
∴ ．
②如图2，当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°．
∴ ．
∴ ．
∴t＝3．
∴在点M，N运动过程中，当运动时间 或t＝3s时，△BMN为直角三角形．
22．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据＝∠C＝60°计算出∠ADC＝60°，然后求出∠C＝60°，利用等边三角形的判定从而得
证；
（2）根据＝∠C＝60°°，然后求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝120°，
∴∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，
∵AE⊥BC，，
∴∠AEC＝90°
∴∠C+∠CAE＝90°．
∵∠CAE＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝∠C＝60°，
∴AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形；
（2）由（1）得：∠C＝60°，∵△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
23．（2022春•林甸县期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°
角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给
予证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论．
（2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC
∵∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴EC＝CD＝DB，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD＝AE，且∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，
∵∠ACB＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE，∴∠DAF＝∠DEC，
∴△ADF≌△EDC（AAS），
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
24．（2021秋•随县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．
∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝ ×120°＝60°，再由AD＝AB，即
可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证
明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝ ×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠ABD＝∠EDF，∴∠ABD﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
25．（2021秋•白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一
点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝
∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．
【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
26．（2021秋•阎良区期末）如图，点 P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且 MP⊥AB于点 P，
MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝
12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得
出MC的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，
∴PB＝4cm，
∴MC＝4cm．
27．（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：
变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
（1）请你解答上面的变式题．
（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 60 ° ．
（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当
∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．
【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则
∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则
∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，
∠B＝ ＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；
（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，
故答案为：60°．
（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（ ）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当 ≠180﹣2x且180﹣2x≠x且 ≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．
28．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB＝30°，∠ABC＝60°，根据AE＝EB＝BD，可
得∠ECB＝ ∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝ ∠ACB＝30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可证得结论；
（3）先求得BE＝FC，然后证得△DBE≌△EFC即可；
【解答】证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵AE＝BD
∴BE＝BD，
∴∠ECB＝ ∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝ ∠ACB＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED；（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）EC＝ED；
理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．
29．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD
平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 5 个等腰三角形；EF
与BE、CF之间的数量关系是 BE + CF ＝ EF ，△AEF的周长是 2 0
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC
＝10”其余条件不变，则图中共有 2 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明
你的结论，并求出△AEF的周长
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点
D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论
不证明．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错
角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等
角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可
得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边
可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
【解答】解：（1）BE+CF＝EF．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即BE+CF＝EF，
△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．
故答案为：5；BE+CF＝EF；20；
（2）BE+CF＝EF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．
可得△AEF的周长为18．
（3）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
30．（2021秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB
于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，
MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线
于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可
得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得
出答案．
【解答】（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝ ．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE＝ ．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．
（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
