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专题 12.2.4 三角形全等的判定 4(AAS)
目标导航
1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“AAS”条件判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的
良好品质以及发现问题的能力.
知识精讲
知识点01三角形全等的判定4：(AAS)
知识点
三角形全等的判定4：角角边(AAS)
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
A A'
B C B' C'
图形：
在 与 中，
符号：
【微点拨】
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的
关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
【知识拓展1】角角边判定三角形全等的条件
例1．(2021•覃塘区八年级期末)如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充
一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．
【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．
在△ACE 与△DBF 中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D 可以使用“AAS”的方法得
△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．
【即学即练】
1．(2021•句容市八年级月考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明
△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由
ASA证明△ABC≌△DCB．
【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进
行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．
【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中
的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对
边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【知识拓展2】利用AAS判定三角形全等(实际应用)
例2．(2021•南关区八年级期末)如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴
B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点 A时，测得点A到BD的距离AC
＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
(1)求A'到BD的距离；(2)求A'到地面的距离．
【分析】(1)作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：(1)如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A△'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中， ，
∴△ACB≌△BFA'(AAS)；∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1(m)，∴A'F＝1(m)，即A'到BD的距离是1m．
(2)由(1)知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，
作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1(m)，【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练】
2.(2022•嘉定区八年级期末)如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别
到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？
【分析】要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三
角形的性质就可以的得出结论．
【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．
理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．
在△AEM和△BFN中， ，
∴△AEM≌△BFN(AAS)，∴AE＝BF．∴A，B两地到路段MN的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形
全等的条件是关键．
【知识拓展3】利用AAS证明三角形全等(求线段的长度)
例3．(2022·黑龙江黑河·八年级期末)如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点
A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，△则DE=________cm．
【答案】12
【分析】用AAS证明 ABD≌△CAE，得AD=CE，BD=AE，得到DE=BD+CE=7+5=12cm．
【详解】∵∠BAC＝90△°，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠EAC＝∠ABD，
∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝12cm．故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形全等，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
【即学即练1】
3．(2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末)如图，E是 的边 的中点，过点C作
，过点E作直线 交 于D，交 于F，若 ，则 的长为__________．
【答案】2.5
【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，求出AE= EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根
据全等三角形的性质推出即可．
【详解】证明：∵CF//AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，
∵点E为AC的中点，∴AE= EC，在△ADE和∆CFE中，
∴△ADE≌∆CFE(AAS)，∴AD= CF= 6.5，
∵AB= 9，∴BD= AB- AD=9- 6.5= 2.5，故答案为： 2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三
角形的判定定理有SAS，ASA， AAS，SSS．
【知识拓展4】利用AAS证明三角形全等(求角的度数)
例4．(2022·山东·八年级期末)如图，点D在边AC上，BC与DE交于点P， ， ，∠CDE
＝∠ABD．(1) 与 全等吗？为什么？(2)已知 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ，见解析；(2)
【分析】(1)通过三角形内角和为 ，可以得到∠CDE＝∠CBE，通过找角的关系可以得到∠ABC＝
∠DBE，又因为 ，即可证明 ．
(2)在(1)问的证明中我们可以证得∠ABD＝∠CBE=∠CDE，即可解题．
(1) ．
理由：∵∠C＝∠E，∠CPD＝∠EPB，
∴ ，∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠CDE＝∠ABD，∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，
又∵∠C＝∠E，AB＝DB，
∴ ．
(2)∵∠ABE＝157°，∠DBC＝27°，∴ ，
∴∠CDE＝∠CBE＝65°．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，熟记对顶角相等，熟练掌握运用全等三角形的判定定理是解答本
题的关键．
【即学即练2】
2．(2021•迁安市期中)如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作
ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．(1)求证：AB＝BD；(2)若∠DBC＝34°，求
∠BFE的度数．
【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝
BD；(2)根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最
后根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：(1)∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中， ，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AB＝BD；
(2)∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，
∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据 AAS 证出
△ABC≌△BDE．
【知识拓展5】利用AAS证明三角形全等(证明类)
例5．(2021•沙坪坝区校级期中)如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长
线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
(1) ABD≌△CED；(2)CA平分∠BCF．
△【分析】(1)由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；
(2)证明△BDC≌△FDC(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．
【解答】证明：(1)∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，
∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中， ，∴△ABD≌△CED(AAS)；
(2)∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，
∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，
在△BDC 和△FDC 中， ，∴△BDC≌△FDC(SAS)，∴∠BCD＝∠FCD，∴CA 平分
∠BCF．
【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题的关键．
【即学即练5】
5．(2022·浙江·瑞安市八年级阶段练习)如图，在 中， ， ， 平分 ，
，垂足为点E， 和 的延长线交于点F．(1)求证： ．(2)求证： ．【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】(1)首先根据同角的余角相等得到 ，然后根据AAS证明即可；(2)首先根据ASA证
明 ，然后得到FE=AE，结合(1)问结论根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】(1)∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
在 和 中 ∴ (AAS)
(2)∵ ∴
∵ 平分 ∴
在 和 中
∴ (ASA)∴FE=AE∴
∵ ∴CD=AF∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是先证明两个三角形全等，然后利用全等的性质证明．
6．(2021•西城区八年级期末)如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
(1)求证：BC＝CD；(2)连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
【分析】(1)由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；
(2)由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
【解答】证明：(1)∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中， ，∴△ABC≌△ECD(AAS)，∴BC＝CD；
(2)如图，连接BD，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，
又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
能力拓展
考法01 利用AAS证明三角形全等(探究类)
【典例1】(2022·山东烟台·七年级期末)如图1，已知 中， ， ， 、 分别与
过点 的直线垂直，且垂足分别为E，D．
(1)猜想线段AD、 、 三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点 旋转到 的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、 、 三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若
不改变，请说明理由；②若 ， 时，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析(2)①发生改变， ；②1.3
【分析】(1)证明 ，可得 ，CD＝BE， 即可求解；
(2)①证明 ，可得 ，CD＝BE， 即可求解；②由①可得 ，从而得到
，即可求解．(1)解： ， 理由如下：
∵ 、 分别与过点 的直线垂直，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
， ，CD＝BE，
∵ DE＝EC＋CD， ；
(2)解：①发生改变．
∵ 、 分别与过点 的直线垂直，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
， ，CD＝BE，
∵ DE＝CE-CD， ∴ ；
②由①知： ，∴ ，∴BE的长为1.3.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质
是解题的关键．
变式1．(2022•呼兰区八年级期中)如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于
E，过点B作BF⊥AC于F．(1)若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；(2)请直接写出线段BF、EF、DE三者间
的数量关系．
【分析】(1)证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；(2)由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．
【解答】(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴∠ABF＝∠DAE，
∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；
(2)解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，
∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，
解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
变式2．(2021•华容县八年级期末)如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点
(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．(1)求证：EF＝CF﹣BE．(2)若点P为BC延长线
上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
【分析】(1)由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝
∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；
(2)如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝
∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．
【解答】解：(1)证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；
(2)EF＝BE+CF 理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中， ，∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质
的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．
考法02 全等中的坐标问题
【典例2】(2022·黑龙江牡丹江·八年级期末)如图，在平面直角坐标系中A(0，2)，B(﹣1，0)，以点A为直
角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC．(1)设点C的坐标为(a，b)，求a+b的值．(2)求四边
形OACB的面积．(3)在(1)的条件下，坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使△PAB与△ABC全等？
若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1 (2) (3)存在，P的坐标是 或 或
【分析】(1)如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，可知△ECA≌△OAB，知 的长，得到 的坐标，
进而得到 的值，进而得到 的值；(2)如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，
，代线段值求解即可；
(3)分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，
△PEB≌△BOA，得 的值，进而表示 的点坐标即可；②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得 的值，进而
表示 的点坐标即可；③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，
△CMB≌△BEP，得 的值，进而表示 的点坐标即可．
(1)解：如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，
∴∠CEA＝90°∵A ，B ∴OA＝2，OB＝1
∵∠BAC＝90°∴∠BAO+∠CAE＝90°
∵∠ECA+∠CAE＝90°∴∠ECA＝∠BAO
在△ECA和△OAB中
∴△ECA≌△OAB(AAS)∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1
即OE＝EA+OA＝3∴C点坐标为
∴ ∴ ．
(2)解：如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，．
(3)解：存在点P，使△PAB与△ABC全等；
分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，
∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°∴∠EPB＝∠ABO
在△PEB和△BOA ∴△PEB≌△BOA(AAS)
∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2∴ ，即P的坐标是 ；
②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝
90°，∵△CAB≌△PAB∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP
∴∠CBP＝90°∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°∴∠MCB＝∠PBE
在△CMB和△BEP中
∴△CMB≌△BEP(AAS)∴PE＝BM，CM＝BE
∵ ∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2即P的坐标是 ；
③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，
∵△CAB≌△PBA∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°
∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°∴∠ABO＝∠BPE
在△BOA和△PEB中 ∴△BOA≌△PEB(AAS)
∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，∴OE＝BE+BO＝2+1＝3，即P的坐标是 ；综合上述，符合条件的P的坐标是 或 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角坐标系中的点坐标．解题的关键在于全面考虑三角形
全等的可能情况．
变式1．(2022·全国·八年级专题练习)如图，在 ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为(﹣2，0)，
点B的坐标为(1，5)，则A点的坐标是_____．△
【答案】(-7，3)
【分析】先作辅助线 、 ，通过导角证明 ，再证明 ， 得
到AD的长度(A的纵坐标长度)、DC长度(加上OC得到A横坐标长度)，根据A点所在象限的符号，确定A
点坐标．
【详解】如图，过点A作 于点D，过点B作 于点E
点C的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，5)
OC=2，OE=1，BE=5
在 和 中，
A点的坐标是(-7，3) ．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．
变式2.(2022·福建宁德·八年级期中)在平面直角坐标系中，等腰直角 顶点 、 分别在 轴、 轴上，
且 ， ．(1)如图1，当 ， ，点 在第四象限时，直接写出点 的坐标．
(2)如图2，当点 在 轴正半轴上运动，点 在 轴正半轴上运动，点 在第四象限时，作
轴于点 ，求 ， ， 之间的关系．
【答案】(1)(3，-1)(2)a＋m＋n=0，理由见解析
【分析】(1)作BD⊥x轴于D，证明△AOC≌△CDB(AAS)，可得AO=CD=2，OC=BD=1，根据点 在第四
象限，即可求解．(2)作BE⊥x轴于E，证明△CEB≌△AOC(AAS)，可得AO=CE=a，BE=CO，根据点
在第四象限时，即可求解．
(1)解：点B的坐标为(3，-1)．理由如下：作BD⊥x轴于D，
∴∠AOC=90°=∠BDC，∴∠OAC＋∠ACO=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACO＋∠BCD=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△AOC和△CDB中， ，
∴△AOC≌△CDB(AAS)，∴AO=CD，OC=BD，
∵A(0，-2)，C(1，0)，∴AO=CD=2，OC=BD=1，∴OD=3，
∵B在第四象限，∴点B的坐标为(3，-1)；
(2)解：a＋m＋n=0．证明：作BE⊥x轴于E，
∴∠BEC=∠AOC=90°，∴∠1＋∠2=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∴∠2=∠3，
在△CEB和△AOC中， ，
∴△CEB≌△AOC(AAS)，∴AO=CE=a，BE=CO，
∵BE⊥x轴于E，∴BE y轴，
∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O，
∴EO=BD=m，∴BE=-n，∴a＋m=-n，∴a＋m＋n=0．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，第四象限点的坐标特征，数形结合是解题的
关键．
分层提分
题组A 基础过关练1．(2021·河南洛阳·八年级期中)已知：如图， ， ，要使 ，需添加一个条件，
则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】解： 、添加条件 判定 用的判定方法是 ，故原题说法正确，符合题
意；
、添加条件 不能判定 ，故原题说法错误，不符合题意；
、添加条件 判定 用的判定方法是 ，故原题说法错误，不符合题意；
、添加条件 判定 用的判定方法是 ，故原题说法错误，不符合题意；故选：
A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、
、 ．解题的关键是注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有
边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2.(2022•东台市期中)根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是( )
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意；
C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能画出△ABC；故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS，熟练
掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．(2021·北京市师达中学八年级期中)如图，AE⊥AB且 ，BC⊥CD且 ，请按照图中所标注
的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是( )A．30 B．32 C．35 D．38
【答案】B
【分析】根据角的和差关系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可证明 AEF≌ BAG，可得AF=BG，EF=AG，
同理可证明 CDH≌ BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出F△H、AC的△长，根据实线所围成的图形的
面积=S E△FHD-2S △ABC，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．
梯形
【详解】∵AE⊥AB，△EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，
在 AEF和 BAG中， ，∴ AEF≌ BAG，∴AF=BG=2，EF=AG=5，
△ △ △ △
同理可得： CDH≌ BCG，∴CH=BG=2，CG=DH=3，∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，
△ △
∴实线所围成的图形的面积=S EFHD-2S ABC= =32．故选：B．
梯形
△
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键．
4．(2021·山东烟台·九年级期中)数学活动课上，小敏、小颖分别画了 ABC和 DEF，数据如图，如果把
小敏画的三角形面积记作S ABC，小颖画的三角形面积记作S DEF△，那么你△认为( )
△ △
A．S ABC >S DEF B．S ABC
