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专题 12.2.4 三角形全等的判定 4(AAS)
目标导航
1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“AAS”条件判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的
良好品质以及发现问题的能力.
知识精讲
知识点01三角形全等的判定4：(AAS)
知识点
三角形全等的判定4：角角边(AAS)
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
A A'
B C B' C'
图形：
在 与 中，
符号：
【微点拨】
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的
关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
【知识拓展1】角角边判定三角形全等的条件
例1．(2021•覃塘区八年级期末)如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充
一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．
【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．
在△ACE 与△DBF 中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D 可以使用“AAS”的方法得
△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL．
【即学即练】
1．(2021•句容市八年级月考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明
△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由
ASA证明△ABC≌△DCB．
【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进
行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．
【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中
的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对
边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【知识拓展2】利用AAS判定三角形全等(实际应用)
例2．(2021•南关区八年级期末)如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴
B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点 A时，测得点A到BD的距离AC
＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
(1)求A'到BD的距离；(2)求A'到地面的距离．
【分析】(1)作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：(1)如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A△'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中， ，
∴△ACB≌△BFA'(AAS)；∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1(m)，∴A'F＝1(m)，即A'到BD的距离是1m．
(2)由(1)知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，
作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1(m)，【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练】
2.(2022•嘉定区八年级期末)如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别
到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？
【分析】要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三
角形的性质就可以的得出结论．
【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．
理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．
在△AEM和△BFN中， ，
∴△AEM≌△BFN(AAS)，∴AE＝BF．∴A，B两地到路段MN的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形
全等的条件是关键．
【知识拓展3】利用AAS证明三角形全等(求线段的长度)
例3．(2022·黑龙江黑河·八年级期末)如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点
A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，△则DE=________cm．
【答案】12
【分析】用AAS证明 ABD≌△CAE，得AD=CE，BD=AE，得到DE=BD+CE=7+5=12cm．
【详解】∵∠BAC＝90△°，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠EAC＝∠ABD，
∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝12cm．故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形全等，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
【即学即练1】
3．(2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末)如图，E是 的边 的中点，过点C作
，过点E作直线 交 于D，交 于F，若 ，则 的长为__________．
【答案】2.5
【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，求出AE= EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根
据全等三角形的性质推出即可．
【详解】证明：∵CF//AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，
∵点E为AC的中点，∴AE= EC，在△ADE和∆CFE中，
∴△ADE≌∆CFE(AAS)，∴AD= CF= 6.5，
∵AB= 9，∴BD= AB- AD=9- 6.5= 2.5，故答案为： 2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三
角形的判定定理有SAS，ASA， AAS，SSS．
【知识拓展4】利用AAS证明三角形全等(求角的度数)
例4．(2022·山东·八年级期末)如图，点D在边AC上，BC与DE交于点P， ， ，∠CDE
＝∠ABD．(1) 与 全等吗？为什么？(2)已知 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ，见解析；(2)
【分析】(1)通过三角形内角和为 ，可以得到∠CDE＝∠CBE，通过找角的关系可以得到∠ABC＝
∠DBE，又因为 ，即可证明 ．
(2)在(1)问的证明中我们可以证得∠ABD＝∠CBE=∠CDE，即可解题．
(1) ．
理由：∵∠C＝∠E，∠CPD＝∠EPB，
∴ ，∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠CDE＝∠ABD，∴∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，
又∵∠C＝∠E，AB＝DB，
∴ ．
(2)∵∠ABE＝157°，∠DBC＝27°，∴ ，
∴∠CDE＝∠CBE＝65°．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，熟记对顶角相等，熟练掌握运用全等三角形的判定定理是解答本
题的关键．
【即学即练2】
2．(2021•迁安市期中)如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作
ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．(1)求证：AB＝BD；(2)若∠DBC＝34°，求
∠BFE的度数．
【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝
BD；(2)根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最
后根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：(1)∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中， ，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AB＝BD；
(2)∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，
∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，
∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据 AAS 证出
△ABC≌△BDE．
【知识拓展5】利用AAS证明三角形全等(证明类)
例5．(2021•沙坪坝区校级期中)如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长
线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
(1) ABD≌△CED；(2)CA平分∠BCF．
△【分析】(1)由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；
(2)证明△BDC≌△FDC(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．
【解答】证明：(1)∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，
∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中， ，∴△ABD≌△CED(AAS)；
(2)∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，
∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，
在△BDC 和△FDC 中， ，∴△BDC≌△FDC(SAS)，∴∠BCD＝∠FCD，∴CA 平分
∠BCF．
【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题的关键．
【即学即练5】
5．(2022·浙江·瑞安市八年级阶段练习)如图，在 中， ， ， 平分 ，
，垂足为点E， 和 的延长线交于点F．(1)求证： ．(2)求证： ．【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】(1)首先根据同角的余角相等得到 ，然后根据AAS证明即可；(2)首先根据ASA证
明 ，然后得到FE=AE，结合(1)问结论根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】(1)∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
在 和 中 ∴ (AAS)
(2)∵ ∴
∵ 平分 ∴
在 和 中
∴ (ASA)∴FE=AE∴
∵ ∴CD=AF∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是先证明两个三角形全等，然后利用全等的性质证明．
6．(2021•西城区八年级期末)如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
(1)求证：BC＝CD；(2)连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
【分析】(1)由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；
(2)由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
【解答】证明：(1)∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中， ，∴△ABC≌△ECD(AAS)，∴BC＝CD；
(2)如图，连接BD，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，
又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
能力拓展
考法01 利用AAS证明三角形全等(探究类)
【典例1】(2022·山东烟台·七年级期末)如图1，已知 中， ， ， 、 分别与
过点 的直线垂直，且垂足分别为E，D．
(1)猜想线段AD、 、 三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点 旋转到 的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、 、 三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若
不改变，请说明理由；②若 ， 时，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析(2)①发生改变， ；②1.3
【分析】(1)证明 ，可得 ，CD＝BE， 即可求解；
(2)①证明 ，可得 ，CD＝BE， 即可求解；②由①可得 ，从而得到
，即可求解．(1)解： ， 理由如下：
∵ 、 分别与过点 的直线垂直，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
， ，CD＝BE，
∵ DE＝EC＋CD， ；
(2)解：①发生改变．
∵ 、 分别与过点 的直线垂直，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，
， ，CD＝BE，
∵ DE＝CE-CD， ∴ ；
②由①知： ，∴ ，∴BE的长为1.3.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质
是解题的关键．
变式1．(2022•呼兰区八年级期中)如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于
E，过点B作BF⊥AC于F．(1)若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；(2)请直接写出线段BF、EF、DE三者间
的数量关系．
【分析】(1)证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；(2)由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．
【解答】(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴∠ABF＝∠DAE，
∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；
(2)解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，
∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，
解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
变式2．(2021•华容县八年级期末)如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点
(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．(1)求证：EF＝CF﹣BE．(2)若点P为BC延长线
上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
【分析】(1)由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝
∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；
(2)如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝
∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．
【解答】解：(1)证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；
(2)EF＝BE+CF 理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中， ，∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质
的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．
考法02 全等中的坐标问题
【典例2】(2022·黑龙江牡丹江·八年级期末)如图，在平面直角坐标系中A(0，2)，B(﹣1，0)，以点A为直
角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC．(1)设点C的坐标为(a，b)，求a+b的值．(2)求四边
形OACB的面积．(3)在(1)的条件下，坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使△PAB与△ABC全等？
若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1 (2) (3)存在，P的坐标是 或 或
【分析】(1)如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，可知△ECA≌△OAB，知 的长，得到 的坐标，
进而得到 的值，进而得到 的值；(2)如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，
，代线段值求解即可；
(3)分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，
△PEB≌△BOA，得 的值，进而表示 的点坐标即可；②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得 的值，进而
表示 的点坐标即可；③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，
△CMB≌△BEP，得 的值，进而表示 的点坐标即可．
(1)解：如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，
∴∠CEA＝90°∵A ，B ∴OA＝2，OB＝1
∵∠BAC＝90°∴∠BAO+∠CAE＝90°
∵∠ECA+∠CAE＝90°∴∠ECA＝∠BAO
在△ECA和△OAB中
∴△ECA≌△OAB(AAS)∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1
即OE＝EA+OA＝3∴C点坐标为
∴ ∴ ．
(2)解：如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，．
(3)解：存在点P，使△PAB与△ABC全等；
分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，
∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°∴∠EPB＝∠ABO
在△PEB和△BOA ∴△PEB≌△BOA(AAS)
∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2∴ ，即P的坐标是 ；
②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝
90°，∵△CAB≌△PAB∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP
∴∠CBP＝90°∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°∴∠MCB＝∠PBE
在△CMB和△BEP中
∴△CMB≌△BEP(AAS)∴PE＝BM，CM＝BE
∵ ∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2即P的坐标是 ；
③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，
∵△CAB≌△PBA∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°
∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°∴∠ABO＝∠BPE
在△BOA和△PEB中 ∴△BOA≌△PEB(AAS)
∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，∴OE＝BE+BO＝2+1＝3，即P的坐标是 ；综合上述，符合条件的P的坐标是 或 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角坐标系中的点坐标．解题的关键在于全面考虑三角形
全等的可能情况．
变式1．(2022·全国·八年级专题练习)如图，在 ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为(﹣2，0)，
点B的坐标为(1，5)，则A点的坐标是_____．△
【答案】(-7，3)
【分析】先作辅助线 、 ，通过导角证明 ，再证明 ， 得
到AD的长度(A的纵坐标长度)、DC长度(加上OC得到A横坐标长度)，根据A点所在象限的符号，确定A
点坐标．
【详解】如图，过点A作 于点D，过点B作 于点E
点C的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，5)
OC=2，OE=1，BE=5
在 和 中，
A点的坐标是(-7，3) ．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．
变式2.(2022·福建宁德·八年级期中)在平面直角坐标系中，等腰直角 顶点 、 分别在 轴、 轴上，
且 ， ．(1)如图1，当 ， ，点 在第四象限时，直接写出点 的坐标．
(2)如图2，当点 在 轴正半轴上运动，点 在 轴正半轴上运动，点 在第四象限时，作
轴于点 ，求 ， ， 之间的关系．
【答案】(1)(3，-1)(2)a＋m＋n=0，理由见解析
【分析】(1)作BD⊥x轴于D，证明△AOC≌△CDB(AAS)，可得AO=CD=2，OC=BD=1，根据点 在第四
象限，即可求解．(2)作BE⊥x轴于E，证明△CEB≌△AOC(AAS)，可得AO=CE=a，BE=CO，根据点
在第四象限时，即可求解．
(1)解：点B的坐标为(3，-1)．理由如下：作BD⊥x轴于D，
∴∠AOC=90°=∠BDC，∴∠OAC＋∠ACO=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACO＋∠BCD=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△AOC和△CDB中， ，
∴△AOC≌△CDB(AAS)，∴AO=CD，OC=BD，
∵A(0，-2)，C(1，0)，∴AO=CD=2，OC=BD=1，∴OD=3，
∵B在第四象限，∴点B的坐标为(3，-1)；
(2)解：a＋m＋n=0．证明：作BE⊥x轴于E，
∴∠BEC=∠AOC=90°，∴∠1＋∠2=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∴∠2=∠3，
在△CEB和△AOC中， ，
∴△CEB≌△AOC(AAS)，∴AO=CE=a，BE=CO，
∵BE⊥x轴于E，∴BE y轴，
∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O，
∴EO=BD=m，∴BE=-n，∴a＋m=-n，∴a＋m＋n=0．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，第四象限点的坐标特征，数形结合是解题的
关键．
分层提分
题组A 基础过关练1．(2021·河南洛阳·八年级期中)已知：如图， ， ，要使 ，需添加一个条件，
则添加的条件以及相应的判定定理合适的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】解： 、添加条件 判定 用的判定方法是 ，故原题说法正确，符合题
意；
、添加条件 不能判定 ，故原题说法错误，不符合题意；
、添加条件 判定 用的判定方法是 ，故原题说法错误，不符合题意；
、添加条件 判定 用的判定方法是 ，故原题说法错误，不符合题意；故选：
A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、
、 ．解题的关键是注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有
边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2.(2022•东台市期中)根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是( )
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意；
C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能画出△ABC；故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS，熟练
掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．(2021·北京市师达中学八年级期中)如图，AE⊥AB且 ，BC⊥CD且 ，请按照图中所标注
的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是( )A．30 B．32 C．35 D．38
【答案】B
【分析】根据角的和差关系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可证明 AEF≌ BAG，可得AF=BG，EF=AG，
同理可证明 CDH≌ BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出F△H、AC的△长，根据实线所围成的图形的
面积=S E△FHD-2S △ABC，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．
梯形
【详解】∵AE⊥AB，△EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，
在 AEF和 BAG中， ，∴ AEF≌ BAG，∴AF=BG=2，EF=AG=5，
△ △ △ △
同理可得： CDH≌ BCG，∴CH=BG=2，CG=DH=3，∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，
△ △
∴实线所围成的图形的面积=S EFHD-2S ABC= =32．故选：B．
梯形
△
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键．
4．(2021·山东烟台·九年级期中)数学活动课上，小敏、小颖分别画了 ABC和 DEF，数据如图，如果把
小敏画的三角形面积记作S ABC，小颖画的三角形面积记作S DEF△，那么你△认为( )
△ △
A．S ABC >S DEF B．S ABC <S DEF C．S ABC =S DEF D．不能确定
【答案△】C △ △ △ △ △
【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
【详解】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在 ABG和 DHE中，AB=DE=5，
∠△B=50°，∠△DEH=180°-130°=50°，
∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，
∴ AGB≌ DHE(AAS)，∴AG=DH．
∵△BC=4，E△F=4，∴S ABC=S DEF．故选：C．
【点睛】考查全等三角△形的判△定和性质，等底等高两三角形面积相等．证明 AGB≌ DHE是解题的关键．
5．(2022春•蜀山区校级期中)如图，直线l上有三个正方形，若a，c的面积△分别为5△和11，则b的面积为(
)
A．55 B．16 C．6 D．4
【分析】根据正方形的性质，易证△BAC≌△ECD(AAS)，可得AB＝CE，BC＝DE，根据a，c的面积以及
勾股定理即可求出b的面积．
【解答】解：根据题意，得AC＝CD，∠ABC＝∠CED＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中， ，
∴△BAC≌△ECD(AAS)，∴AB＝CE，BC＝DE，
∵a，c的面积分别为5和11，∴AB2＝5，DE2＝11，∴BC2＝11，
根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2＝5+11＝16，∴b的面积为16，故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的
判定方法是解题的关键．6．(2022·全国·八年级专题练习)如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD
＝2，BE＝1．则DE＝________． △
【答案】1
【分析】先证明 ACD≌△CBE，再求出DE的长，解决问题．
【详解】解：∵△BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴
∵ ∴
∵ ∴ ∴ ，
∴ ．故答案为：1
【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质，掌握再全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7．(2021秋•长春期末)如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，∠ACB
＝90°，AC＝BC，若每个长方体教具高度均为6cm，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再
根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，根据全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD＝BE，AD＝CE，
∵DE＝CD+CE，∴DE＝BE+AD，
∵一块长方体教具的厚度为6cm，∴AD＝24cm，BE＝18cm，∴两摞长方体教具之间的距离DE的长＝24+18＝42(cm)．故答案为：42．
【点评】此题主要考查全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
8．(2022·天津蓟州·八年级期末)如图，已知 相交于点O，AB CD ．求证
．
【答案】见解析
【分析】由AB CD推出 ， ，由 推出 ，再由
推出 ，最后由 判定出 即可证得 ．
【详解】证明：∵AB CD∴ ，
∵ 又∵ ， ∴
∵ 又∵ ， ∴
在 和 中，∵ ∴ ( )∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理—— ，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
9．(2022·安徽合肥·八年级期末)如图，在 ABC和 CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知
∠ACB=∠E，AC=CE，AB DE，求证： ABC≌ CDE．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得到 ，再根据全等三角形的判定证明即可．【详解】证明：∵ ，∴ ，
在 和 CDE中， ，∴ ．
△
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
10.(2021•苏州期末)如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)求证：点O为BF的中点．
【分析】(1)由“SAS”可证△ABC≌△DFE；
(2)由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．
【解答】证明：(1)∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中， ，∴△ABC≌△DFE(SAS)；
(2)∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中， ，∴△ACO≌△DEO(AAS)，
∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
题组B 能力提升练
1．(2021·广东·东莞市沙田实验中学八年级期中)如图，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分别为
E、F两点，则图中全等的三角形有( )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直
角三角形)．
【详解】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴ ， ，
∴在△ABD和△CDB中，
∴ ；
∴ ， ，
∴在△ABE和△CDF中，
，
∴ ；
∴在△ADE和△CBF中，
，
∴ ，
则图中全等的三角形有：△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，△ABD≌△CDB，共3对．故选：C．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等
的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．2.(2021秋•苏州期末)如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为( )
A．155° B．125° C．135° D．145°
【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．
【解答】解：在△ACD和△AEB中， ，
∴△ACD≌△AEB(AAS)，∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．(2022·四川南充·八年级期末)如图，点B，C，E在同一直线上，且 ， ， ，
下列结论不一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出
ABC≌△CDE，再逐个判断即可．
△【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，
在 ABC和 CDE中， ，∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴ ，
△ △∴选项A、选项B，选项C都正确；
根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所
以 不一定成立故选项D错误；故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的
关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
ABC D E AC BC
4．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学七年级期中)如图，在 中， 、 分别足边 、 上的点，
BD ABC ADB≌EDB
是 的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明 的是( )
A．DABDEB B．AB EB C．ADBEDB D．AD ED
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
BD ABC
【详解】解：∵ 是 的一条角平分线，∴∠ABD=∠EBD，
ABD EBD
A.在△ADB和△EDB中DAB DEB
， ∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意；
BD BD
AB EB
B.在△ADB和△EDB中ABD EBD
， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
BD BD
ABD EBD
C.在△ADB和△EDB中BD BD
， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
ADB EDB
D.在△ADB和△EDB中，若添加AD ED，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)是解
题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
5．(2022·广东·深圳大学附属中学七年级期末)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ ACN≌ ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____．
【答案】①②③
【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论
是否正确．
【详解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确；
∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，
∴△ACN≌△ABM(ASA)，即结论③正确；
∵∠BAE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC，
∴∠1=∠2，即结论①正确；
∴△AEM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∴CM=BN，
∵∠CDM=∠BDN，∠C=∠B，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD=BD，
无法判断CD=DN，故④错误，
∴题中正确的结论应该是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键．
5.(2022•南昌期中)如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC
＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．【分析】证明△ABC≌△AED(AAS)，得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，
在△ABC和△AED中， ，∴△ABC≌△AED(AAS)，∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键．
6.(2022•郫都区校级期中)如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝
∠BCE，且AD＝BE．(1)证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；(2)若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长
度．
【分析】(1)①由AAS证明△ABD与△ECB全等即可；②根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；
(2)根据△ABD与△ECB全等的性质解答即可．
【解答】(1)证明：①在△ABD与△ECB中，
，∴△ABD≌△ECB(AAS)；
②由①得，△ABD≌△ECB，∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；
(2)解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．(2022•雁塔区八年级月考)如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE
交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．【分析】在 BC 上截取 GH＝GC，可得△EHC 是等腰三角形，进而得出 AB∥EH，再证
△BDF≌△HEF(AAS)，通过线段之间的转化即可得出结论．
【解答】解：FG＝BF+CG，理由如下：在BC上截取GH＝GC，连接EH，如图所示：
∵EG⊥BC，GH＝GC，∴HE＝EC，∴∠EHC＝∠C，
又AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠EHC＝∠ABC，
∴EH∥AB，∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，∵BD＝CE，∴HE＝BD，
在△BDF 和△HEF 中， ，∴△BDF≌△HEF(AAS)，∴BF＝FH，∴FG＝FH+HG＝
BF+GC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行
线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．(2022·陕西榆林·七年级期末)如图，在 中，点E在边 上，且 ．(1)请你判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)若 的平分线 交 于点F， // 交 于点D，设 ， ，求 的长．
【答案】(1) ，理由见解析(2)2
【分析】(1) ，理由是在三角形 与三角形 中，由一对公共角相等，以及已知角相等，
利用内角和定理即可得证；
(2)由 与 平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据 为角平
分线得到一对角相等，再由 ，利用 得到三角形 与三角形 全等，利用全等三角形对
应边相等得到 ，由 求出 的长即可．
(1)解： ，理由如下：
在 中， ，
在 中， ，
， ，
；
(2)解： ，
，
又 ，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的
判定与性质．
9．(2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习)在Rt ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
点D在AC上，且AD=6cm，过点A作射线AE AC(AE与BC在△AC同侧)，若动点P从点A出发，沿射线
AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．(1)如图①，当PD BD时，求证：△PDA DBC；
(2)如图②，当PD AB于点F时，求此时t的△值．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】(1)由PD BD、∠C=90°可推出∠PDA=∠CBD，即可根据ASA判定△PDA DBC；
(2)由PD AB，AE AC可推出∠APF=∠CAB，即可根据AAS判定△APD CAB，再△由全等三角形的性
质即可得解． △
(1)证明：如图①
∵PD BD
∴∠PDB=90
∴∠BDC+∠PDA=90
又∵∠C=90
∴∠BDC+∠CBD=90
∴∠PDA=∠CBD
又∵AE AC
∴∠PAD=90
∴∠PAD=∠C=90
又∵BC=6cm，AD=6cm
∴AD=BC
在△PAD和△DCB中
∴△PDA DBC(ASA)
(2)解：如图△②
∵PD AB∴∠AFD=∠AFP=90
∴∠PAF+∠APF=90
又∵AE AC
∴∠PAF+∠CAB=90
∴∠APF=∠CAB
在△APD和△CAB中
∴△APD CAB(AAS)
∴AP=AC △
∵AC=8cm
∴AP=8cm
∴t=8
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定
△APD≌△CAB是解题的关键．
10．(2022·辽宁锦州·八年级期中)如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线 上，且过A，B两点
分别作直线 的垂线，垂足分别为D，E．
(1)请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明．(2)如果将直线 绕点C进行旋转，其它条件不变，(1)中
的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形．
【答案】(1) ACD≌△CBE，见解析(2)全等，见解析
【分析】(1)△利用AAS证明 ACD≌△CBE即可；
(2)先画出图形，再用AAS△证明 ACD≌△CBE即可．
(1)解：全等三角形为： ACD≌△△CBE.
△证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE
在 ACD与 CBE中，
△ △
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
(2)解：(1)中的两个三角形还全等，即 ACD≌△CBE，
如图， △
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠CEB=90°，，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在 ACD与 CBE中，
△ △
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
题组C 培优拔尖练1.(2021•陇县期末)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝
2，则AD的长为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】由“AAS”可证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，即可求AD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中， ，∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是本题的关键．
2．(2022·山东淄博·七年级期末)如图， ， ， ．下列结论中：(1) ；
(2) ；(3) ；(4) ．正确的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先证明△ADF≌△ABF，得∠ADF=∠ABF，再根据等角的余角相等，得2∠1=∠DFE，便可判断
(1)的正误；当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，则∠C≠∠CBE，此时BE≠CE，便可判断(2)的正误；
证明∠ABE=∠C=∠ADF，得DF BC，便可判断(4)的正确；过D点作DM⊥BC于点M，过点F作
FN⊥BC于点N，则DM=FN，假设CD=DB,可得△CDM≌△FBN，当∠C≠45°，得CD≠BF，便可判断(3)的
正误．
【详解】解：(1)在△ADF和△ABF中，，
∴△ADF≌△ABF(SAS)，
∴∠ADF=∠ABF，
∵∠ABF+∠BAE=∠ADF+∠DFE=90°，
∴∠BAE=∠DFE，
∵∠1=∠2，
∴2∠1=∠DFE，
故(1)错误；
(2)当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，
则∠C≠∠CBE，
此时BE≠CE，
故(2)错误；
(4)∵△ADF≌△ABF，
∴∠ABF=∠ADF，
∵AB⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ABE+∠CBE=∠BCE+∠C=90°，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ADF=∠C，
∴DF BC
故(4)正确；
(3) DF BC，
过D点作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM=FN，
若 ，
∵∠C+∠CBF=∠C+∠CDM=90°，
∴∠CDM=∠FBN，
∴△CDM≌△FBN(AAS)，，
则
此时
当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，△CDM与△FBN不全等，
∴CD FB，
∵△ADF≌△ABF，
∴DF=BF．
∴BF=DF CD，
故(3)不正确；
综上所述，正确的有(4)，共1个；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定．解题的关键是掌握三角形的全等的判定
定理．
3．(2022·湖南岳阳·八年级期中)如图，P是∠AOB平分线上的点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，则下
列结论：①PC＝PD；②OD＝OC；③ POC与 POD的面积相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正确
的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据已知条件，可得△OCP≌△ODP(AAS)，根据全等三角形的性质即可判断．
【详解】解：∵P是∠AOB平分线上的点，
∴∠COP=∠DOP，
∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
在△OCP和△ODP中，，
∴△OCP≌△ODP(AAS)，
∴PC=PD，OC=OD，故①②选项符合题意，
∵△OCP≌△ODP(AAS)，
∴△POC与△POD的面积相等，故③选项符合题意；
∵△OCP≌△ODP(AAS)，
∴∠OPD=∠OPC，
∵∠POC+∠OPC=90°，
∴∠POC+∠POD=90°，故④选项符合题意；
综上可知，①②③④均符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4.(2021•喀喇沁旗期末)如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂
足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB
＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后
根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的
中点，得到BE BC BD＝4．
【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中， ，∴△ABC≌△EDB(AAS)，∴BD＝BC，AC＝BE，
∵E是BC的中点，BD＝8cm，∴BE BC BD＝4cm．故答案为：4cm
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、
SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准
全等的三角形是解决本题的关键．
5．(2022·广东·执信中学八年级期中) ABC和 DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点
E．
(1)如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；(2)如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC
所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)BM＝CO，见解析
【分析】(1)根据余角的性质和等角代换可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的判定证明
△BAO≌△CAE便可得结论；(2)根据余角的性质和等角代换可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的
判定证明△BOM≌△CNO便可得BM＝CO．
【详解】解：(1)∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABO+∠AOB＝∠DCO+∠DOC＝90°，
∵∠AOB＝∠DOC，∴∠ABO＝∠DCO，
∵∠EAC＝180°﹣∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠EAC，
在△BAO和△CAE中， ，
∴△BAO≌△CAE(ASA)，∴BO＝CE；
(2)相等．理由如下：∵∠MON＝∠BAC＝90°，
∴∠AMO+∠AOM＝∠AOM+∠AON＝90°，
∴∠AMO＝∠AON，∴∠BMO＝∠NOC，
由(1)知∠ABO＝∠DCO，
在△BOM和△CNO中， ，
∴△BOM≌△CNO(AAS)，∴BM＝CO．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，涉及到等角代换、余角的性质，解题的关键是熟练掌握
全等三角形的判定方法．
6.(2022•金东区期中)已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交
直线 AB 于点 G．(1)如图 1，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；
②FG+DC＝AD；(2)如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
【分析】(1)①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，
∠BDF＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD(对顶角相等)，∴∠ACD＝
∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；
由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．
(2)∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝
DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．
【解答】解：(1)①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA(ASA)
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG；∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
(2)FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；
又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC(AAS)；∴DF＝DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，
注意掌握
7．(2022·全国·九年级单元测试)在 中， ， ，直线MN经过点C且 于
D， 于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ≌ ；② ；
(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析
(3) (或者对其恒等变形得到 ， )，证明见解析
【分析】(1)①根据 ， ， ，得出 ，再根据 即可判定
；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出 ， ，进而得到
；
(2)先根据 ， ，得到 ，进而得出 ，再根据
即可判定 ，进而得到 ， ，最后得出 ；
(3)运用(2)中的方法即可得出 ， ， 之间的等量关系是： 或恒等变形的其他形式．
(1)解：① ， ，
，， ，
，
在 和 中，
；
② ，
， ，
；
(2)证明： ， ，
，
，
在 和 中，
；
， ，
；
(3)证明：当 旋转到题图(3)的位置时， ， ， 所满足的等量关系是：
或 或 ．
理由如下： ， ，
，
，
在 和 中，
，
， ，
(或者对其恒等变形得到 或 )．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三
角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．8．(2021·北京市师达中学八年级期中)在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且 ，
，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
(1)如图，已知点 ， ，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
(2)如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分
∠BAC，点B坐标为 ．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
【答案】(1)(3，-1)
(2)①n，m；②(-n，0)，(0，-m-n)，(0， )；③
【分析】(1)过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得 ，故CD=OA=2,BD=OC=1，
OD=OC+CD=3，即可知B点坐标为(3，-1)．(2)过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE①因为B点在第一
象限，故B点横坐标为B点到y轴的距离，B点纵坐标为B点到x轴的距离．②由题意可证得
，故可求 为等腰三角形，则可证得 ，便可知OC=n，
OA=OF+OC=m+n，DO=OF-OE=m-n即点C的坐标为(-n，0)，点A的坐标为(0，-m-n)，点D的坐标为(0，
)．③由②问知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n，故有 ．
(1)过B点作x轴垂线，垂足为D
由题意知AO=2，OC=1，AC=BC，
∵∠OCA+∠OAC=90°，∠OCA+∠DCB=90°∴∠OAC=∠BCD，在 和 中有 ∴
∴CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3故B点坐标为(3，-1)
(2)过B点作x轴垂线，垂足为F，连接DE
①∵点B坐标为 ，且点B在第一象限∴m＞0，n＞0
故点B到x轴的距离为n，到y轴的距离为m．
②由题意知BC=AC，
∵∠BCF+∠OAC=90°，∠OCA+∠OAC=90°∴
在 和 中有
∴ ∴BF=CO，OA=CF
由①知BF=n，OF=m故OC=n，OA=OF+OC=m+n
∵AD平分∠BAC∴∠OAC=∠OAE
∴∠OCA+∠OAC=∠OEA+∠OAE∴AC=AE
∴ 为等腰三角形，AD为角平分线，中线，高线三线合一，故 也为等腰三角形．
∴CO=OE=BF，∠DCO+∠OCA=∠DEO+∠OEA=90°
∵∠ODE+∠OED=90°，∠OED+∠BEF=90°∴∠ODE=∠BEF
在 和 中有 ∴
∴EF=DO∴DO=OF-OE=m-n则点C的坐标为(-n，0)，点A的坐标为(0，-m-n)，点D的坐标为(0， )．
③由②可知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n
故有
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离点P的坐标为
，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即 ．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，
即 ．AAS表示角角边,即已知两个三角形的两个角都相同,且两角夹边以外的任意一条边长度相等,即可证
明两个三角形全等．
9．(2022·河南平顶山·七年级期末)(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，
如下图1．
(1)已知：在 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点
D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那(1)中的结
论是否会成立呢？如图(2)，将(1)中的条件改为：在 中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并
且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝ ，其中 为任意锐角或钝角．如果(1)中的结论成立，请证明；如不成立，
请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图(3)，过
的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求
证：I是EG的中点
【答案】(1)DE＝BD＋CE(2)成立，证明见解析(3)见解析
【分析】(1)先证明出 ，得出 ， ，即可得出数量关系的结果；(2)证明出 ，得出 ， ，即可得出结论；
(3)过点E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，则∠EMI＝∠GNI＝90°，同(1)得 ，
，推出 ，证得 ，即可得出结论．
(1)解：(1) 直线 ， 直线 ， ，
， ，
， ，
在 和 中， ， ，
， ， ，故答案为： ；
(2)成立.
证明如下：∵∠BDA＝∠BAC＝ ，
∴∠DBA＋∠DAB＝∠DAB＋∠CAE，∴∠DBA＝∠CAE，
在 和 中， ，∴ (AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；
(3)如图3，过点E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝∠GNI＝90°,
正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∵AH是BC边上的高，∴∠AHB=∠AHC=90°，
由(1)和(2)的结论可知EM＝AH＝GN，∴EM＝GN，
在 和 中， ，∴ (AAS)，
∴EI＝GI，∴I是EG的中点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，
解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
10．(2022·河南洛阳·八年级期中)【发现】：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH＝ BC．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B( )，
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．( )．
∴BH＝AH，AH＝CH．( )．
∴AH＝ BC．
【拓展】：如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE
＝45°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为
，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：在如图3的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足
PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【答案】【发现】同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等
【拓展】90°；CE＋2AH＝CD，理由见解析
【应用】 或
【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH＝∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的
对应边相等即可得结论；
拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；
应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得
△APC≌△ADB，得BD＝CP＝1，根据DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同
理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP＝BP＋BD＝6＋1＝7，进而可得点A到BP
的距离．
【详解】[发现]证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B(同角的余角相等)，
在△ABH和△CAH中， ．
∴△ABH≌△CAH．(AAS)．
∴BH＝AH，AH＝CH．(全等三角形的对应边相等)．∴AH＝ BC．
故答案为：同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等；
[拓展]∠DCE的度数为90°，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE＋2AH＝CD，
理由如下：
∵∠DAB＋∠BAE＝90°，∠EAC＋∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠DCE＝90°；
∵D、B、C三点共线，
∴DB＋BC＝CD，
∵DB＝CE，AH＝ BC，
∴CE＋2AH＝CD．
[应用]点A到BP的距离为： 或 ．
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD＝90°，交BP于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BDA＝∠APC＝90°＋∠APD，
∴△APC≌△ADB(AAS)，∴BD＝CP＝1，
∴DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，
∵AH⊥DP，
∴AH＝ DP＝ ；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD＝90°，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BAC＝90°，∠BPC＝90°，
∴∠ACP＋∠ABP＝180°，
∴∠ACP＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△APC≌△ADB(AAS)，
∴BD＝CP＝1
∴DP＝BP＋BD＝6＋1＝7.
∵AH⊥DP，
∴AH＝ DP＝ ．
综上所述：点A到BP的距离为： 或 ．
【点睛】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
