文档内容
21.3《特殊的平行四边形》---矩形
题型一：矩形性质的理解
1．如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，以下说法中错误的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 是等边三角形 D．
2．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，矩形 的对角线相交于点 ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：矩形的性质求角度
4．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O，过点A作 的垂线，垂足为E．已
知 ，那么 的度数为（ ）A． 度 B． 度 C． 度 D． 度
5．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O， ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O， 于点E， ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
题型三：矩形的性质求线段
7．如图，在矩形 中， ，对角线 与 相交于点O， ，垂足为E．若
，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
8．如图，在矩形 中，点 在 上， ， ，作 于点G，交 于
F，则 的长是（ ）A． B． C．3 D．2
9．如图，矩形 面积为40，点 在边 上， ， ，垂足分别为 ．若
，则 （ ）．
A．4 B．2.5 C．5 D．10
题型四：矩形的性质求面积和坐标
10．如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，分别交 ， 于 ，
，连接 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC
上的点F处．若点D的坐标为 ，则点E的坐标为（ ）A． B． C． D．
12．如图，在∆ABC中， 的垂直平分线分别交 于点D，F， 交 的延长线
于点E，已知 ， ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：矩形的折叠问题
13．如图所示，折叠矩形 的一边 ，使点D落在 边上点F处，若 ，
则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
14．如图，在矩形 中， ， ， 为边 上一点，将 沿 折叠，点 落
在点 处， 、 分别交 于点 、 ，已知 ．则 的长为（ ）A． B． C． D．5
15．如图，在矩形 中， ， ，对角线 相交于点 ，过 作
于点 ，将 沿 折叠，点 恰好落在线段 的 点处， 则 的长为
（ ）
A． B． C． D．
题型六：添加一个条件成为矩形问题
16．如图，下列条件中，能够判定 为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，要使平行四边形 成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，四边形 为平行四边形，延长 到E，使 ，连接 ， ， ，添
加一个条件，不能使四边形 成为矩形的是（ ）A． B． C． D．
题型七：矩形的判定证明问题
19．如图，在 中， ， 是中线， 是 的外角 的平分线， ，
垂足为 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2) 与 之间的关系是什么？请说明理由．
20．如图，在∆ABC中， ， 是 的中点， 是 的中点， ，交 的延
长线于点 ，连接 ．求证：四边形 是矩形．21．如图，在 中，点O为线段 的中点，延长 交 的延长线于点E，连接 ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ．若 ，求 的长．
题型八：直角三角形斜边上的中线问题
22．如图， 的周长是 ，对角线 与 交于点 ， ， 的周长比
∆AOB的周长多 是 的中点，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，已知 平分 ， ， ， ， 于点D， 于
点E．如果点M是 的中点，那么 的长是（ ）A．1 B． C． D．
24．如图，已知∆ABC中， ， ，垂足为点 ， 是 边上的中线．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ， ，求 的长．
题型九：矩形的性质和判定综合性问题
25．如图，点E是 对角线 上的点（不与A，C重合），连接 ，过点E作
交 于点F．连接 交 于点G， ， ．
(1)求证： 是矩形；
(2)若点E为 的中点，求 的度数．26．如图，在四边形 中， ，
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)E 是 边的中点，F 为 边上一点， 延长 、 交于点 G．
①若F为 的中点， ，求 的长；
②若 求 的长．
27．在矩形纸片 中， ， ．
(1)将矩形纸片沿 折叠，使点 落在点 处如图①．设 与 相交于点 ，求 的长；
(2)将矩形折叠，使点 落在点 处，折痕为 ，如图②，若点 恰好在边 上，连接 ，
求 的长度；(3)将矩形纸片折叠，使点 与 重合如图③，求折痕 的长．
参考答案
题型一：矩形性质的理解
1．D
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，故A、B说法正确，不符合题意，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，故C正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明 ，故D说法错误，符合题意．
故选：D．2．C
解：A、当矩形 为正方形时， ，故原结论不一定正确，不符合题意；
B、当矩形 为正方形时， ，故原结论不一定正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等且平分，故 ，原结论一定正确，符合题意；
D、当矩形 为正方形时， ，故原结论不一定正确，不符合题意；
故选C．
3．C
∵四边形 是矩形，
∴ ，
故选： ．
题型二：矩形的性质求角度
4．D
解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
5．C
解： 四边形 是矩形，
，
，
为等边三角形，
，
，
∵AE=AB，，
为等腰三角形，
，
．
故选：C．
6．A
解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
题型三：矩形的性质求线段
7．C
解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
∵
，
∵ ，
，
，
即 是等边三角形，
，则 ，
在 中， ，
∴ ，
故选：C．8．B
解：∵矩形 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
设 ，则 ，
则 ，
解得 ，
故选：B．
9．A
解：如图，令 与 相交于点 ，连接 ，
，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵矩形 面积为40，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
题型四：矩形的性质求面积和坐标
10．C
解：作 于 ，交 于 ．
则有四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是矩形，
， ， ， ， ，
，
，
故选：C．
11．A
解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
12．A解：∵
∴F是 的中点，
∵D是 中点，
∴ 是∆ABC中位线，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴矩形 面积 ．
故选：A．
题型五：矩形的折叠问题
13．B
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵折叠，∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
设
在 中， ，
∴ ，解得 ，
故选：A．
14．C
在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
故选：C
15．C
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得， ，
∴ ，
故选： ．
题型六：添加一个条件成为矩形问题
16．D
解：在 中，添加 ，由对角线相等的平行四边形是矩形，故能判定 是矩
形，
在 中，添加 或 或 ，都不能判定 是矩形，
故选：D．
17．B
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形，但不一定是矩形，
故A不符合题意；
四边形 是平行四边形，且 ，
四边形 是矩形，
故B符合题意；四边形 是平行四边形，且 ，
四边形 是菱形，但不一定是矩形，
故C不符合题意；
四边形 是平行四边形，且 ，
四边形 是菱形，但不一定是矩形，
故D不符合题意，
故选：B．
18．B
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
A.∵ ， ，
∴ ，
∴ 为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵ ，
∴ ，
∴ 为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵ ，
∴ ，
∴ 为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
题型七：矩形的判定证明问题
19．（1）证明： 中， ， 是中线，
， ，
，
为 的外角 的平分线，
，，
即 ，
，
，
四边形 是矩形；
（2）解： ， ，理由如下：
由（1）知，四边形 为矩形，
，
中， 是中线，
，
是 的中位线，
， ．
20．证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
21．（1）证明：∵ 为 的中点，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为∆BDE的中位线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ．题型八：直角三角形斜边上的中线问题
22．C
∵ 的周长是
∴
∵ 的周长比 的周长多
∴
∴
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∵ 是 的中点
∴ ．
故选：C．
23．C
解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，点M是 的中点，
∴ ，
故选：C．
24．（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
∵∆ABC的面积 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
题型九：矩形的性质和判定综合性问题
25．（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：∵四边形 是矩形，点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
26．（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴
又∵ ，
∴ ．
∴四边形 为矩形．
（2）①∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵E是 边的中点，
∴ ．
在 和 中，
∴∴ ，
∵ ，F为 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
②由①知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
根据勾股定理得：
即
27．（1）解：由折叠得， ，
矩形 的对边 ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
；
（2）
解：由折叠得， ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
；
（3）
解：由折叠得， ，设 ，
则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
，
连接 、 ，
由翻折的性质可得， ， ，
矩形 的边 ，，
，
，
，
四边形 是菱形，
在 中， ，
，
即 ，
解得 ．
