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专题 14.3 两角及其一边证全等（ASA、AAS）
1. 1.掌握ASA、AAS的定义以及判定方法，能够熟练通过题目的已知条件选择合适的
教学目标
判定方法三角形的全等。
1. 重点
（1）用“ASA”判定全等；
（2）用“AAS”判定全等；
教学重难点 2. 难点
（1）添加条件形成“ASA、AAS”的全等判定方法；
（2）判断判定全等的依据；
（3）用“SAS、AAS”证明全等。知识点01 角边角（ASA）判定三角形全等
1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念：
若两个三角形的 两个角及其夹边 对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
【即学即练1】
1．如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（ ）
A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF
【答案】A
【解答】解：添加条件：∠E＝∠F，理由如下：
由平行线性质可知∠A＝∠D，
又AE＝DF，∠E＝∠F，
∴△AEC≌△DFB（ASA），
故选：A．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则
△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】D
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等），在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠D
)
AC=DF ，
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA），
所以△ABC≌△DEF的依据是ASA，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
【即学即练3】
3．如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC＝CE，∠ACB＝∠E．求证：△ABC≌△DCE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△DCE中，
{∠ABC=∠ECD
)
BC=CE， ，
∠ACB=∠E
∴△ABC≌△DCE（ASA）．
知识点02 角角边（AAS）判定三角形全等
1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念：
若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF。
【即学即练1】
4．如图，∠C＝∠D，再添加条件 ∠ ABD ＝∠ BAC 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC．【答案】∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）．
【解答】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABD＝∠BAC，
∴△ABD≌△BAC；
同理，∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABC＝∠BAD，
∴△ABD≌△BAC．
故答案为：∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）．
【即学即练2】
5．如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，∠A＝∠D，不添加辅助线，能直接判定△AOB≌△DOC的依
据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】C
【解答】解：根据题意，在△AOB和△DOC中，
{
∠A=∠D
)
∠AOB=∠DOC ，
AB=DC
∴△AOB≌△DOC（AAS），
综上所述只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
【即学即练2】
6．已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵C是AE的中点，∴AC＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
{∠A=∠DCE
)
∠B=∠D ，
AC=CE
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
题型01 添加条件形成ASA的全等判定方法
【典例 1】如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，若用“ASA”判定
△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是 ∠ B ＝∠ E ．
【答案】∠B＝∠E．
【解答】解：在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠D
)
AB=DE ，
∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是∠B＝∠E．
故答案为：∠B＝∠E．
【变式1】如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用
“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D
【答案】C
【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD，AC＝AE，
∴当添加∠C＝∠E时，△ABC≌△ADE（ASA）．故选：C．
【变式2】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C．若利用“ASA”得到△ABF≌△DCE，需要添
加的条件是（ ）
A．∠AFB＝∠DEC B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．AF＝DE
【答案】A
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BF＝CE，
∵∠B＝∠C，
A．添加∠AFB＝∠DEC，可利用角边角证明△ABF≌△DCE，
故本选项符合题意；
B．添加AB＝DC，可利用边角边证明△ABF≌△DCE，
故本选项不符合题意；
C．添加∠A＝∠D，可利用角角边证明△ABF≌△DCE，
故本选项不符合题意；
D．添加AF＝DE，无法证明△ABF≌△DCE，
故本选项不符合题意；
故选：A．
题型02 添加条件形成AAS的全等判定方法
【典例1】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需添加条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，
∴补充AD＝BC，OA＝OB不能证明△ACB≌△BDA，
补充BD＝AC，由SAS证明△ACB≌△BDA，
补充∠D＝∠C，由AAS可证明△ACB≌△BDA，
故选：C．
【变式1】如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 ∠ A ＝∠ C
．【答案】∠A＝∠C．
【解答】解：由题意得，BD＝DB，∠1＝∠2，
要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为∠A＝∠C，
故答案为：∠A＝∠C．
【变式2】如图，∠C＝∠D＝90°，若利用AAS证明△ABC≌△BAD，需添加的条件是 ∠ ABC ＝∠ BAD
（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【答案】∠ABC＝∠BAD（答案不唯一）．
【解答】解：在△ABC和△BAD中，
{
∠C=∠D
)
∠ABC=∠BAD ，
AB=BA
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴利用AAS证明△ABC≌△BAD，需添加的条件是∠ABC＝∠BAD（答案不唯一）．
故答案为：∠ABC＝∠BAD（答案不唯一）．
题型03 判定全等的依据—ASA
【典例1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【答案】B
【解答】解：∵在△ABD和△ACD中，{∠1=∠2
)
AD=AD ，
∠3=∠4
∴△ABD≌△ACD（ASA），
故选：B．
【变式1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样
的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】B
【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是ASA．
故选：B．
【变式2】如图，小敏不小心把书上的三角形撕掉了一角，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完
全一样的三角形，那么小敏画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】C
【解答】解：
由图形可知该三角形的两角及其夹边是确定的，
∴可利用ASA画一个和该三角形全等的三角形，
故选：C．
题型04 判定全等的依据—AAS
【典例1】如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依
据是（ ）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】B
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
{
∠A=∠D
)
∠AOB=∠DOC ，
OB=OC
∴△ABO≌△DCO（AAS），
故选：B．
【变式1】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS
【答案】A
【解答】解：在△ACD和△ABD中，
{∠C=∠D
)
∠1=∠2 ，
AD=AD
∴△ACD≌△ABD（AAS），
故选：A．
【变式2】如图，BE，CD是△ABC的高，且∠ABC＝∠ACB，判定△BCD≌△CBE的依据是 AAS .
（填写字母即可）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵BE，CD是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在△BCD与△CBE中，
{∠ABC=∠ACB
)
∠BDC=∠CEB ，
AB=AC∴△BCD≌△CBE（AAS），
故答案为：AAS．
题型05 用ASA判定证明全等
【典例 1】如图，已知 A、B、D、E 在同一直线上，AD＝BE，BC∥EF，∠A＝∠EDF，求证：
△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD﹣BD＝BE﹣BD，
∴AB＝DE，
∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
{∠A=∠EDF
)
AB=DE ，
∠ABC=∠E
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【变式 1】如图，已知点 A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：
△ADF≌△CBE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
{∠DAF=∠BCE
)
AF=CE ，
∠DFA=∠BEC
∴△ADF≌△CBE（ASA）．【变式2】如图，点D是△ABC的边BC上一点，且∠ADB＝∠BAC，在AB边上截取AE＝BD．过点E作
EF∥BC交AC于点F．
（1）△AEF和△DBA全等吗？为什么？
（2）连接DF，若∠ADB＝100°，∠ADF＝57°，求∠EFD的度数．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）23°．
【解答】解：（1）△AEF和△DBA全等吗，理由如下：
∵EF∥BC，
∠AEF＝∠B，
在△AEF和△DBA中，
{
∠AEF=∠B
)
AE=BD ，
∠ADB=∠BAC
∴△AEF≌△DBA（ASA）；
（2）∵∠ADB＝100°，∠ADF＝57°，
∴∠BDF＝∠ADB+∠ADF＝157°，
∴∠CDF＝180°﹣∠BDF＝23°，
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠CDF＝23°．
【变式3】如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD≌△FBD；
（2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积．
【答案】（1）见详解；
35
（2）S = ．
△ABC 2
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA，
∴∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°，
∴∠DBF＝∠DCA，
在△ACD和△FBD中，
{∠DBF=∠DCA
)
DB=DC ，
∠BDF=∠BEA
∴△ACD≌△FBD（ASA）；
（2）解：∵△ACD≌△FBD，DF＝2，
∴DA＝DF＝2，
∴AB＝BD+DA＝7，
∵CD＝BD＝5，
1 35
∴S = AB⋅CD= ．
△ABC 2 2
题型06 用AAS判定证明全等
【典例 1】如图，点 A，D，C，F 在同一直线上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求证：
△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
{
∠B=∠E
)
∠A=∠EDF ，
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【变式1】如图，点E，F在AC上，AB∥CD，∠B＝∠D，且AF＝CE．
（1）△ABE与△CDF全等吗？请说明理由；
（2）BE与DF平行吗？为什么？【答案】（1）全等，见解析；
（2）平行，见解析．
【解答】解：（1）△ABE与△CDF全等；理由如下：
∵AF＝CE，
∴AF+EF＝CE+EF，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
{∠B=∠D
)
∠A=∠C ，
AE=CF
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）BE∥DF；理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴∠DFC＝∠BEF，
∴BE∥DF．
【变式2】如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E是BC的中点，BF∥AC交DE的延长线于点F．
（1）试说明：△CDE≌△BFE；
（2）若CA＝CB，CE＝6，BF＝4，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）8．
【解答】（1）证明：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F，
∵E是边BC的中点，
∴CE＝EB，
在△CDE与△BFE中，{∠C=∠EBF
)
∠CDE=∠F ，
CE=EB
∴△CDE≌△BFE（AAS）；
（2）解：∵△CDE≌△BFE，
∴BF＝CD＝4，
∵E是边BC的中点，
∴CB＝2CE＝12，
∴CA＝CB＝12，
∴AD＝CA﹣CD＝12﹣4＝8．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝
ED．
（1）求证：△ABD≌△EDC．
（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）70°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
{
∠1=∠2
)
∠ABD=∠EDC ，
AB=ED
∴△ABD≌△EDC（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△EDC，
∴DB＝CD，∠DEC＝∠A＝120°，
∵∠BDC＝2∠1，∠2＝∠1，
∴∠BDC＝2∠2，
∵∠BDC+∠2＝2∠2+∠2＝60°，
∴∠2＝20°，
∴∠BDC＝40°，
∵BD＝CD，1 1
∴∠DBC＝∠DCB= ×（180°﹣∠BDC）= ×（180°﹣40°）＝70°．
2 2
1．如图，能用ASA来判断△ACD≌△ABE，需要添加的条件是（ ）
A．∠AEB＝∠ADC，AC＝AB B．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE
C．AC＝AB，AD＝AE D．AC＝AB，∠C＝∠B
【答案】D
【解答】解：由图可知，
∠DAC＝∠EAB，
当添加条件∠AEB＝∠ADC，AC＝AB时，△ACD≌△ABE（AAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠AEB＝∠ADC，CD＝BE时，△ACD≌△ABE（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝AB，AD＝AE时，△ACD≌△ABE（SAS），故选项C不符合题意；
当添加条件AC＝AB，∠C＝∠B时，△ACD≌△ABE（ASA），故选项D不符合题意；
故选：D．
2．如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD∥BC，若想利用“AAS”说明△ADF≌△CBE，需要添
加的条件是（ ）
A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD＝CB
【答案】A
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AF＝CE，
∴A、添加∠D＝∠B，可利用AAS说明△ADF≌△CBE，故本选项符合题意；
B、添加∠A＝∠C，不能说明△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意；
C、添加BE＝DF，不能说明△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意；
D、添加AD＝CB，可利用SAS说明△ADF≌△CBE，故本选项不符合题意；
故选：A．3．如图，在△DEC和△BFA中，点A，E，F，C在同一直线上，已知AB∥CD，且AB＝CD，若利用
“ASA”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．EC＝FA B．∠A＝∠C C．∠D＝∠B D．BF＝DE
【答案】C
【解答】解：需添加的条件是∠D＝∠B，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
在△DEC和△BFA中，
{∠D=∠B
)
DC=AB ，
∠C=∠A
∴△DEC≌△BFA（ASA），
故选：C．
4．如图，AB∥CD，且AB＝CD，则△ABE≌△CDE的根据是（ ）
A．只能用ASA B．只能用SAS
C．只能用AAS D．用ASA或AAS
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
又∵∠AEB＝∠CED（对顶角相等），AB＝CD，
∴可用ASA或AAS进行△ABE≌△CDE的判定．
故选：D．
5．如图，将两块相同的三角板（含 30°角）按图中所示位置摆放，若 BE交CF于D，AC交BE于M，AB
交CF于N，则下列结论中错误的是（ ）A．∠EAC＝∠FAB B．∠EAF＝∠EDF C．△ACN≌△ABM D．AM＝AN
【答案】B
【解答】解：∵△ABE≌△AFC，
∴∠EAB＝∠CAF，AC＝AB，∠C＝∠B，
∴∠EAC＝∠FAB，故A正确；
{∠CAN=∠BAM
)
在△ACN与△ABM中 AC=AB ，
∠C=∠B
∴△ACN≌△ABM（ASA），故C正确；
∴AM＝AN，故D正确；
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，连接CE，AB＝CE，∠B＝∠CED，若BD＝
4，AE＝2，则CD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
∵∠B＝∠CED，AB＝CE，
∴△ABD≌△CED（AAS），
∴BD＝DE，AD＝CD，
∵BD＝4，AE＝2，
∴DE＝4，
∴CD＝AD＝DE+AE＝6，
故选：B．
7．如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE∥CF交BD的延长线于点E．若△ADE的面
积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】C【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴CD＝AD，
∵AE∥CF，△ADE的面积为3，
∴∠DFC＝∠E，
在△CDF和△ADE中，
{∠CDF=∠ADE
)
∠DFC=∠E ，
CD=AD
∴△CDF≌△ADE（AAS），
∴S△CDF ＝S△ADE ＝3，
∵CF是△BCD的中线，
∴BF＝DF，
∴S△CBF ＝S△CDF ＝3，
∴S△ABD ＝S△CBD ＝2S△CDF ＝6，
∴S△ABC ＝2S△ABD ＝12，
故选：C．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．
若AB＝9，CD＝4，则AD的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，∠FBE＝∠C，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
{∠F=∠CDE
)
∠FBE=∠C ，
BE=CE
∴△BEF≌△CED（AAS），
∴BF＝CD，EF＝ED，
∵B＝9，CD＝4，
∴CD＝4，∴AF＝AB+BF＝13，
∵AE⊥DE，EF＝ED，
∴AE是线段DF的垂直平分线，
∴AD＝AF＝13．
故选：C．
9．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则
AF的长度为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解答】解：AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠DBF＝∠CAD，
在△ACD和△BFD中，
{∠DBF=∠CAD
)
BD=AD ，
∠BDF=∠ADC
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF＝DC，
∵AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，
1
∴ ×CD×6=12，
2
∴CD＝4，
∴DF＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝2，
故选：B．
10．在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝
∠BAC，若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是（ ）A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝
∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
{∠ABE=∠CAF
)
在△ABE和△CAF中， AB=AC ，
∠BAE=∠ACF
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴△ACF的面积＝△ABE的面积，
∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABE与△BDE的面积之和，
∵△ABC的面积为18，CD＝2BD，
1
∴△ABD的面积= ×18＝6，
3
∴△ACF与△BDE的面积之和＝△ABD的面积＝6；
故选：A．
11．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB．若运用ASA判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 ∠ A ＝∠ C
或 AD ∥ BC ；若运用AAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件 ∠ D ＝∠ B ；若运用SAS判定
△ADF≌△CBE，则需添加条件 DF ＝ BE ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：若运用ASA判定△ADF≌△CBE，则需添加条件∠A＝∠C或AD∥BC．理由如下：
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE．
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C．在△ADF和△CBE中，
{
∠A=∠C
)
AF=CE ，
∠AFD=∠CEB
∴△ADF≌△CBE（ASA）；
若运用AAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件∠D＝∠B．理由如下：
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE．
在△ADF和△CBE中，
{
∠D=∠B
)
∠AFD=∠CEB ，
AE=CF
∴△ADF≌△CBE（AAS）；
若运用SAS判定△ADF≌△CBE，则需添加条件DF＝BE．理由如下：
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE．
在△ADF和△CBE中，
{
DF=BE
)
∠AFD=∠CEB ，
AF=CE
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故答案为：∠A＝∠C或AD∥BC；∠D＝∠B；DF＝BE．
12．如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝8，AD＝3，则DC＝ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ABD和△ACE中
{∠A=∠A
)
∠B=∠D ，
BD=CE∴△ABD≌△ACE，
∴AB＝AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣3＝5．
故答案为5．
13．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围
成的图形的面积S是 5 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AE⊥AB，AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，
∴△EFA≌△ABG（AAS），
∴AF＝BG，AG＝EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16
1
故S= （6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．
2
故答案为50．
14．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与
3
△BPQ全等时，x的值为 1 或 ．
2
3
【答案】1或 ．
2
【解答】解：由题意知，AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝xt，△ACP与△BPQ全等，∠A＝∠B，
∴分两种情况求解：
①当△ACP≌△BPQ时，AP＝BQ，即t＝xt，解得x＝1；
3
②当△APC≌△BPQ时，AP＝BP，即t＝8﹣t，解得t＝4，AC＝BQ，即6＝xt，解得x= ；
2
3
综上所述，x的值是1或 ，
2
3
故答案为：1或 ．
2
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使
1
CE= BC，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝ 1 2 ．
2
【答案】12．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G，
∵BD⊥AB，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBC＝∠BDG，
∵AB＝BD，∠ACB＝90°＝∠G，
∴△ABC≌△BDG（AAS），
∴DG＝BC＝6，BG＝AC，
在△CFE和△GDE中，
{
∠CEF=∠GED
)
∠FCE=∠G=90° ，
EF=DE
∴△CFE≌△GDE（AAS），
1
∴CE=EG= BC=3，
2
∴CG＝CE+EG＝3+3＝6，
∴AC＝BG＝BC+CG＝6+6＝12，
故答案为：12．
16．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为 S、N、Q，且 MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，
∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ，
∴∠M＝∠PSQ；
在△MNS与△SQP中，
{
∠M=∠PSQ
)
∠MNS=∠SQP ，
MS=PS
∴△MNS≌△SQP（AAS）．
17．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，试说明：
△ABC≌△ADE的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∵∠B+∠1＝∠ADE+∠3，且∠1＝∠3，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
{∠BAC=∠DAE
)
∠B=∠ADE
AC=AE
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中
{∠ADC=∠CEB
)
∠CAD=∠BCE
AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE﹣DE，
∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），
即BE的长度是2cm．
19．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得CF∥AB．
（1）求证：△AED≌△CEF；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，CA平分∠BCF，且∠ABE＝25°，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）65°．
【解答】（1）证明：∵E为AC中点，∴AE＝CE，
∵CF∥AB．
∴∠A＝∠ACF，
在△AED 和△CEF中，
{
∠A=∠ACF
)
AE=CE
∠AED=∠CEF
∴△AED≌△CEF（ASA）；
（2）解：∵BE 平分∠ABC，∠ABE＝25°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，
∵CF∥AB．
∴∠ABC+∠BCF＝180°，∠A＝∠ACF，
∴∠BCF＝180°﹣∠ABC＝130°，
∵CA平分∠BCF，
1
∴∠ACF= ∠BCF=65°，
2
∴∠A＝65°．
20．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点
G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．
求证：①△BDF≌△ADC；
②FG+DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；
∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，
∴FA＝FG；
∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，
∴∠DFB＝∠DCA；
又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS）；
∴DF＝DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
