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专题 11.9 三角形全章专项复习【3 大考点 14 种题型】
【人教版】
【考点1 与三角形有关的线段】..............................................................................................................................1
【题型1 三角形的三边关系的应用】......................................................................................................................2
【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】.....................................................................................................3
【题型3 三角形的高的有关的问题】......................................................................................................................3
【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】.........................................................................................................4
【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】.............................................................................5
【考点2 与三角形有关的角】..................................................................................................................................6
【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】.............................................................................7
【题型7 直角三角形的性质的应用】......................................................................................................................8
【题型8 三角形外角的应用】..................................................................................................................................9
【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】................................................................................................11
【题型10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】...............................................................12
【考点3 多边形及其内角和】................................................................................................................................14
【题型11 多边形内角和公式的应用】....................................................................................................................14
【题型12 多边形外角定理的应用】........................................................................................................................15
【题型13 多边形的截角问题】................................................................................................................................17
【题型14 求不规则图形中相关角的和】................................................................................................................17
【考点1 与三角形有关的线段】
【知识点1 三角形三边的关系】
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
【知识点2 三角形的分类】
【知识点3 三角形的重要线段】
（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形
的高线，简称三角形的高．【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三
角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相
等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的
线段叫做三角形的角平分线.
【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点4 三角形的稳定性】
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【题型1 三角形的三边关系的应用】
【例1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架OP=OQ=30cm
（连接处的长度忽略计），则点P，Q之间的距离可以是（ ）
A．50cm B．65cm C．70cm D．80cm
【变式1-1】（23-24八年级·四川眉山·期中）若a，b，c是△ABC的三边，试化简：
|a−b−c)+|a+b−c)= ．
【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，
共有（ ）种选法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式1-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，用AB、BC、CD、AD四条钢条固定成一个铁框，相
邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若AB=5、BC=9、CD=7、AD=6，则所固定成
的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14 B．16 C．13 D．11【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】
【例2】（23-24八年级·江西吉安·期末）用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、
重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为 个．
【变式2-1】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和2x+1，则
这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4或7 B．4 C．6 D．7
【变式2-2】（23-24八年级·浙江衢州·阶段练习）周长为12，各边长均为整数的等腰三角形的三边长分别
为 ．
【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长
分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
【题型3 三角形的高的有关的问题】
【例3】（24-25八年级·重庆铜梁·开学考试）如图，△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥AB于E，
CE=12，点D在BC上移动，则AD的最小值是 ．
【变式3-1】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AD⊥CD，
CE⊥AE，AD=4，则CE的长为 ．【变式3-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别
为D，E，AD与CE相交于点O，连接BO并延长交AC于点F.若AB=5，BC=4，AC=6，则CE：AD
：BF的值为 .
【变式3-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点
E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运
动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积等于10？
【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】
【例4】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，已知△ABC的面积为12，D、E、F分别是△ABC的边AB
、BC、CA的中点，AE、BF、CD交于点G，AG:≥=2:1，则图中阴影部分的面积为（ ）A．3 B．4 C．6 D．8
1
【变式4-1】（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，AD是△ABC的中线，AE= AD,F是EC的中点．
3
若S =10，则S = ．
△BEF △ABC
【变式4-2】（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，已知A ，A ，A ⋯分别是AC，A C，A C⋯的中
1 2 3 1 2
点，B ，B ，B ⋯分别是BC，B C，B C⋯的中点，若△ABC的面积为4，则△A B C的面积为
1 2 3 1 2 2024 2024
．
【变式4-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上的一点，且
AE=4BE，BD与CE相交于点F，若△CDF的面积为4，则△ABC的面积为 ．【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】
【例5】（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：
(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
【变式5-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，已知点D是△ABC内一点，连接BD并延长交AC于点
E，求证：AB+AC>DB+DC．
【变式5-2】（23-24八年级·山东青岛·单元测试）如图，设P为△ABC内一点，且PC=BC，求证：
AB>AP．
【变式5-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交
于点O．求证：
(1)AB+CD<AC+BD；1
(2)AC+BD> (AB+BC+CD+AD)．
2
【考点2 与三角形有关的角】
【知识点1 三角形的内角】
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形
【知识点2 三角形的外角】
三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】
【例6】（23-24八年级·广西柳州·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平
分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1=42°,∠2=46°，则∠BA′C的度数为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点
D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A′重合，若∠A=35°，则∠1+∠2的
度数为（ ）
A．70° B．105° C．140° D．35°
【变式6-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将
△ABC沿MN折叠后，使点A落在点A′处．若∠A′=30°，∠B=120°，则∠A′NC= °．【变式6-3】（2024八年级·全国·专题练习）如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，
(1)若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
(2)若∠B+∠C=130°，求∠1+∠2的度数．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC上一点，过点A
作AE⊥BD于点E．
(1)当BD平分∠ABC，且∠ABC=60°时，求∠BAE的度数；
9
(2)当点D是AC中点，DB=3，且△BCD的面积为 ，求AE的长．
4
【变式7-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1=130°，则∠2
等于（ ）A．60° B．50° C．40° D．30°
【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面
示意图，∠CEO=90°，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，B刚好至B′点，当A′B′∥OE时，恰好CB′'平
分∠OCE，若∠CB′ A′=129°，则∠COE= °．
【变式7-3】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的
特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．在图1中，
作AE⊥BC于E，求∠DAE的度数；
(2)【迁移探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图2，在
AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠C>∠B,AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC
于E，求出∠DFE与∠C、∠B之间的数量关系．
【题型8 三角形外角的应用】
【例8】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：
①∠DBE=∠EFH；
②2∠BEF=∠BAF+∠C；
③2∠EFH=∠BAC−∠C，
④∠BGH=∠ABE+∠C；
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与
∠ACD的平分线交于点A ，∠A BC的平分线与∠A CD的平分线交于点A ．
1 1 1 2
(1)试确定∠A与∠A 之间的数量关系，并说明理由；
1
(2)若∠A =16°，求∠A的度数．
2
【变式8-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，AD∥BC，∠D=∠ABC，点E是边DC上一点，
连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE=∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交
BH于点G，若∠DEH=110°，则∠BEG的度数为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平
分线，若∠CBF=32°，∠AFB=72°．(1)求∠DAE的度数；
(2)若点G为线段BC上任意一点，当△GFC为直角三角形时，求∠BFG的度数．
【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】
【例9】（23-24八年级·福建福州·期中）已知在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B．
(1)如图1，若CD⊥AB，求证：∠ACB=90°；
(2)如图2，AE平分∠BAC交CD于点F，交CB于点E．
①求证：∠CFE=∠CEF；
②△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M=33°，求∠CFE的度
数．
【变式9-1】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，
∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，则∠DFB的
度数为（ ）
A．40° B．44° C．50° D．54°
【变式9-2】（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ）
A．β=110°+2a B．β=220°−2a
C．β=110°+a D．β=250°−2a
【变式9-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）已知：如图①，在△ABC中，
∠ACB=90°,∠B=30°,AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF=45°,CF<CD，将
△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当EF所在直线与线段AD，AB有
交点时，交点分别为点M、点N．
(1)当t=15时，如图②，此时直线EF与AD的位置关系是，∠ANM=°；
(2)是否存在某个时刻t，使得EF∥AD？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，△AMN中有两个角相等，请直接写出t的值．
【题型10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】
【例10】（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，△ABC中，BP平分∠ABC，CP
平分∠ACB，探求∠BPC与∠A之间的数量关系；
【基础探究2】（2）如图2，△ABC中，BP 、BP 是∠ABC的三等分线，CP 、CP 是∠ACB的三等
1 2 1 2
分线，则∠BP C与∠A之间的数量关系是______；
1
【基础探究3】（3）如图3，△ABC中，BP 、BP 、BP 是∠ABC的四等分线，CP 、CP 、CP 是
1 2 3 1 2 3
∠ACB的四等分线，则∠BP C与∠A之间的数量关系是______；
3
【拓展与探究】（4）如图4，△ABC中，BP 、BP 、……、BP 、BP 是∠ABC的n等分线，
1 2 n−2 n−1
CP 、CP 、……、CP 、CP 是∠ACB的n等分线，请用一个等式表示∠BP C、∠BP C、
1 2 n−2 n−1 1 n−1∠A三者之间的数量关系是______；
【探究与应用】（5）△ABC中，BP 、BP 、……、BP 是∠ABC的2024等分线，CP 、CP
1 2 2023 1 2
、……、CP 是∠ACB的2024等分线，若∠BP C与∠BP C的和是∠A的7倍，则∠BP C=
2023 2 2022 1012
______°．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，延长AC、BD
（点F在∠EAD内部）．
请尝试探究：
(1)请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________；
(2)若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．点F在∠A内部（如图②），证明：CG∥BH．
1
(3)若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），即∠GCF= ∠ECF
n
1
，∠HBF= ∠DBF，射线CG和射线BH相交于点O．请直接写出∠A与∠BOC的数量关系：
n
__________．
【变式10-2】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图
形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．(1)如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；
(2)如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；
(3)如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且
1 1
∠CBQ= ∠ABC，∠EDP= ∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关
4 4
系．（直接写结论）
【变式10-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运
动，点B在射线OM上运动．
(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小
是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
(2)如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F
，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的n等分线（n∠OAE=∠BAO、n∠FAO=∠OAG）与
∠BOQ的n等分线（n∠EOQ=∠BOQ）及其延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一
个角的3倍，直接写出∠ABO的度数．（结果可用含n的代数式表示）
【考点3 多边形及其内角和】
【知识点1 多边形及有关概念】
（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（2）正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形
等．
（3）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
【要点】①从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；
n(n−3)
②n边形共有 条对角线．
2
【知识点2 多边形的内角和及外角和】
（1）内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
（2）多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
（3）多边形的边数与内角和、外角和的关系：n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多
边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
【题型11 多边形内角和公式的应用】
【例11】（23-24八年级·安徽芜湖·期中）如图，六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠D=∠A，
AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，求∠F的度数．
【变式11-1】（23-24八年级·湖北黄冈·期中）如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，
请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？
【变式11-2】（23-24八年级·四川遂宁·期末）如图，六边形ABCDEF的各个内角都相等，且
∠DAB=60°．
(1)求∠E的度数．
(2)判断AB与DE的位置关系，并说明理由．【变式11-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）按要求完成下列各小题．
(1)如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数．
(2)如图2，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠BAF的度数．
【题型12 多边形外角定理的应用】
【例12】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若
∠1，∠2，∠3，∠4的和等于230°，则∠BOD的度数为 ．
【变式12-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分
别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90° B．180° C．120° D．270°
【变式12-2】（23-24八年级·山东东营·期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再
沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 米．【变式12-3】（23-24八年级·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下
面让我们一起来探索：
(1)下列有A、B两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)．
A．如图①，∠1和∠2是△ABC的两个外角，求证∠1+∠2=180°+∠A；
B．如图②D、E是△ABC边AB、AC上的点，将△ADE沿DE翻折至△FDE，若点F在△ABC内部，
∠1+∠2=2∠A．我选择作答
(2)如图③，BE、CE分别平分四边形ABCD的外角∠CBM、∠BCN．已知∠A=100°，∠D=120°，
求∠E的度数；
(3)如图④，已知五边形ABCDE，延长AE至F，延长BC至G，连接CE，点P、Q分别在边DE、CD上，
1 1
将△DPQ沿PQ翻折至△D′PQ，若∠≝= ∠CEF，∠DCG= ∠ECG，∠A=m°，∠B=n°．请你
3 3
直接写出∠1+∠2的度数(用含m、n的代数式表示)
【题型13 多边形的截角问题】
【例13】（2024·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是
1440°．则原来多边形的边数是 ．
【变式13-1】（23-24八年级·全国·单元测试）一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到
的新多边形内角和为2340°，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式13-2】（23-24八年级·河南商丘·期中）如图，在正方形ABCD中，截去∠A、∠C后，∠1、∠2
、∠3、∠4的和为 ．
【变式13-3】（23-24八年级·浙江衢州·期中）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：(画出图形，把截去的部分打上阴影)
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180∘．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180∘．
(2)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520∘，求原多边形的边数．
【题型14 求不规则图形中相关角的和】
【例14】（2024八年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为
．
【变式14-1】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
【变式14-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，已知∠1=60°，
∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B= ．【变式14-3】（2024八年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
