文档内容
2024-2025 学年人教版八年级上学期第二次月考卷
考试范围：三角形、全等三角形、轴对称 共26题
（考试时间：90分钟、试卷满分：100分）
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为7，则该三角形的周长是（ ）
A．13 B．19 C．20或19 D．13或19
【答案】C
【分析】分为两种情况6为底或7为底，还要注意是否符合三角形三边关系．
【详解】解：∵等腰三角形的一边长为6，另一边长为7，
∴有两种情况：
①6为底，7为腰，那么7+7=14＞6，则7+7+6=20；
②7为底，6为腰，那么6+6+7=19；
∴该三角形的周长是20或19．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．自贡剪纸是四川省非物质文化遗产．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线 成轴 对称
是解题的关键．根据轴对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，符合题意，故选：D．
3．下列多边形中，具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．三角形
【答案】D
【知识点】四边形的不稳定性、三角形的稳定性及应用
【详解】正方形、矩形、梯形都是四边形，不具有稳定性，
三角形具有稳定性．
故选D．
4．如图，AD是 的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且 ，连接BF，CE，下列
说法：① 和 面积相等；② ；③ ；④ ；⑤ ．其
中正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质
【分析】根据三角形中线的定义可得 ，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利
用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，全等三角形对应角相
等可得 ，再根据内错角相等，两直线平行可得 ．
【详解】解： 是 的中线，
，
和 面积相等，故①正确；
为 的中线，
， 和 不一定相等，故②错误；
在 和 中，
，，故③正确；
，
，故④正确；
条件不足以证明CE=AE
故⑤不一定正确，
综上所述，正确的结论为：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，解题的关键是熟练掌握三
角形全等的判定方法．
5．在下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称的定义进行逐个判断即可．
【详解】解：A选项不是轴对称图形，故不符合题意；
B选项不是轴对称图形，故不符合题意；
C选项是轴对称图形，故符合题意；
D选项不是轴对称图形，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查判断轴对称图形，熟知轴对称的定义及性质是解题的关键．
6．下列说法正确的个数是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②等角的补角相等；
③两直线平行，同旁内角相等；④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤相等的角是对顶角；
⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点；
⑦直角三角形只有一条高线．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】画三角形的高、垂线的定义理解、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等
【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角，三角形的高，垂线，掌握相关定理和性质是解题的关键．
【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；
②等角的补角相等，说法正确；
③两直线平行，同旁内角互补，原说法错误；
④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
⑤相等的角不一定是对顶角，原说法错误；
⑥钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部一点，说法正确；
⑦直角三角形有三条高线，原说法错误；
正确的为②④⑥，共 个，
故选B．
7．如图，在四边形 中，对角线 所在的直线是其对称轴，点P是直线 上的点，下列判断错误
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、全等三角形的性质
【分析】根据轴对称的性质得出 ， ，根据对应角相等，对应边相等逐项判
断即可求解．
【详解】解：∵在四边形 中，对角线 所在的直线是其对称轴，点P是直线 上的点，
∴ ， ，∴ ， ，
故A，B，D选项正确，
无法判断 ，
故C选项不正确，
故选C
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
8．在等腰梯形 中， ， ， ， 平分 ，则这个梯形的周长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、梯形、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查的是等腰梯形的性质，含 角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握含
角的直角三角形的性质：直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半.根据题意，可知
，即可推出 ，再证明， ，根据含 角
的直角三角形的性质可知 ，便可推出梯形的周长．
【详解】解： 等腰梯形 中， ， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
梯形 的周长 ．
故选C．
9．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】B
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示：当BC =AC ，AC=CC ，AB=BC ，AC =CC ，AB=AC ，AB=AC ，BC =CC 时，都
1 1 2 3 4 4 5 6 7 7
能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解
题关键．
10．如图， ABC≌ AED，点D在BC上，若∠EAB＝42°，则∠DAC的度数是（ ）
△ △
A．48° B．44° C．42° D．38°
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，于是可得∠DAC=∠EAB，代入即可．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠EAB+∠BAD =∠DA C+∠BAD，
∴∠DAC=∠EAB=42°，
故选C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为
【答案】9
【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为4和9，
∴分两种情况：（1）腰长为4，底边为9，但是4+4＜9，所以不能组成三角形，
（2）腰长为9，底边为4，符合题意，所以第三边长为9.
故答案为：9
12．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．
【答案】15：01
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可．
【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为15：01；
故答案为：15：01
【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的
事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像
的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求．
13．如图， 是等边三角形， 为 内一点， ， ， ，则
．【答案】30
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】连接DC，根据等边三角形性质得出AB=AC=BC，∠ACB=60°，推出BF=BC，证△ADC≌△BDC，
求出∠ACD=∠BCD= ∠ACB=30°，证△FBD≌△CBD，推出∠BFD=∠BCD即可．
【详解】解：连接DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC=AB，
∵BF=AB，
∴BF=BC，
∵在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB= ×60°=30°，
在△FBD和△CBD中，
，
∴△FBD≌△CBD，
∴∠BFD=∠BCD=30°，故答案为：30．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是证出△ADC≌△BDC和
△FBD≌△CBD．
14．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC与点M．若CM＝4cm，BC＝5cm，AM＝6cm，则△MBC的
周长＝ cm．
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据垂直平分线的性质，可得BM＝AM＝6cm，即可求出周长．
【详解】∵AB的垂直平分线交AC与点M
∴BM＝AM＝6cm，
∵CM＝4cm，BC＝5cm，
∴△MBC的周长＝CM+BC+BM＝4+5+6=15（cm）
故答案为：15．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理，熟练掌握性质定理是本题的关键．
15．平行四边形的面积是 （如图），甲、乙底边的比是 ，甲、乙、丙的面积比是 ，其中
乙三角形的面积是 cm2．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟记平行四边形的性质，三角形的面积是解题的
关键.
根据三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可求解.【详解】解：由图形可知，三角形甲、乙、丙等高，
∴甲、乙、丙的面积比等于底之比，
∵甲、乙底边的比是 ，平行四边形对边相等，
∴甲、 乙、丙的底之比为 ,
∵平行四边形的面积是
∴乙三角形的面积
故答案为: , .
16．如图，已知 ，点 ， ， ， ，在射线 上，点 、 、 ， ，在射线
上， 、 、 、…均为等边三角形，若 ，则 的边长是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得
，进而得 ，再根据等腰三角形的性质得 ，故得
的边长为 ，同理得 的边长为 ， 的边长为 ，以此规律可得， 的边长，
熟练掌握等边三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的边长为 ，
同理： 的边长为 ， 的边长为 ，以此规律可得， 的边长为 ，
故答案为： ．
17．如图，在 中， ，点D在线段 上， ， ，于点E，
交 于点F，若 ，则 ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】过点D作 交 的延长线于G，交 于H，先证 和 全等得 ，则
，再证 为等腰直角三角形得 ，进而可证 和 全等得 ，则
，然后根据 即可求出 的长．此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问
题的关键．
【详解】解：过点D作 交 的延长线于G，交 于H，如图所示：
在 中， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为：2．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l与 轴交于点 ，与 轴交点于 ，且 ， ，
以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线l于点 ，以 为边长作等边三角
形 ，过点 作 平行于 轴，交直线l于点 ，以 为边长作等边三角形 ，按此规
律进行下去，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、点坐标规律探索
【分析】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，过 作 于A，
过 作 于B，过 作 于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性
质，可得 的横坐标为 ， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，进而可得的横坐标为 ，由此可解．
【详解】解：如图所示，过 作 于A，则 ，
即 的横坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过 作 于B，则 ，
即 的横坐标为 ，
过 作 于C，
同理可得， ， ，
即 的横坐标为 ，
同理可得， 的横坐标为 ，由此可得 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标是 ．
故答案为： ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．一条船从海岛 出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛 处，从 、 望灯塔
，测得 ， ，求海岛 与灯塔 的距离．
【答案】50海里
【知识点】根据等角对等边求边长、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先根据路程等于度数乘以时间得到 海
里，再由三角形外角的性质推出 ，则 海里．
【详解】解：∵一条船从海岛 出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛 处，
∴ 海里，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 海里，
∴海岛 与灯塔 的距离为50海里．
20．如图，在 中， ， ， 为 延长线上一点，点 在 边上，且 ，
连接 、 、 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 的度数为 ．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）利用 证明三角形全等即可证明 ；
（2）由全等三角形对应角相等得到 ，利用等腰直角三角形的性质求出 的度数，再根
据三角形外角的性质可确定 的度数．
【详解】（1）证明：∵ ， 为 延长线上一点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∵ 为 的外角，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质，邻补角的定义．掌握全等
三角形的判定与性质是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，在图中作
出 关于 轴对称的图形 ，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，并写出D，E，F的坐标．
【答案】作图见解析， ， ，
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，分别作出点 、 、 关于 轴对称的点，然后顺次连接，并
写出 、 、 的坐标．解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
【详解】解：如图 即为所求， ， ， ．
作法：1．分别作出点 、 、 关于 轴对称的点 、 、 ，
2．然后顺次连接，并写出 、 、 的坐标．
22．（1）等腰三角形的两边长满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|－|c＋b－a|．
【答案】（1）22；（2） ．
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】（1）根据非负数的性质求出 、 ，再根据三角形三边关系分情况讨论求解．（2）三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化
简计算即可．
【详解】解：（1）∵ ，且 ，
∴ ，
解得： ，
①4是腰长时，三角形的三边分别是4、4、9，
∵ ，
∴不能组成三角形．
②4是底边时，三角形的三边分别是4、9、9，
能组成三角形，
周长 ，
综上所述，等腰三角形的周长是22．
（2） 的三边长分别是 、 、 ，
， ， ，
原式
．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是根据三角形三边的关系来判定
是否能构成三角形或绝对值内式子的正负．
23．如图， ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求 ABC中各角的度数．
△ △
【答案】∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】利用AB=AC，可得∠B和∠C的关系，利用AD=BD，可求得∠CAD=∠CDA及其与∠B的关系，
在 ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ABC，得到结果．
【△详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∵BD=AD，
∴∠B=∠DAB，
∵AC=DC，
∴∠DAC=∠ADC=2∠B，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
24．如图，在 中， ， ，点D在线段 上运动（点D不与点B，C重合），连
接 ，作 ， 交线段 于点E．
(1)当 时， ______°
(2)线段 的长度为何值时， ，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出 的度数；若不可以，请
说明理由．
【答案】(1)25
(2)见解析
(3)可以， 或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的
定义及性质
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识：
（1）根据平角的定义计算，得到答案；
（2）当 时，利用 ， ，得到 ，根据
，证明 ；
（3）分 三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【详解】（1）解：∵ ，∵ ，
故答案为：25；
（2）解：当 时， ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： 的形状可以是等腰三角形．
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当 时， ，
∴ ．
综上，当 的度数为： 或 时， 的形状是等腰三角形．
25．如图，平面直角坐标系中， ，点 在第一象限内，点 在 轴正半轴上，点 在 轴负半
轴上，且 ，点 坐标为 ，且 满足 ，请解答下列问题：
(1)求点B和点C的坐标；(2)若连接 交y轴于点D，且 ， ，求点A的坐标；
(3)在（2）的条件下， ，在坐标轴上是否存在点E，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，
请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)存在，点E共有6个， ； ； ； ； ；
．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、坐标与图形
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、两个非负数的和为零、等腰三角形的性质等知识，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
（１）由两个非负数的和为零可求出 的值，从而得出 ， 的坐标；
（２）根据等面积法分别表示出 的面积，从而可求出答案；
（３）根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：
，点 坐标为
，点 坐标为
（2） ，点 的坐标
（3）在坐标轴上存在6个点 ，使 是以 为腰的等腰三角形
轴正半轴上使得 ， ，
点 关于 轴的对称点
轴正半轴上使得 ，
轴负半轴上使得 ，
点 关于 轴的对称点
故坐标轴上存在6个点 ， ； ； ； ； ；
．
26．【观察与发现】如图1，将长方形纸片 沿短边的中点连线 对折；展开后再将长方形沿直线
折起，使得点 落在 上，对应点记为 ，连接 ．
（1）用尺规作图法作出折痕 ；
（2）可以发现 的形状为 ， 与 的关系为 ．【思考与证明】如图2，改变折痕 的位置，且 ，将下面的长方形 沿 对折后，点 、
的对应点分别为 ；展开后再将矩形沿直线 折起，使得点 落在 ，连接 ，判断
与 的关系否还成立？并说明理由．
【探索与创新】如图3，改变折痕 的位置 的同时，改变折痕 的位置为 ，同样使得点
落在 上，对应点记为 ．点 、 的对应点分别为 ，连接 ．判断 形状，并
说明 与 的数量关系．
【实践与应用】如图4，在给出的长方形 纸片中，点 为 边上一点，连接 ，根据上面得到的
结论，用折叠的方法即可以将 三等分，请尝试画出折痕．
【答案】（1）见解析；（2）等边三角形， ；思考与证明： 与 的关系还成
立，理由见解析；探索与创新： 是等腰三角形； ；实践与应用：见解析；
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、画垂线、折叠问题、等边三角形的判定和性质
【分析】【观察与发现】（1）作线段 垂直平分线即可；
（2）根据折叠的性质可得 ，则 是等边三角形，由此求出 ，可得
；【思考与证明】仿照（2）求解即可；
【探索与创新】如图所示，连接 ，由折叠的性质可得 ， ，
证明 ，得到 ，则 ，即可证明 是等腰三角形；由三角形内
角和定理得到 ，再由 ，得到 ，则
；
【实践与应用】如图所示，将长方形纸先对折得到折痕 ，再将长方形折叠使得 与 重合，得到折
痕 ，接着将长方形纸折叠使得点E落在 上，点B落在 上得到折痕 ，则 即是 的
三等分线．
【详解】解：【观察与发现】（1）如图所示，直线 即为所求；
（2）由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：等边三角形， ；
【思考与证明】： 与 的关系还成立，理由如下：
同理可证明 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的关系还成立；【探索与创新】：如图所示，连接 ，
由折叠的性质可得 ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【实践与应用】：如图所示，将长方形纸先对折得到折痕 ，再将长方形折叠使得
与 重合，得到折痕 ，接着将长方形纸折叠使得点E落在 上，点B落在 上得到折痕 ，
则 即是 的三等分线．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平
分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
