文档文本内容
专题 01 与三角形有关的线段（5 个知识点 6 种
题型 2 个易错点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1 三角形的定义
知识点2 三角形的三边关系
知识点3 三角形的分类
知识点4三角形的三条重要线段
知识点5 三角形的稳定性
【方法二】 实例探索法
题型1：三角形的识别
题型2：三角形三边关系应用
题型3：三角形三种重要线段应用
题型4：三角形三边关系的实际应用
题型5：由三角形的三边关系证明线段间的不等关系
题型6：有关三角形个数的探究
【方法三】 差异对比法
易错点1：对三角形的三线，尤其是角平分线和高的理解不深刻，导致在作图时发生错误
易错点2：忽略了三条线段能否组成三角形导致错误
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．
2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．
4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1 三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形
ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母
a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【例1】（2022秋·八年级课时练习）由不在同一条直线上的三条线段___________所组成的图形叫做三角
形．
【答案】首尾顺次连接
【详解】解：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形．
【变式1】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
知识点2 三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．【例2】．（2023春•大渡口区校级期中）以下数据分别是3根小木棒的长度．用这3根小木棒的长度为边
能搭成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．5cm，5cm，10cm
C．5cm，7cm，14cm D．3cm，4cm，5cm
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+7＜14，不能组成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
知识点3 三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
【例3】（2022秋·全国·八年级专题练习）用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：三角形按边可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和
三边相等的三角形（等边三角形），
∴集合正确的是D．
【变式】（2022秋·河北邢台·八年级校考期中）如图表示三角形的分类，则 表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
【答案】D
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等
边三角形），
知识点4 三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接 作∠BAC的平分线AD，交
语言 AD． BC于点D．
标示
图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
线． 1．AD是△ABC的角平分
2．AD是△ABC 中BC 边上
的高． 2．AD是△ABC中BC边 线．
上的中线． 2．AD平分∠BAC，交BC
符号 3．AD⊥BC于点D．
于点D．
语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°． 3．BD＝DC＝ BC
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
以AD⊥BC．
推理
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段垂直． 1．线段相等．
用途
角度相等．
举例
2．角度相等． 2．面积相等．
1．与边的垂线不同．
注意
— 与角的平分线不同．
事项
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要 延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征 一点．这个交点就是三 点．
角形的重心。
【例4】已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【解答】解：由题意画图可得：
【点评】此题主要考查了复杂作图中线段垂直平分线的作法以及角平分线作法等知识，熟练掌握作图方法
是关键．
【变式1】如图，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC
【解答】解：△ABC中AB边上的高是线段CD．
故选：C．
【变式2】（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习） 在正方形网格中的位置如图所示，点 ， ，
， 均在格点上，则点 是 的（ ）
A．三条内角角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．无法确定
【答案】B
【详解】如图，点E、F分别是 的中点，
∴A 是 的中线，
∴点P是 三条中线的交点．
故选B．知识点5 三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳
定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线
支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【例5】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、
CD)，这样做的数学道理是什么?
【答案】解：三角形的稳定性．
【变式1】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），
每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的
固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。
【变式2】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至
少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边
形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
【方法二】实例探索法
题型1：三角形的识别
1．（2022秋·广东惠州·八年级阶段练习）在△ABC中，BC边的对角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【答案】A
【详解】解：如图，
在 中， 边的对角是 ，
2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）在如图所示的图形中，三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
【详解】解：图中的三角形有： ，共5个．
3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（
）
A．2对； B．3对； C．4对； D．6对；【答案】B
【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
4．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 的对边是___________．
【答案】
【详解】解：在 中， 的对边是 ，
5．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，点 、 在 的边 上，则图中共有三角形_____个．
【答案】
【分析】根据三角形定义直接数出图中三角形即可得到答案．
【详解】解：图中三角形有： 共6个，
6．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， 分别是 边上的点，连接 ， ，相交于
点 ．
(1) 的三个顶点是什么?三条边是什么?(2) 是哪些三角形的边?
【详解】（1）解： 的三个顶点是点 ， ， ，三条边是 ， ， ；
（2）解： 是 ， ， ， 的边．
7．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
【答案】图中共有7个三角形；以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
【详解】图中共有7个三角形，分别是：
△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，
以E为顶点的角是：∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出 的边和角．
（3） 是哪些三角形的边？ 是哪些三角形的角？
【答案】（1）图中有： ， ， ， ， ，共5个；
（2） 的边： ， ， ，角： ， ， ；
（3） 是 ， ， 的边； 是 ， ， 的角．
【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，
以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，
再以DE为边三角形有△DEC，
一共有5个三角形分别为 ， ， ， ， ；
（2） 的边： ， ， ，
角： ， ， ；（3） 是 ， ， 的边；
是 ， ， 的角．
题型2：三角形三边关系应用
9．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期中）有4条线段的长度分别是 和 ，选择其中能组
成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形．
【答案】3
【详解】解：（1）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形；
（2）当取 、 、 三条线段时，∵ ，故不能构成三角形；
（3）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形；
（4）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形．
综上所述，可作3个不同的三角形．
10．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）若等腰三角形的两边的长分别是 、 ，则它的周长为
___________ ．
【答案】17或19
【详解】解：①当腰长为 时，三角形的三边分别为 ， ， ，符合三角形的三边关系，则三
角形的周长 ；
②当腰长为 时，三角形的三边分别为 ， ， ，符合三角形的三关系，则三角形的周长
；
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___．
【答案】4
【详解】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴|m﹣3|+|m﹣7|
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
12．（2022秋·八年级课时练习）四根木棒的长度分别为 ．从中取三根，使它们
首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来．
【详解】解：当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；
当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒不可以组成三角形；
当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；
综上所述，一共有3种取法：取 这三根木棒，取 这三根木棒，取
这三根木棒．
13．（2022秋·八年级课时练习）两根木棒的长分别是 和 ．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉
成一个三角形．若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种?
【答案】第三根木棒长的取值情况有4种．
【详解】解：设第三根木棒长度为 ，根据题意得：
，即 ，
∵第三根木棒的长为偶数，
∴ 可取4，6，8，10，有4种情况．
答：第三根木棒长的取值情况有4种．
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足
，试判断 的形状．
【答案】 的形状是等边三角形．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴a=b=c，
∴ 是等边三角形．
15．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期中）如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为1cm，求：
(1)这个三角形的第三边的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．【答案】(1)8＜x＜10；
(2)19cm．
【详解】（1）设第三边的长为x cm，
∵三角形的一边长为9cm，另一边长为1cm，
∴9-1＜x＜9+1，
即8＜x＜10；
（2）∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为9cm，
∴三角形的周长为19cm．
16．（2022秋·广东惠州·八年级期中）三角形的两边分别为2cm和4cm，且周长为偶数，求第三边长．
【答案】4cm
【详解】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a可以为4cm．
三角形的周长是：2+4+4＝10cm．
∴第三边长为4cm．
17．（2022秋·安徽蚌埠·八年级统考期中）已知： 中， ， ， ，求 的范围．
【答案】
【详解】解：∵ 是 的三边，
∴ ，
即： ，
解得： ，
18．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知 ABC的三边长分别为1，4，a，化简：
△
．
【答案】
【详解】解：因为 ABC的三边长分别为1，4，a．
所以4-1<a<4+1． △
解得3<a<5．
∴ ， ， ，∴
．
19．（2022秋·四川自贡·八年级校考阶段练习）已知一个三角形的三边长分别为 ，化简：
．
【答案】
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
∴
20．（2022·全国·八年级专题练习）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程
，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
【答案】9
【详解】解：解方程组 ，
得 ，
∵a，b，c是三角形的三条边，
∴ ，
∴ ，
∵周长为整数，
∴ ，
∴三角形的周长 ．21．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式
的正整数解，求该三角形的周长．
【答案】21或22
【详解】解：∵2，x，10分别为三角形的三边长，
∴ ，即 ，
整理不等式 得： ，
解得： ，
综上： ，
∵x为正整数，
∴ 或 ，
∴该三角形的周长为： 或 ．
22．（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简 ；
(2)若 ， ， ，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）解：∵a，b，c为三角形的三边长，
∴ ， ，
∴
；
（2）解：当 时，原式 ．
23．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知a，b，c是 的三边．
(1)化简 ；(2)若a和b满足方程组 ，且c为偶数，求这个三角形的周长．
【答案】(1)
(2)11或13
【详解】（1）∵a，b，c是 的三边，
∴ ，
∴ ；
（2）解方程组 ，得 ，
根据三角形的三边关系得 ，即 ，
∵c为偶数，
∴ 或6，
∴这个三角形的周长为 或 ．
题型3：三角形三种重要线段应用
24．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：∵AP是BC边上的高线，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：A．
25．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图， 是 的中线，E是 的中点，连结 ， ．
若 的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【详解】∵ 是 的中线，∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
26.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点
H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝ ∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误，
故选：C．
27．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
28.已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是 ．
【解答】解：∵BD是△ABC的一条中线，
∴AD＝CD，
而△ABD与△BCD的周长分别为21，12，并且BD公共，
∴AB﹣BC的长＝21﹣12＝9．
29．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于
．
【解答】解：如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，∴△ABC的面积＝ BC•AD＝ ×2×2＝2．
故答案为2．
30．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在 中，已知点 分别为 的
中点，若 的面积为 ，则阴影部分的面积为 _______
【答案】1
【详解】解：∵点E是 的中点，
， ，
，
，
∵点F是 的中点，
．
31．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
【分析】利用等积法求得AE的长度即可．【解答】解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵ BC•AE＝ AC•BD，AC＝8，BC
＝4，高BD＝3，
∴ ×4AE＝ ×8×3，
则AE＝6．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题．
32．（2022秋·八年级课时练习）
(1)用三角尺分别作出锐角三角形 ，直角三角形 和钝角三角形 的各边上的高线．
(2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直
角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．
【点睛】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．33.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的
长．
【答案与解析】
解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，
∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵ BC＝8，∴ AC＝5．
答：AC的长为5cm．
34．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）如图，已知 分别是 的高和中线，
， ，求：
(1) 的面积；
(2) 的长；
(3) 和 的周长的差．
【答案】(1)
(2) 的长度为
(3) 和 的周长的差是
【详解】（1）如图，∵ 是直角三角形，
∴ ．（2）解：∵ 是边 上的高，
∴ ，
∵
∴ ，即 的长度为 ；
（3）∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∴ 的周长 的周长 ，
即 和 的周长的差是 ．
35.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
【答案】
解：（1）△ABD与△ADC的面积相等，理由如下：
作AF⊥BC，如图1：
因为BD=DC，AF=AF，
所以△ABD与△ADC的面积相等；
（2）作图，如图2：（3）因为△ABC的面积为40，BD=5，
所以△ABD的面积为20，
因为BE为△ABD的中线，
所以△BDE的面积为10，
所以△BDE中BD边上的高为4．
题型4：三角形三边关系的实际应用
36．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：
规格
价格/（元/根）
小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为 和 的木棒，
还需要购买一根．
(1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买
木棒一共花了多少元？
【答案】(1) 种
(2) 元
【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为 ，根据三角形的三边关系可得 ，解得 ，
∵ 是整数，
∴ ，共 种，
∴有 种规格木棒可供选择．
（2）解： 三角形支架的周长为偶数， ，
∴ ，三角形支架的第三根木棒长为 ，
∴ （元）．
∴买木棒一共花了95元．
37．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范
围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘
米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值
范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘
米？
【详解】（1）根据三角形的三边关系，得70﹣35＜c＜70+35，即35＜c＜105．
∴木棒c长度的取值范围是：35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果a、d、b能组成三角形，那么35cm＜d＜105cm；
②如果a、e、b能组成三角形，那么35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果d、e、b能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，即|130﹣d﹣70|＜d＜130﹣d+70，
解得：30cm＜d＜100cm，
综上所述，35cm＜d＜95cm；
（3）若木棒d的长为偶数，
①如果a、d、b能组成三角形，那么d最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果a、e、b能组成三角形，则d最小值为26cm，最大值为94cm，那么e最小值为36cm，最大值为
104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果d、e、b能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）．
综上所述，最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
题型5：由三角形的三边关系证明线段间的不等关系
38．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中，点 在 上，连接 ，点 在 上，连接 ，
求证： ．【详解】证明： 在 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
39．（2021秋·陕西延安·八年级陕西延安中学校考期中）如图，在 中，M是 的中点，求证：
．
【详解】证明： 是 中点，
，
， ，
，
题型6：有关三角形个数的探究
40．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，一共有_________个三角形；从大小判断，图中青蛙
可以落在 个三角形内，则 ________．【答案】 6 4
【详解】解：所有三角形为： 共 个．
其中青蛙不能落在 中，其它均可，即 个．
41．（2022·全国·八年级专题练习）观察图形规律：
（1）图①中一共有________个三角形，图②中共有________个三角形，图③中共有________个三角形．
（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有________个三角形．
【答案】 3 6 10
【详解】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角
形．
故答案为：3，6，10；
（2） ， ， ，
第n个图形共有： ．
42．（2020秋·八年级课时练习）如图，在 中， 为AC边上不同的n个点，首先连
接 ，图中出现了3个不同的三角形，再连接 ，图中便有6个不同的三角形……
(1)完成下表：连接点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个
数
(2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
(3)若一直连接到 ，则图中共有多少个三角形？
【答案】(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3)
【详解】(1)
连接点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
(2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45；
∴出现了45个三角形，则共连接了8个点；
(3)设连接到AA 时，图中有 个三角形(n为正整数)．
n
观察图形和(1)中表格，可知： =2+1=3， =3+2+1=3， =4+3+2+1=10， ，
∴
= ( )( )，
∴若一直连接到 ，则图中共有 ( )( )个三角形．
【方法三】差异对比法
易错点1：对三角形的三线，尤其是角平分线和高的理解不深刻，导致在作图时发生错误
43．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知 ．(1)画出 的中线 和角平分线 ；
(2)画出 的高 ， ．
【详解】（1）解： 即为所求作的中线， 为所求作的角平分线，如图所示：
（2）解： 、 为所求作的高线，如图所示：
【易错总结】三角形的高线、角平分线、中线都是线段
易错点2：忽略了三条线段能否组成三角形导致错误
44．（2022秋•招远市期中）有四根细木棒，长度分别为6cm，7cm，9cm，14cm，从中取三根木棒组成一
个三角形，有_____种可能情况．（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形．
【解答】解：三角形三边可以为：①6cm，7cm，9cm；②7cm，9cm，14cm；③6cm，9cm，14cm，
可以围成的三角形共有3种．
故选：C．
【易错总结】6+7＜14，所以6，7，14不能构成三角形
45.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、
AC边不等，故应分类讨论．
【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝ ．
(1)若AB+AD＝12，即 ，所以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．
(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即 ，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有
交代，因此，必须进行分类讨论
【方法四】成功评定法
一、单选题
1．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性.
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在 中， ，G为 的中点，延长 交 于E，F
为 上的一点， 于H．下列判断正确的是（ ）
A．线段 是 的角平分线 B．线段 为 边 上的高
C．线段 是 边 上的中线 D．线段 为 的角平分线
【答案】B
【详解】依题意：
A.线段 是 的角平分线，故此选项判断错误，不符合题意，
B.线段 为 边 上的高,故此选项判断正确，符合题意；
C. 线段 是 边 上的中线,故此选项判断错误，不符合题意，
D.线段 是 的角平分线，故此选项判断错误，不符合题意，
3．（2023·全国·八年级假期作业）在下列各图的 中，正确画出 边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解： 边上的高就是过B作垂线垂直 交 于某点，因此只有C符合条件，
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， ， ， ，点 ， ， 是垂足，下列
说法错误的是（ ）A． 中， 是 边上的高 B． 中， 是 边上的高
C． 中， 是 边上的高 D． 中， 是 边上的高
【答案】B
【详解】解：A、 中， 是 边上的高，故此选项正确，不符合题意；
B、 中， 不是 边上的高，故此选项错误，符合题意；
C、 中， 是 边上的高故此选项正确，不符合题意；
D、 中， 是 边上的高，故此选项正确，不符合题意．
5．（2023·全国·八年级假期作业）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
【答案】D
【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：
6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校联考阶段练习）如图中三角形的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：图中的三角形有 ， ， ，共有3个．
7．（2022秋·八年级单元测试）如图， ， ， 分别是 的高，角平分线、中线，则下列各式
中错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵C ， ， 分别是 的高、角平分线、中线，
∴ ， ， ，无法确定 ．
8．（2020秋·广东广州·八年级校考期中）现有四根长度分别为 ， ， ， 的木棒，从中任取
三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：任意三根组成三角形可以是：① ， ， ；② ， ， ；③ ， ，
；④ ， ， ，共4种情况，
① ，不能构成三角形，不符合题意；
② ，不能构成三角形，不符合题意；
③ ，不能构成三角形，不符合题意；
④ ，能构成三角形，符合题意，
只有一种情况能组成三角形，即能组成三角形的个数为1，9．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为
底边和腰不相等的三角形和底边三角形，
10．（2022秋·河南周口·八年级校联考期中）如图， ， ，则以 为高的三角形的个
数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【详解】 于
即图中所能写出的三角形的高均为
以 为高的三角形有 个： ； ； ； ； ；
二、填空题
11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是
；在 AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ．
△【详解】解：在 BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；
在 AEC中，边△AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC；
∠A△为内角的三角形是 ABD， ABC， ACE．
故答案为：∠BCE；CE△；∠AC△E； AB△D， ABC， ACE
12．（2022秋·福建龙岩·八年级统考△期中）如△图， △是 的中线， ， ，那么
的周长比 的周长多 ．
【答案】
【详解】解： 是 的中线，
，
的周长 的周长
，
的周长比 的周长多 ，
13．（2020秋·广东广州·八年级校考阶段练习）三角形的三条边长分别是2， ，6，则 的取值范围是
．
【答案】
【详解】解： 三角形的两边长分别为2和6，
第三边长 的取值范围是： ，
即： ．14．（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，在 中， 、 、 分别是
、 、 的中点，若 的面积是 ，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接 ， ， ，
∵ 、 、 分别是 、 、 的中点， 的面积是 ，
∴ ，
，
，
∴ ， ， ，
∴
，
15．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在 中， 分别是边 上的中线和高，
， 的面积 ，则 ．【答案】8
【详解】解：∵ 的面积 ，
，
即 ，
，
为中线，
．
16．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图所示， ， 是 的两条高，若 ，
，则 的长为 cm．
【答案】
【详解】解： ， ，
的面积 ，
，
∵
，
，
17．（2020秋·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）设 的三边长分别为 、 、 ，其
中 、 满足 ，则第三边长 的取值范围是 ．
【答案】 /【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
18．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ．
（2）以线段 为公共边的三角形是 ．
（3）线段 所在的三角形是 ， 边所对的角是 ．
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有 、 、 、 、 、 ，
图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有 ， ， ；
故答案为：6， ， ， ；
（2）由图可知，
以线段 为公共边的三角形是 ， ， ；
故答案为： ， ， ；
（3）由图可知，
线段 所在的三角形是 ，
边所对的角是 ；故答案为： ， ．
三、解答题
19．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图， ， 分别是 的高， ， ，
，求 的长．
【答案】 ．
【详解】解： ， 分别是 的高，
∴ ，
∴ ，
， ， ，
∴ ，
∴ ．
20．（2022秋·重庆潼南·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ，垂足为D，
平分 ．已知 ， ，求 的度数．
【答案】
【详解】解：
平分21．（2022秋·江西上饶·八年级统考期中）任意画一个三角形，利用三角形的中线，将这个三角形的面积
分成相等的四部分，并简要说明作法．（给出3种方法）
【详解】解：
方法一：如图所示，
分别找到 、 、 的中点D、E、F，连接 、 、 ，根据三角形中线定性质可得4个全等
的三角形
方法二：找到 的中点E，在找到 、 的中点F、D，连接 、 、 ，根据中线的性质得到四
个底和高相等的三角形；
方法三：找到 的中点D，连接 ，再找到 的中点E连接 、 ，根据三角形中线的性质即可
得到四个面积相等的三角形．
22．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图1，点 是 内部一点，连接 ，并延长交于点 ．
(1)试探究 与 的大小关系；
(2)试探究 与 的大小关系；
(3)如图2，点 ， 是 内部两点，试探究 与 的大小关系．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【详解】（1）解： ，理由为：
，
∴
即：
（2） ，理由为：
在 中， ，
在 中， ，
两式相加得： +
即：
（3） ，理由为：
如图，延长 交 的延长线于G，交 于点F，
在 中， ，①
在 中， ，②
中， ，③
得：
23．（2023秋·八年级课时练习）三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于 ，求三边的长．
【答案】当 时，三边长分别为 ；当 时，三边长分别为 ；当 时，三边长分别为
．
【详解】解：设三角形的三边长分别为 ， ， ，
∵三角形的周长小于 ，
∴ ，
解得： ，
最大取9，最小取3，且 为奇数．
分类讨论：当 时，三边长分别为 ，
当 时，三边长分别为 ，
当 时，三边长分别为 ，
当 时，三边长分别为 ，此时不能构成三角形．
24．（2022春·山东德州·八年级校考期中）已知a、b、c满足(a﹣3)2 |c﹣5|=0．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请
说明理由．
【答案】（1）a=3，b=4，c=5；（2）能构成三角形，且它的周长=12．
【详解】（1）∵ ，
又∵(a﹣3)2≥0， ，|c﹣5|≥0，
∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，
∴a=3，b=4，c=5；
（2）能构成三角形，
∵3＜4＜5,3+4＞5
根据三角形三边关系能构成三角形，
其周长为3+4+5=12．
25．（2022·全国·八年级专题练习）三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？
【答案】18
【详解】解：设三角形三边为 、 、 ，且 ，∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为整数，
∴ 为 、 、 、 、 ，
∵①当 为 时，有1个三角形， ， ， ；
②当 为 时，有2个三角形， ， ， ； ， ， ；
③当 为 时，有4个三角形， ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；
④当 为 时，有5个三角形， ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；
⑤当 为 时，有7个三角形， ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；
， ， ； ， ， ； ， ， ；
都是整数的三角形共有19个，其中不等边三角形共有18个．
26．（2022秋·广东广州·八年级广州大学附属中学校考开学考试）在 中， ， ，
于D．
（1）如图①，已知 于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作 于E， 于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间
的关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析， ．
【详解】解：（1）证明：（2）如图②，连接PB，
，
（3）如图③，即为图像，
连接PB，作 交BC的延长线于E点，
，
27．（2022秋·八年级课时练习）按要求完成下列各小题．(1)在 中， ， ， 的长为偶数，求 的周长；
(2)已知 的三边长分别为3，5，a，化简 ．
【答案】(1) 的周长为
(2)
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得： ，即 ．
∵ 为偶数，
∴ ，
∴ 的周长为 ；
（2）解：∵ 的三边长分别为3，5，a，
∴ ，解得 ，
∴
．
