文档内容
专题 01 与三角形有关的线段（5 个知识点 6 种
题型 2 个易错点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1 三角形的定义
知识点2 三角形的三边关系
知识点3 三角形的分类
知识点4三角形的三条重要线段
知识点5 三角形的稳定性
【方法二】 实例探索法
题型1：三角形的识别
题型2：三角形三边关系应用
题型3：三角形三种重要线段应用
题型4：三角形三边关系的实际应用
题型5：由三角形的三边关系证明线段间的不等关系
题型6：有关三角形个数的探究
【方法三】 差异对比法
易错点1：对三角形的三线，尤其是角平分线和高的理解不深刻，导致在作图时发生错误
易错点2：忽略了三条线段能否组成三角形导致错误
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．
2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．
4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1 三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形
ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母
a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【例1】（2022秋·八年级课时练习）由不在同一条直线上的三条线段___________所组成的图形叫做三角
形．
【答案】首尾顺次连接
【详解】解：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形．
【变式1】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
知识点2 三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．【例2】．（2023春•大渡口区校级期中）以下数据分别是3根小木棒的长度．用这3根小木棒的长度为边
能搭成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．5cm，5cm，10cm
C．5cm，7cm，14cm D．3cm，4cm，5cm
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+7＜14，不能组成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
知识点3 三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
【例3】（2022秋·全国·八年级专题练习）用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：三角形按边可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和
三边相等的三角形（等边三角形），
∴集合正确的是D．
【变式】（2022秋·河北邢台·八年级校考期中）如图表示三角形的分类，则 表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
【答案】D
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等
边三角形），
知识点4 三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接 作∠BAC的平分线AD，交
语言 AD． BC于点D．
标示
图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
线． 1．AD是△ABC的角平分
2．AD是△ABC 中BC 边上
的高． 2．AD是△ABC中BC边 线．
上的中线． 2．AD平分∠BAC，交BC
符号 3．AD⊥BC于点D．
于点D．
语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°． 3．BD＝DC＝ BC
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
以AD⊥BC．
推理
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段垂直． 1．线段相等．
用途
角度相等．
举例
2．角度相等． 2．面积相等．
1．与边的垂线不同．
注意
— 与角的平分线不同．
事项
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要 延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征 一点．这个交点就是三 点．
角形的重心。
【例4】已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【解答】解：由题意画图可得：
【点评】此题主要考查了复杂作图中线段垂直平分线的作法以及角平分线作法等知识，熟练掌握作图方法
是关键．
【变式1】如图，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC
【解答】解：△ABC中AB边上的高是线段CD．
故选：C．
【变式2】（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习） 在正方形网格中的位置如图所示，点 ， ，
， 均在格点上，则点 是 的（ ）
A．三条内角角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．无法确定
【答案】B
【详解】如图，点E、F分别是 的中点，
∴A 是 的中线，
∴点P是 三条中线的交点．
故选B．知识点5 三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳
定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线
支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【例5】如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、
CD)，这样做的数学道理是什么?
【答案】解：三角形的稳定性．
【变式1】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），
每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的
固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。
【变式2】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至
少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边
形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
【方法二】实例探索法
题型1：三角形的识别
1．（2022秋·广东惠州·八年级阶段练习）在△ABC中，BC边的对角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【答案】A
【详解】解：如图，
在 中， 边的对角是 ，
2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）在如图所示的图形中，三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
【详解】解：图中的三角形有： ，共5个．
3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（
）
A．2对； B．3对； C．4对； D．6对；【答案】B
【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
4．（2022秋·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 的对边是___________．
【答案】
【详解】解：在 中， 的对边是 ，
5．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，点 、 在 的边 上，则图中共有三角形_____个．
【答案】
【分析】根据三角形定义直接数出图中三角形即可得到答案．
【详解】解：图中三角形有： 共6个，
6．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， 分别是 边上的点，连接 ， ，相交于
点 ．
(1) 的三个顶点是什么?三条边是什么?(2) 是哪些三角形的边?
【详解】（1）解： 的三个顶点是点 ， ， ，三条边是 ， ， ；
（2）解： 是 ， ， ， 的边．
7．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
【答案】图中共有7个三角形；以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
【详解】图中共有7个三角形，分别是：
△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，
以E为顶点的角是：∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出 的边和角．
（3） 是哪些三角形的边？ 是哪些三角形的角？
【答案】（1）图中有： ， ， ， ， ，共5个；
（2） 的边： ， ， ，角： ， ， ；
（3） 是 ， ， 的边； 是 ， ， 的角．
【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，
以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，
再以DE为边三角形有△DEC，
一共有5个三角形分别为 ， ， ， ， ；
（2） 的边： ， ， ，
角： ， ， ；（3） 是 ， ， 的边；
是 ， ， 的角．
题型2：三角形三边关系应用
9．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期中）有4条线段的长度分别是 和 ，选择其中能组
成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形．
【答案】3
【详解】解：（1）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形；
（2）当取 、 、 三条线段时，∵ ，故不能构成三角形；
（3）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形；
（4）当取 、 、 三条线段时，∵ ， ，故能构成三角形．
综上所述，可作3个不同的三角形．
10．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）若等腰三角形的两边的长分别是 、 ，则它的周长为
___________ ．
【答案】17或19
【详解】解：①当腰长为 时，三角形的三边分别为 ， ， ，符合三角形的三边关系，则三
角形的周长 ；
②当腰长为 时，三角形的三边分别为 ， ， ，符合三角形的三关系，则三角形的周长
；
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___．
【答案】4
【详解】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴|m﹣3|+|m﹣7|
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
12．（2022秋·八年级课时练习）四根木棒的长度分别为 ．从中取三根，使它们
首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来．
【详解】解：当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；
当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒不可以组成三角形；
当取 时，
∵ ，
∴ 这三根木棒可以组成三角形；
综上所述，一共有3种取法：取 这三根木棒，取 这三根木棒，取
这三根木棒．
13．（2022秋·八年级课时练习）两根木棒的长分别是 和 ．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉
成一个三角形．若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种?
【答案】第三根木棒长的取值情况有4种．
【详解】解：设第三根木棒长度为 ，根据题意得：
，即 ，
∵第三根木棒的长为偶数，
∴ 可取4，6，8，10，有4种情况．
答：第三根木棒长的取值情况有4种．
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足
，试判断 的形状．
【答案】 的形状是等边三角形．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴a=b=c，
∴ 是等边三角形．
15．（2022秋·河南三门峡·八年级统考期中）如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为1cm，求：
(1)这个三角形的第三边的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．【答案】(1)8＜x＜10；
(2)19cm．
【详解】（1）设第三边的长为x cm，
∵三角形的一边长为9cm，另一边长为1cm，
∴9-1＜x＜9+1，
即8＜x＜10；
（2）∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为9cm，
∴三角形的周长为19cm．
16．（2022秋·广东惠州·八年级期中）三角形的两边分别为2cm和4cm，且周长为偶数，求第三边长．
【答案】4cm
【详解】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a可以为4cm．
三角形的周长是：2+4+4＝10cm．
∴第三边长为4cm．
17．（2022秋·安徽蚌埠·八年级统考期中）已知： 中， ， ， ，求 的范围．
【答案】
【详解】解：∵ 是 的三边，
∴ ，
即： ，
解得： ，
18．（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知 ABC的三边长分别为1，4，a，化简：
△
．
【答案】
【详解】解：因为 ABC的三边长分别为1，4，a．
所以4-1
