文档内容
第1讲 与三角形有关的边
1、了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；了解三角形的稳定性；
2、理解三角形的分类；理解三角形及与三角形有关的线段的概念；
3、掌握并证明三角形两边的和大于第三边。
知识点 1 三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是
三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，
简称三角形的角．
知识点2 三角形的分类：
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰
的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
知识点3 三角形的三边关系：
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
知识点4 三角形的稳定性
①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有
稳定性，而四 边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
知识点5 三角形的重要线段
【题型 1 三角形的概念】
【典例1】（2022秋•游仙区期中）三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【变式1-1】（2022•杭州模拟）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，
其中符合三角形概念的是（ ）A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022春•通川区期末）根据下列已知条件，能确定△ABC的形状
和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
【题型 2 三角形的分类】
【典例2】（2022秋•民权县月考）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两
种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确
B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确
D．甲的分法正确，乙的分法错误
【变式2-1】（2022•宽城县一模）下列图形中，是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022春•馆陶县期末）有下列两种图示均表示三角形分类，则正
确的是（ ）A．①对，②不对B．②对，①不对 C．①、②都不对D．①、②都对
【题型3 三角形的判断】
【典例3】（2022春•承德县期末）如图，一只手握住了一个三角形的一部分，
则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．以上都有可能
【变式3-1】（2022秋•东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个
三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【变式3-2】（2022秋•颍泉区期中）如图，一个三角形纸片被木板遮掩了一部
分，则这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【题型4 三角形的三边关系】
【典例 4】（2023 春•建湖县期中）下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm
C．4cm，8cm，12cm D．5cm，8cm，12cm
【变式4-1】（2023春•锦江区校级期中）如图，为估计池塘两岸 A，B间的距
离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝14m，PB＝10m，那么AB间的
距离不可能是（ ）
A．4m B．15m C．20m D．22m
【变式4-2】（2023春•市南区校级期中）一个三角形的两边长分别为 3和5，
第三边长为偶数，则第三边长可能为（ ）
A．4或6 B．2或4 C．4 D．6
【变式4-3】（2023春•溧阳市期中）用木螺丝将五根不能弯曲的木棒围成一个
五边形木框，不计螺丝之间距离，其中木棒长如图所示，若在不破坏木框的
前提下，任意改变木框的内角大小，那么其中两顶点之间能达到的最大距离
是（ ）
A．12 B．11 C．9 D．8
【题型5 三角形的稳定性】
【典例5】（2023春•丰泽区校级期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉
杆”，这样做的道理是（ ）A．三角形具有稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两直线平行，内错角相等
【变式5-1】（2022秋•中山市期末）安装空调一般会采用如图的方法固定，其
根据的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【变式5-2】（2023•南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉
上几根木条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【题型6 三角形的高】
【典例 6】（2023 春•道里区校级期中）如所示的四个图形中，线段 BD 是
△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 6-1】（2023 春•香坊区校级期中）如图，四个图形中，线段 BE 是
△ABC的高的图是（ ）A． B．
C． D．
【变式6-2】（2023春•奉贤区校级期中）下列各图中，正确画出 AC边上的高
的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【变式6-2】（2023•东城区一模）如图，已知△ABC，用直尺测量△ABC中BC
边上的高约为 cm（结果保留一位小数）．
【题型7 利用三角形的中线巧算周长】
【典例7】（2022秋•黔东南州期中）如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，
△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长（AC＜AB）．
【变式 7-1】（2023 春•工业园区期中）如图，CM 是△ABC 的中线，BC＝
8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式7-2】（2023春•天桥区期中）如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD
是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
【变式7-3】（2021秋•河口县期末）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中
线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
【题型8 利用三角形的中线巧算面积】
【典例8】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别
是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式 8-1】（2021 秋•凤凰县期末）如图，D、E 分别是 AC、BD 的中点，
△ABC的面积为12cm2，则△BCE的面积是（ ）A．6cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【变式8-2】（2022秋•张店区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点
D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S ＝4cm2，则阴影部分的面积
△ABC
为 cm2．
1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
2．（2022•益阳）如图1所示，将长为 6的矩形纸片沿虚线折成 3个矩形，其
中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图 2所示的三棱柱形物体，则图
中a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形4．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近
的是（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
5．（2022•永州）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接
组成凸五边形（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
7．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
8．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周
长为8，则△ABD的周长为 ．9．（2021•大庆）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这
三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为 ．
1．（2023春•南岗区校级期中）以下列各组线段为边，能构成三角形的是（
）
A．2，6，3 B．6，7，8 C．1，7，9 D．
2．（2023春•溧阳市期中）三角形的三边长分别为 3、6和a，其中a为奇数，
那么这个三角形的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．14或16
3．（2023春•泗县期中）一个三角形的两边长分别为 3和6，且第三边长为整
数，这样的三角形周长的最大值是（ ）
A．17 B．9 C．10 D．16
4．（2023•丰顺县校级开学）要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至
少要再钉上的木条的根数为（ ）
A．一条 B．两条 C．三条 D．零条
5．（2023春•工业园区期中）下面的说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
B．直角三角形的高只有一条
C．三角形的高至少有一条在三角形内
D．钝角三角形的三条高都在三角形外面
6．（2023春•锡山区校级期中）各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图
形是（ ）A． B．
C． D．
7．（2022秋•磁县期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
8．（2023春•曲江区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的三条中线交于一点
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
9．（2022秋•泰山区期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分
线，高，下列各式中错误的是（ ）
A．BC＝2CD B．∠BAE＝ ∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
10．（2022秋•顺庆区校级期末）已知a，b，c是三角形的三条边，则|a+b﹣c|
﹣|c﹣a﹣b|的化简结果为（ ）
A．0 B．2a+2b C．2c D．2a+2b﹣2c
11．（2023春•建邺区校级期中）如图，以BC为边的三角形的个数是 个．12．（2022秋•嵊州市期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增
加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请
帮他在括号内填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即
可）
13．（2023春•碑林区校级期中）如图，AD为△ABC的中线，△ABD的周长为
23，△ACD的周长为18，AB＞AC，则AB﹣AC为 ．
14．（2020春•安源区期中）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC
的高线、角平分线和中线．
（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；
（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．
