文档内容
八上数学期末复习易错题 34 个必考点（100 题）
【人教版】
【考点1 三角形的角平分线、中线、高线】.........................................................................................................2
【考点2 三角形的三边关系】..................................................................................................................................5
【考点3 三角形的稳定性】......................................................................................................................................6
【考点4 三角形的内角和定理】..............................................................................................................................7
【考点5 三角形的外角性质】..................................................................................................................................9
【考点6 多边形及其内角和】................................................................................................................................11
【考点7 全等三角形的性质】................................................................................................................................12
【考点8 全等三角形的判定】................................................................................................................................14
【考点9 角平分线的性质】....................................................................................................................................15
【考点10 轴对称图形的判断】..............................................................................................................................18
【考点11 线段垂直平分线的性质】......................................................................................................................19
【考点12 关于x轴、y轴对称的点的坐标】.......................................................................................................21
【考点13 等腰三角形的性质】..............................................................................................................................22
【考点14 等腰三角形的判定】..............................................................................................................................25
【考点15 等边三角形的性质】..............................................................................................................................29
【考点16 等边三角形的判定】..............................................................................................................................31
【考点17 含30度角的直角三角形】....................................................................................................................33
【考点18 最短路径问题】......................................................................................................................................36
【考点19 幂的计算】..............................................................................................................................................38
【考点20 整式的乘法】..........................................................................................................................................40
【考点21 完全平方式】..........................................................................................................................................41
【考点22 完全平方公式求值】..............................................................................................................................42
【考点23 平方差公式】..........................................................................................................................................43
【考点24 因式分解的意义】..................................................................................................................................44
【考点25 分式的概念】..........................................................................................................................................45
【考点26 分式有意义的条件】..............................................................................................................................45
【考点27 分式的值为零的条件】..........................................................................................................................46
【考点28 分式的基本性质】..................................................................................................................................46
【考点29 最简分式的概念】..................................................................................................................................48
【考点30 最简公分母的概念】..............................................................................................................................48
【考点31 科学记数法表示较小的数】..................................................................................................................49
【考点32 整数指数幂】..........................................................................................................................................49
【考点33 分式方程的概念】..................................................................................................................................50
【考点34 分式方程的增根】..................................................................................................................................51【考点1 三角形的角平分线、中线、高线】
1．（2023秋•大荔县期末）如图，在△ABC中，利用三角板能表示BC边上的高的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断
即可．
【解答】解：A、表示的是△ABC中AB边上的高，故此选项不符合题意；
B、表示的是△ABC中BC边上的高，故此选项符合题意；
C、不能表示△ABC的高，故此选项符合题意；
D、表示的是△ABC中AC边上的高，故此选项符合题意；
故选：B．
2．（2023秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分
∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高
【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断
出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判
断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间
的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误．
【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；
B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；
C、∵BD是△BCE的角平分线，∴∠3＝∠2，
∵BE是中线，
∴∠1≠∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意．
D、由图可知：
∵∠C＝90°
∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意；
故选：C．
3．（2023秋•沧州期末）如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与
△ADC的周长之差为（ ）
A．14 B．1 C．2 D．7
【分析】由三角形中线的定义推知BD＝DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC的周长
之差为（AB﹣AC）．
【解答】解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2．
故选：C．
4．（2023秋•东莞市期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等
于8，则△BDE的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
1
∴S△ABD =
2
S△ABC ＝4，
∵E是AB的中点，
1 1
∴S△BDE =
2
S△ABD =
2
×4＝2，
故选：A．
【考点2 三角形的三边关系】
5．（2023秋•景县期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可
以组成三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即
可．
【解答】解：四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和2，5，6和3，5，6；
只有2，5，6和3，5，6能组成三角形．
故选：B．
6．（2024春•沈丘县期末）已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出 x的取值范围，然后根
据若x为正整数，即可选择答案．
【解答】解：∵10﹣2＝8，10+2＝12，
∴8＜x＜12，
∵若x为正整数，
∴x的可能取值是9，10，11，故这样的三角形共有3个．
故选：C．
7．（2023秋•南昌期末）如果一个三角形的两边长分别为4和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周
长最大值是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】设三角形的第三边长是x，根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：设三角形的第三边长是x，
∴6﹣4＜x＜6+4，
∴2＜x＜10，
∵第三边长为偶数，
∴x的最大值为8，
∴周长最大值为4+6+8＝18，
故选：D．
8．（2023秋•林州市期末）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻
两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏
此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：∵其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，
∴任意两颗螺丝的距离的最大值是4+6＝10，
故选：B．
【考点3 三角形的稳定性】
9．（2023秋•安化县期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】所有图形里，具有稳定性的是三角形，据此作答即可．
【解答】解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．
故选：D．
10．（2023 秋•香洲区期末）如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固
（ ）根木条．A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形具有稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可．
【解答】解：如图，他至少还要再钉上3根木条．
故选：B．
【考点4 三角形的内角和定理】
11．（2023秋•深圳期末）如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左
侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【分析】由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝
40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由 FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得
∠DFE．
【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
又∵AE是∠BAC的角平分线，
1
∴∠EAC= ∠BAC=40°．
2
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
故选：A．
12．（2023秋•河东区期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝130°，则∠A
的度数为（ ）A．80° B．70° C．60° D．45°
【分析】先根据∠BFC＝130°求出∠BCF+∠FBC的度数，再由BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可得出
∠ACB+∠ABC的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠BFC＝130°，
∴∠BCF+∠FBC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣130°＝50°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ACB+∠ABC＝2（∠BCF+∠FBC）＝2×50°＝100°，
∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣100°＝80°．
故选：A．
13．（2023秋•抚松县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至
△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（ ）
A．135° B．130° C．125° D．120°
【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角定义可解得∠ADF＝60°，继而
1
解得∠ADE= ∠ADF=30°，再由三角形内角和180°解得∠DEA＝135°，最后由折叠的性质解答即
2
可．
【解答】解：由题意得，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，
∵∠BDF＝120°，
∴∠ADF＝180°﹣120°＝60°，
1
∴∠ADE= ∠ADF=30°，
2
∴∠DEA＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣30°＝135°，
∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置，∴∠DEF＝∠DEA＝135°，
故选：A．
【考点5 三角形的外角性质】
14．（2023秋•淮北期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，AD，CE相交于点
P，∠BAC＝66°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数为（ ）
A．83° B．86° C．73° D．77°
1
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD= ∠BAC=33°，再根据直角三角形两锐角互余
2
求出∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝66°，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=33°，
2
∵CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝33°+50°＝83°．
故选：A．
15．（2024春•广平县期末）如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕
为DE，若∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA′＝ ，那么下列式子中正确的是（ ）
α β γA． ＝180°﹣ ﹣ B． ＝ +2
C．γ＝2 + α β D．γ＝α+ β
【分γ析】α根β据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AγFDα，β∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，
∴∠BDAα'＝ ＝ + + ＝β2 + ， γ
故选：C． γ α α β α β
16．（2023秋•梁山县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分
线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A的度数为（ ）
A．60° B．80° C．70° D．50°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度
数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
故选：A．
【考点6 多边形及其内角和】
17．（2024春•宝丰县期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180•（n﹣2）＝3×360，
解得n＝8．
故选：C．
18．（2023秋•绥阳县期末）如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转
20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ）
A．72米 B．108米 C．144米 D．120米
【分析】利用多边形外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则20n＝360，解得n＝18，
∴他第一次回到出发点O时一共走了：6×18＝108（米），
故选：B．
19．（2023秋•济南期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形
的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】n边形从一个顶点引出的对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形，由此即可得到答案．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：n﹣2＝8，
∴n＝10，
故选：C．
20．（2023秋•沈北新区校级期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数
可能为（ ）
A．14或15 B．13或14
C．13或14或15 D．14或15或16
【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．【解答】解：如图，n边形，A A A …A ，
1 2 3 n
若沿着直线A A 截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
1 3
若沿着直线A M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
1
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．
【考点7 全等三角形的性质】
21．（2023秋•高安市期末）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝ ，∠ABO＝ ，当
BC∥OA时， 与 之间的数量关系为（ ） α β
α β
A． ＝ B． ＝2 C． + ＝90° D． +2 ＝180°
【分α析】β根据全等三角形对α应边β相等可得AB＝ACα，β全等三角形对应角α相等β可得∠BAO＝∠CAD，然后
求出∠BAC＝ ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示
出∠OBC，整α理即可．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝ ，
α 1
在△ABC中，∠ABC= (180°−α)，
2
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，1
∴β+ (180°−α)=90°，
2
整理得， ＝2 ．
故选：B．α β
22．（2023秋•黔西南州期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝13，
则AB等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由全等三角形的性质推出AB＝CD，BC＝DE＝4，求出CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9，即可得到
AB的长．
【解答】解：∵△ABC≌△CDE，
∴AB＝CD，BC＝DE＝4，
∵BD＝13，
∴CD＝BD﹣BC＝13﹣4＝9，
∴AB＝CD＝9．
故选：C．
23．（2023秋•香河县期末）如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则
∠BCD的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ABC＝∠A′BC′，可得∠DBC＝∠ABA'＝55°，根据直角三角
形的两锐角互余求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A'BC'，∴∠ABC＝∠A′BC′，
∴∠ABC﹣∠A′BC＝∠A′BC′﹣∠A′BC，
∴∠DBC＝∠ABA'＝55°，
∵CD⊥BC'，
∴∠BCD＝90°﹣∠DBC＝35°，
故选：B．
【考点8 全等三角形的判定】
24．（2024春•龙川县校级期末）已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与
△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有丙
【分析】由全等三角形的判定定理，即可判断．
【解答】解：三角形甲与△ABC的两边对应相等，但夹角不一定相等，因此三角形甲与△ABC不一定
全等；
由SAS判定三角形乙与△ABC全等；
由AAS判定三角形丙与△ABC全等．
故选：C．
25．（2023秋•肥东县期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝
∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝
DE．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL结合选项进行判定．
【解答】解：在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，
①∠C＝∠F，AC＝DF，∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；
②AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF；
③∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△DEF；
④AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，可根据AAS判定△ABC≌△DEF；⑤AC＝DF，AB＝DE，∠C＝∠F，不能判定△ABC≌△DEF；
综上，能判定△ABC≌△DEF的有①②④，
故选：B．
26．（2023秋•雁峰区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、
4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：D．
【考点9 角平分线的性质】
27．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l ，l ，l 表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公
1 2 3
路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作
三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．28．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为
3，则点P到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的
距离相等可得PF＝PG＝PH，从而得解．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG＝3，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH＝3．
故选：C．
29．（2023秋•大冶市期末）如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD的中线，若△ABE的面积是
2.5，AB＝5，AC＝3，则△ABC的面积是（ ）A．5 B．6.8 C．7.5 D．8
【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的
性质即可得结论．
【解答】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G，
∵AD是角平分线，
∴DF＝DG，
∵BE是△ABD中的中线，
1
∴S△ABE ＝S△BDE =
2
S△ABD ＝2.5．
∴S△ABD ＝5，
设DF＝DG＝h，
∵AB＝5，
1 1
∴ AB•DF= ×5×DF＝5，
2 2
∴DF＝2，
∴DF＝DG＝2，
∵S△ABC ＝S△ABD +S△ADC ，AC＝3，
1 1
∴S△ABC ＝S△ABD +
2
AC•DG＝5 +
2
×3×2= 8．
故选：D．
【考点10 轴对称图形的判断】
30．（2023秋•和田地区期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴
对称图形，
故选：B．
31．（2024春•宁远县期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中是轴对称图形个数的为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：线段、角、正方形、圆，其中是轴对称图形的有：
线段、角、正方形、圆，共四个．
故选：D．
32．（2024春•娄底期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3
个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情
况可使所得图案是一个轴对称图形．
【解答】解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情
况可使所得图案是一个轴对称图形，
故选：C．
【考点11 线段垂直平分线的性质】
33．（2023秋•赣州期末）如图，AB，CD表示两条公路，E，F表示两个仓库，试找出一点P，使P到两
公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等，则P点为（ ）
A．EF的垂直平分线与CD的交点
B．EF的垂直平分线与AB的交点
C．EF的垂直平分线与AB、CD交角的平分线的交点
D．以上都不对
【分析】在一个角中，角平分线到角两边距离相等，而对于一条线段，只有垂直平分线上的点到线段两
端的距离最短．
【解答】解：可把AB，CD当成两条边，要使距离相等，则只有角平分线到角两边的距离相等，而到
EF则只有垂直平分线上的点到线段两端距离最短，所以要使到角两边与一线段的距离相等的点，则只
能是其角平分线与垂直平分线的交点．
故选：C．
34．（2023秋•界首市期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC
＝112°，则∠EAF为（ ）
A．38° B．42° C．44° D．48°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝68°，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，FC＝
FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝112°，
∴∠C+∠B＝68°，∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，FC＝FA，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝68°，
∴∠EAF＝44°，
故选：C．
35．（2023秋•凉州区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线
EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，然后利用等量代换可得△ADE的周长＝
BC，即可解答．
【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵EN是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长8cm，
∴AD+DE+AE＝8cm，
∴BD+DE+EC＝8cm，
∴BC＝8cm，
∴BC的长为8cm；
故选：D．
【考点12 关于x轴、y轴对称的点的坐标】
36．（2023秋•榕城区期末）已知点P关于y轴的对称点P 的坐标是（2，3），那么点P关于x轴的对称
1点P 的坐标为（ ）
2
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】首先根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得P点坐标，再根据
关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：∵点P关于y轴的对称点P 的坐标是（2，3），
1
∴P（﹣2，3），
∴点P关于x轴的对称点P 的坐标为（﹣2，﹣3），
2
故选：C．
37．（2024春•淅川县期末）若点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，则点M（a，b）所在的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M
的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴点M坐标为（2，﹣3），在第四象限．
故选：D．
38．（2023秋•磁县期末）若点P（1+m，1﹣n）与点Q（﹣4，3）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，
代入计算可得．
【解答】解：∵点P（1+m，1﹣n）与点Q（﹣4，3）关于y轴对称，
∴1+m＝4，1﹣n＝3，
解得：m＝3，n＝﹣2，
∴m+n＝3﹣2＝1，
故选：D．
【考点13 等腰三角形的性质】
39．（2023秋•赤壁市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 50°，那么这个等腰三角形的
顶角等于（ ）
A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故选：D．
40．（2023秋•宿迁期末）如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ）
A．90° B．75° C．70° D．60°
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选：D．
41．（2023秋•凉州区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AN，BC＝BM，则∠MCN＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．55°
【分析】设∠BMC＝x，∠ANC＝y．由BC＝BM，根据等边对等角得出∠BCM＝∠BMC＝x，利用三角
形内角和定理得出∠B＝180°﹣2x．同理得到∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y．根据直角三角形两
锐角互余得出∠A+∠B＝90°，那么 x+y＝135°，即∠BCM+∠ACN＝135°，进而求出∠MCN＝
∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝45°．
【解答】解：设∠BMC＝x，∠ANC＝y．
∵BC＝BM，
∴∠BCM＝∠BMC＝x，∠B＝180°﹣2x．
∵AC＝AN，
∴∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y．
∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴180°﹣2y+180°﹣2x＝90°，
∴x+y＝135°，
∴∠BCM+∠ACN＝135°，
∴∠MCN＝∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝135°﹣90°＝45°．
故选：B．
42．（2023秋•北海期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．12或13
【分析】由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分
析能否组成三角形．
【解答】解：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，
∵3+3＝6＞5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：3+3+5＝11；
②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，
∵5+3＝8＞5，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：5+5+3＝13，
综上所述，它的周长是：11或13．
故选：C．43．（2023秋•同心县校级期末）已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的
腰长为（ ）
A．10 B．6 C．4或6 D．6或10
【分析】分两种情况分别计算三角形的三边，再根据三边关系进行取舍即可．
【解答】解：（1）设底为x，则腰为（x+6），由题意得：
x+2（x+6）＝24，
解得：x＝4，
当x＝4时，x+6＝10，此时等腰三角形的三边为：4，10，10；
（2）设底为x，则腰为（x﹣6），由题意得：
x+2（x﹣6）＝24，
解得：x＝12，
当x＝12时，x﹣6＝6，12，6，6不能构成三角形，不符合题意；
因此，腰为10，
故选：A．
【考点14 等腰三角形的判定】
44．（2023秋•东城区期末）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，
要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点 P，根据角的不同应
该能够找到三个点构成等腰三角形．
【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个．
故选：D．45．（2023秋•安陆市期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，
根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72°
C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°
【分析】首先求出∠BAC＝108°，则∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣
∠2，分别根据四个选项中的条件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再进行比较即可得出答
案．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，
∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，
对于选项A，当∠1＝2∠2时，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，
∴∠AED＝∠ADE，
故选项A能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项B，当∠1+∠2＝72°时，则∠1＝72°﹣∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，
∴∠DAE＝∠AED，
故选项B能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项C，当∠1+2∠2＝90°时，
则∠1＝90°﹣2∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，
∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，
故选项C不能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项D，当2∠1＝∠2+72°时，
1
则∠1= ∠2+36°，
2
1 1
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（ ∠2+36°）＝72°− ∠2，
2 2
∠AED＝36°+∠2，
1 1
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（ ∠2+36°）﹣∠2＝72°− ∠2，
2 2
∴∠DAE＝∠ADE，
故选项D能确定△ADE是等腰三角形．
综上所述：选项C不能确定△△ADE是等腰三角形．
故选：C．
46．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在
边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰
三角形．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
1
∴∠ABD＝∠DBC= ∠ABC＝36°，
2
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
47．（2023秋•荔湾区期末）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知 A，B是网格上两
个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得△ABC为等腰三角形的格点C有（ ）个．A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰；②AB为底边．
【解答】解：①以AB为腰的等腰三角形：以点B为圆心，AB为半径作圆形成的等腰三角形有5个，
以点A为圆心，AB为半径作圆形成的等腰三角形有3个；
②以AB为底边的格点C不存在．
故使得△ABC为等腰三角形的格点C有8个．
故选：B．
【考点15 等边三角形的性质】
48．（2023秋•梁山县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线
上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
49．（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝
CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即
可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
50．（2023秋•梨树县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，…在射线OM上，△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，若OA ＝2，则△A B A 的
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【分析】由等边三角形的性质得到∠B A A ＝60°，A B ＝A A ，再由三角形外角的性质求出∠A B O＝
1 1 2 1 1 1 2 1 130°，则 A B ＝A A ＝OA ，同理得 A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，A B ＝A A ＝22•OA ，A B ＝A A ＝
1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 3 3 4 1 4 4 4 5
23•OA ，由此得出规律A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，即可求解．
1 n n n n+1 1
【解答】解：∵△A B A 为等边三角形，
1 1 2
∴∠B A A ＝60°，A B ＝A A ，
1 1 2 1 1 1 2
∴∠A B O＝∠B A A ﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
1 1 1 1 2
∴∠A B O＝∠MON，
1 1
∴A B ＝OA ，
1 1 1
∴A B ＝A A ＝OA ，
1 1 1 2 1
同理可得A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，
2 2 2 3 2 1
∴A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝22•OA ，
3 3 3 4 3 2 1
A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝23•OA ，
4 4 4 5 4 3 1
…
∴A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，
n n n n+1 1
∴△A B A 的边长：A B ＝26＝64，
6 6 7 6 6
故选：C．
【考点16 等边三角形的判定】
51．（2023秋•费县期末）已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】可将题目所给的关于a、b、c的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据
非负数的性质求出a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状．
【解答】解：原式可化为2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，即a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0；
根据完全平方公式，得：（a﹣b）2+（c﹣a）2+（b﹣c）2＝0；
由非负数的性质，可知：a﹣b＝0，c﹣a＝0，b﹣c＝0；即：a＝b＝c．所以△ABC是等边三角形．
故选：C．
52．（2023秋•固镇县期末）根据下列条件，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．有两个角相等的等腰三角形
D．腰长和底边长相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的定义和判定定理，即可解答．【解答】解：A、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确；
C、有两个角相等的等腰三角形，不一定是等边三角形，故错误；
D、腰长和底边长相等的等腰三角形是等边三角形，正确；
故选：C．
53．（2023秋•宿城区期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，
OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【分析】如图，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．根据角平分线的性质，由OP平分∠AOB，
PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，得PM＝PN，∠PMO＝90°，∠PNO＝90°，那么∠MPN＝360°﹣∠AOB
﹣∠PMO﹣∠PNO＝60°．此时，△PMN是等边三角形．然后再进行分类讨论．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥OA于M，ON⊥OB于N．
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴PM＝PN，∠PMO＝90°，∠PNO＝90°．
∴∠MPN＝360°﹣∠AOB﹣∠PMO﹣∠PNO＝60°．
∴此时，△PMN是等边三角形．
当M向MO方向移动，N向NB方向移动，∠MPM ＝∠NPN ．
1 1
∴∠M PN ＝∠M PN+∠NPN ＝∠M PN+∠MPM ＝∠MPN＝60°．
1 1 1 1 1 1
在△PMM 和△PNN 中，
1 1
{∠PM M
1
=∠PN N
1)
PM=PN ，
∠MPM =∠NPN
1 1
∴△PMM ≌△PNN （ASA）．
1 1∴PM ＝PN ．
1 1
∴△M PN 是等边三角形．
1 1
∴当M向MO方向移动，N向NB方向移动，∠MPM ＝∠NPN ，
1 1
∴△M PN 是等边三角形．
1 1
同理：当M向MA方向移动，N向NO方向移动，也存在无数个满足条件等边△PMN．
综上：满足条件的△PMN有无数个．
故选：D．
【考点17 含30度角的直角三角形】
54．（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点
D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（ ）
3 5
A．3 B． C．2 D．
2 2
1
【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出 BF=
2
BE＝4，于是CF＝BC﹣BF＝2，再根据等腰三角形三线合一的性质得出 DC＝2CF＝4，然后根据BD＝
BC﹣DC即可求解．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F．
在Rt△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∵AB＝3，AE＝5，
1 1 1
∴BF= BE= （AB+AE）= ×（3+5）＝4，
2 2 2
∵BC＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2．
∵ED＝EC，EF⊥BC于F，
∴DC＝2CF＝4，∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2．
故选：C．
55．（2023秋•官渡区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作
DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AE，先求出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，再根据线段垂直平分线的性质得，BE＝
AE，由此得∠B＝∠DAE＝30°，进而利用直角三角形的性质得 AE＝2DE＝4，然后求出∠CAE＝90°，
再利用直角三角形的性质即可求出CE的长．
【解答】解：连接AE，如图：
在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，
∵点D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠DAE＝30°，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CAE中，∠C＝30°，AE＝4，
∴CE＝2AE＝8．
故选：B．
56．（2023秋•三台县期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于
点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
3 5 4
A．1 B． C． D．
2 4 3
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE
的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
1 1
∴AF= AD，CE= CF，
2 2
∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
1 3 3
∴AF= ，CF= ，CE= ，
2 2 4
3 5
∴BE＝BC﹣CE＝2− = ，
4 4
故选：C．
57．（2023秋•湖里区期末）如图，已知∠MAN＝60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB＝
2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持 CB＝CD，若AC＝m，则AD的长为（）
1 1 1
A． m+1 B． m+2 C． m﹣1 D．m﹣2
2 2 2
【分析】过点C作CE⊥AN，根据在Rt△ACE中，∠MAN＝60°，求得AE的值，进而求出BE的值，再
根据等腰三角形三线合一的性质求出BD的值，最后求出AD的值即可．
【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥AN，
在Rt△ACE中，∠MAN＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝m，
1
∴AE= m，
2
∵AB＝2，
1
∴BE= m﹣2，
2
∵CB＝CD，CE⊥BD，
1
∴BE＝ED= m﹣2，
2
1
∴BD＝（ m﹣2）×2＝m﹣4，
2
∴AD＝AB+BD＝2+m﹣4＝m﹣2，
故选：D．【考点18 最短路径问题】
58．（2023秋•许昌期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务
中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
59．（2023秋•番禺区期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，
则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为
点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．60．（2023秋•香洲区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（2，1），P为x轴上一点，当
PA+PB最小时，点P的坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）
【分析】如图，作点A关于x的对称点A′，连接A′B交x轴于P，则此时PA+PB的值最小，过B作
1
BH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到OP＝PH，求得OP＝PH= ×OH=1，于是得到结论．
2
【解答】解：如图，作点A关于x的对称点A′，连接A′B交x轴于P，
则此时PA+PB的值最小，
过B作BH⊥x轴于H，
∵点A（0，1），B（2，1），
∴A′（0，﹣1），
∴OA′＝BH＝1，OH＝2，
在△A′OP与△BHP中，
{∠A′OP=∠BHP=90°
)
∠A′PO=∠BPH ，
OA′=BH
∴△A′OP≌△BHP（AAS），
∴OP＝PH，
∵OH＝2，
1
∴OP＝PH= ×OH=1，
2
∴点P的坐标是（1，0）．
故选：B．【考点19 幂的计算】
61．（2023秋•伊川县期末）若2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值为（ ）
1 1
A．8 B．﹣8 C． D．−
8 8
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：4x•32y＝22x•25y
＝22x+5y
＝23
＝8，
故选：A．
62．（2023秋•滑县期末）已知9m÷32m﹣2＝3n，n的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0.5 D．﹣0.5
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：∵9m＝32m，
∴9m÷32m﹣2
＝32m÷32m﹣2
＝32m﹣2m+2
＝32，
∵9m÷32m﹣2＝3n，
∴n＝2．
故选：B．
1
63．（2023秋•江阳区期末）已知2m＝x，( ) n= y，m，n为正整数，则2m﹣2n+1＝（ ）
22x
A． B．2xy2 C．x﹣2y+2 D．x+2y+1
y2
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
1
【解答】解：当2m＝x，( ) n= y时，
2
2m﹣2n+1
＝2m÷22n×2
1
=2m× ×2
22n
1 2n
=2m×( ) ×2
2
＝2xy2．
故选：B．
64．（2023秋•北流市期末）若2x+2x+2x＝24，则x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用幂的乘方的法则进行求解即可．
【解答】解：∵2x+2x+2x＝24，
∴3×2x＝3×8，
∴2x＝23，
∴x＝3．
故选：C．
【考点20 整式的乘法】
65．（2023秋•黑龙江期末）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（ ）
1
A．0 B．2 C． D．﹣2
2
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含 x的平方的项的系数为0，求出
a即可．
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8
＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8，
∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，
∴﹣4+2a＝0，解得：a＝2．
故选：B．
66．（2024春•合肥期末）若（3x+2）（x+p）＝mx2+nx﹣2，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝6 B．n＝1 C．p＝﹣2 D．mnp＝3
【分析】直接利用多项式乘以多项式化简得出答案．
【解答】解：∵（3x+2）（x+p）＝mx2+nx﹣2，
∴3x2+（3p+2）x+2p＝mx2+nx﹣2，
故m＝3，3p+2＝n，2p＝﹣2，
解得：p＝﹣1，n＝﹣1，
故mnp＝3．
故选：D．
67．（2023秋•柘城县期末）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一
次项系数为﹣5，则ab的值为（ ）
1 1
A．− B． C．﹣3 D．3
3 3
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
【解答】解：（ax﹣b）（3x2+x+2）
＝3ax3+ax2+2ax﹣3bx2﹣bx﹣2b
＝3ax3+（a﹣3b）x2+（2a﹣b）x﹣2b，
∵展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，
∴a﹣3b＝0，2a﹣b＝﹣5，
解得：a＝﹣3，b＝﹣1，
1
∴ab=(−3) −1=− ．
3
故选：A．
【考点21 完全平方式】
68．（2023秋•和田地区期末）若9x2+kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±12，故选：D．
69．（2023秋•商丘期末）若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm
的值为（ ）
A．﹣4 B．16 C．﹣4或﹣16 D．4或16
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出 m与n的值，代入原式计算即可求出
值．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）＝x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m﹣3＝±1，n+2＝0，
解得：m＝4或m＝2，n＝﹣2，
当m＝4，n＝﹣2时，nm＝16；
当m＝2，n＝﹣2时，nm＝4，
则nm＝4或16，
故选：D．
70．（2023秋•叙州区期末）已知M是含字母x的单项式，要使多项式9x2+M+1是某一个多项式的平方，
则M等于（ ）
A．6x B．±6x C．3x D．﹣6x
【分析】根据完全平方式得出M＝±2•3x•1，再求出M即可．
【解答】解：∵M是含字母x的单项式，多项式9x2+M+1是某一个多项式的平方，
∴M＝±2•3x•1，
∴M＝±6x．
故选：B．
【考点22 完全平方公式求值】
1 1
71．（2024春•聊城期末）已知a− =5，则a2+ 的值是（ ）
a a2
A．27 B．25 C．23 D．7
【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．
1 1
【解答】解：将a− =5两边平方得：（a− ）2＝25，
a a
1
即a2+ −2＝25，
a2
1
则a2+ = 27．
a2故选：A．
72．（2024春•利通区期末）已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据完全平方公式得出（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，代入求出即可．
【解答】解：∵x+y＝1，x﹣y＝3，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴12﹣32＝4xy，
∴xy＝﹣2，
故选：D．
73．（2024春•平南县期末）已知a+b＝5，ab＝2，则代数式a2﹣ab+b2的值为（ ）
A．8 B．18 C．19 D．25
【分析】先根据完全平方公式得出a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab，再求出答案即可．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝2，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝52﹣3×2
＝19．
故选：C．
74．（2023秋•商南县期末）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝200，则m2+n2的值为（ ）
A．116 B．117 C．118 D．232
【分析】根据完全平方公式可得出 m2﹣2mn+n2＝32①，m2+2mn+n2＝200②，再计算①+②即可求
解．
【解答】解：∵（m﹣n）2＝32，
∴m2﹣2mn+n2＝32①．
∵（m+n）2＝200，
∴m2+2mn+n2＝200②．
由①+②，得：m2﹣2mn+n2+m2+2mn+n2＝32+200，
整理，得：2（m2+n2）＝232，
∴m2+n2＝116．
故选：A．
【考点23 平方差公式】
75．（2023秋•博兴县期末）下列各式：①（a﹣4）（a+4），②（﹣x﹣3）（﹣x+3），③（m﹣5）（﹣5﹣m），④（﹣x+y）（﹣y+x），其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数
为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据平方差公式的特点进行判断即可．
【解答】解：（a﹣4）（a+4），（﹣x﹣3）（﹣x+3），（m﹣5）（﹣5﹣m）均符合平方差公式的结
构特点，能够利用平方差公式进行运算；而（﹣x+y）（﹣y+x）中，前一多项式的两项与后一多项式中
的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算；
故选：B．
76．（2023秋•定西期末）已知m+n＝4，m2﹣n2＝﹣8，则m﹣n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值．
【解答】解：∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝﹣8，m+n＝4，
∴m﹣n＝﹣2．
故选：B．
77．（2023秋•陵城区期末）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（ ）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
【分析】根据平方差公式即可求解．
【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，
∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35，
（a2+b2）2﹣1＝35，
（a2+b2）2＝36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝6，
故选：B．
【考点24 因式分解的意义】
78．（2024春•市北区期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3
C．x2•5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【解答】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2•5x＝5x3，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
79．（2023秋•济宁期末）下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣5
1
C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x+1=x(x+ )
x
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
【解答】解：3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5，右边不是积的形式，则A不符合题意；
（x+1）（x﹣1）＝x2﹣5是乘法运算，则B不符合题意；
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）是因式分解，则C符合题意；
1
x+1＝x（x+ ），右边不是整式，则D不符合题意；
x
故选：C．
【考点25 分式的概念】
1 x−2 x+1 1 x2
80．（2023秋•莘县期末）下列各式中 ， ， ， (x+ y)， ，是分式的有（ ）
x x2+1 π m x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
【分析】根据分式的定义：形如 ，B中含有字母的式子，判断即可．
B
1 x−2 x+1 1 x2 1 x−2 1 x2
【解答】解：在 ， ， ， (x+ y)， 各式中，是分式的有 ， ， (x+ y)， ，
x x2+1 π m x x x2+1 m x
共有4个，
故选：C．
a−b x+3 5+ y x2 a+b 1
81．（2024春•浮梁县期末）下列各式： ， ， ， ， ， (x−y)中，是分式的共有
2 x π 4 a−b m
（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式．
a−b x2 5+ y
【解答】解： ， ， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
2 4 πx+3 a+b 1
， ， (x−y)分母中含有字母，因此是分式．
x a−b m
故选：B．
【考点26 分式有意义的条件】
82．（2023秋•柘城县期末）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（ ）
1 a−2 a2−1 a
A． B． C． D．
a3−1 a a−1 2a2+1
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零判断．
1
【解答】解：A．当a＝1时，分式 没有意义．故本选项不合题意；
a3−1
a−2
B．当a＝0时，分式 没有意义．故本选项不合题意；
a
a2−1
C．当a＝1时，分式 没有意义．故本选项不合题意；
a−1
a
D．因为a2≥0，所以2a2+1≠0，所以分式 总有意义，故本选项符合题意．
2a2+1
故选：D．
6
83．（2023秋•道县期末）若使分式 有意义，则字母x应满足的条件是（ ）
x2−9
A．x＝3或x＝﹣3 B．x≠3且x≠﹣3 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】根据分式有意义分母不为零可得x2﹣9≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣9≠0，
解得：x≠±3，
故选：B．
【考点27 分式的值为零的条件】
x2−4
84．（2023秋•陇西县期末）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
x+2
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得，x＝2．
故选：B．|x|−1
85．（2023秋•蒙阴县期末）已知分式 的值为0，则x＝（ ）
1−x
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】根据分式的值为0的条件列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0，
解得x＝﹣1．
故选：B．
【考点28 分式的基本性质】
x+ y
86．（2023秋•铁岭县期末）若把分式 中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
xy
A．扩大为原来的2倍 B．不变
1 1
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
2 4
【分析】根据分式的性质：分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，可得答案．
x+ y
【解答】解：把分式 中的x和y都扩大到原来的2倍，
xy
2x+2y 1 x+ y
= × ，
2x⋅2y 2 xy
1
分式的值缩小为原来的 ，
2
故选：C．
A
87．（2024春•句容市期末）若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是
2x+ y
（ ）
A．3x+2y B．3x+3 C．2xy D．3
【分析】根据分式的基本性质可作判断．
A
【解答】解：当A＝3x+2y时，分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，故选项A
2x+ y
符合题意；
A
当A＝3x+3时，分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项B不符合题意；
2x+ y
A
当A＝2xy时，分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项C不符合题意；
2x+ yA
当A＝3时，分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项D不符合题意；
2x+ y
故选：A．
88．（2023秋•岱岳区期末）下列各式中，正确的是（ ）
a+2 a2−4
A． =
a−2 (a−2) 2
b b+2
B． =
a a+2
b 1
C． =
a+2b a+2
−a+b a+b
D． =−
c c
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
(a+2)(a−2) a2−4
【解答】解：A、原式= = ，故A符合题意．
(a−2) 2 (a−2) 2
b b+2
B、 ≠ ，故B不符合题意．
a a+2
b 1
C、 ≠ ，故C不符合题意．
a+2b a+2
a−b
D、原式=− ，故 D不符合题意．
c
故选：A．
【考点29 最简分式的概念】
4 y+3x x2−1 x2−xy+ y2 a2+2ab
89．（2024春•东坡区期末）分式 ， ， ， 中，最简分式有（ ）
4a x4−1 x+ y ab−2b2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解
因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
x2−1
【解答】解： 分子分母有公因式x2﹣1，
x4−14 y+3x x2−xy+ y2 a2+2ab
； ； 这三个是最简分式．
4a x+ y ab−2b2
故选：C．
a 4 x+π b2−4 a+b
90．（2023秋•磁县期末）下列分式 ， ， ， ， 中，最简分式的个数是（ ）
ab 2m+4 x b−2 b−a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简分式的定义逐个判断即可．
a 1 4 2 b2−4
【解答】解： = ， = ， =b+2，这三个不是最简分式，
ab b 2m+4 m+2 b−2
x+π a+b
所以最简分式有： ， ，共2个，
x b−a
故选：B．
【考点30 最简公分母的概念】
1 5x−1 3
91．（2023秋•岳麓区校级期末）下列三个分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
2x2 4(m−n) x
A．4x（m﹣n） B．2x2（m﹣n）
1
C． D．4x2（m﹣n）
4x2 (m−n)
【分析】根据各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简
公分母解答．
【解答】解：∵三个分式的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，
∴最简公分母是4（m﹣n）x2．
故选：D．
b c a
92．（2023秋•汉川市期末）分式 ， ， 最简公分母是（ ）
ax 3bx 5x3
A．5abx B．15abx5 C．15abx D．15abx3
【分析】要求分式的最简公分母，即取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．
【解答】解：因为各分母都是单项式，所以最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次
幂，所有不同字母都写在积里，
因此，所求分式的最简公分母为15abx3．
故选：D．【考点31 科学记数法表示较小的数】
93．（2023秋•长乐区期末）袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，
也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为0.00000805m，则数据0.00000805用科学记数法表示为（
）
A．8.05×105 B．8.05×106 C．8.05×10﹣5 D．8.05×10﹣6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000805＝8.05×10﹣6．
故选：D．
94．（2023秋•綦江区期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，
已知1纳米＝10﹣9米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣7 C．70×10﹣8 D．0.7×10﹣7
【分析】根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：700纳米＝700×10﹣9米＝7×10﹣7米，
故选：B．
【考点32 整数指数幂】
1
95．（2023秋•莫旗期末）已知a＝（﹣2）0，b=( ) −1 ，c＝（﹣3）﹣2，那么a、b、c的大小关系为（
2
）
A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而比较得出答案．
1 1
【解答】解：∵a＝（﹣2）0＝1，b=( ) −1= 2，c＝（﹣3）﹣2= ，
2 9
∴b＞a＞c．
故选：A．
96．（2023秋•金州区期末）若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，
{ x−4≠0 )
∴ ，
2x−6≠0
解得x≠4且x≠3．
故选：D．
【考点33 分式方程的概念】
3x+2 1 1 2
97．（2023 秋•宣化区期末）在① =5；② （x﹣1）+ （x+1）＝4；③− =1；④
3 3 2 x
2 3x+7 1
+ =−1；⑤ （3x﹣7）中，分式方程有（ ）
x x x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
2 2 3x+7
【解答】解：③− =1；④ + =−1是分式方程，共2个，
x x x
故选：B．
1 3x+5 2x−1 1
98．（2023秋•安新县期末）下列方程：①x2﹣2x= ；② −1= ；③x4﹣2x2＝0；④ x2﹣
x 4x 3 2
1＝0．其中分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【解答】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【考点34 分式方程的增根】
x 2a
99．（2023秋•梁山县期末）若分式方程 =1+ 有增根，则增根是（ ）
x−4 x−4
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】根据分式方程的增根的定义解答即可．
x 2a
【解答】解：∵分式方程 =1+ 有增根，
x−4 x−4
∴x﹣4＝0，∴x＝4，
故选：D．
3x mx
100．（2023秋•大理州期末）若分式方程 =2− 有增根，则m的值为（ ）
x−1 x−1
A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：3x＝2（x﹣1）﹣mx，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：3＝﹣m，
∴m＝﹣3．
故选：D．
