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专题 16.3 期末复习之选填压轴题十四大题型总结
【人教版】
【题型1 利用三角形的中线求面积】......................................................................................................................1
【题型2 利用三角形的三边关系求取值范围】.....................................................................................................2
【题型3 三角形折叠中的角度问题】......................................................................................................................3
【题型4 利用全等三角形的判定与性质求值】.....................................................................................................4
【题型5 利用轴对称求最短路径】..........................................................................................................................5
【题型6 利用整式乘法或因式分解求值】..............................................................................................................6
【题型7 利用因式分解解决数字问题】..................................................................................................................7
【题型8 利用分式化简求值】..................................................................................................................................8
【题型9 由分式方程的解求字母的值或取值范围】.............................................................................................9
【题型10 利用分式方程解决实际问题】..................................................................................................................9
【题型11 利用全等三角形的判定与性质解决等腰三角形中的问题】...............................................................10
【题型12 数式或图形的规律探究】........................................................................................................................11
【题型13 数式或图形中新定义问题】....................................................................................................................12
【题型14 数式或图形中多结论问题】....................................................................................................................13
【题型1 利用三角形的中线求面积】
【例1】（2023下·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，
CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
【变式1-1】（2023下·重庆·八年级西南大学附中校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，
若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 ．【变式1-2】（2023下·江苏·八年级统考期末）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝
2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S BDF﹣
△
S AEF等于（ ）
△
18 9
A．3 B． C． D．6
5 2
【变式1-3】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，
CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连
接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是 ．
【题型2 利用三角形的三边关系求取值范围】
【例2】（2023上·安徽安庆·八年级校考期末）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，
则第三条高所有可能值为（ ）
A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5
【变式2-1】（2023上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期末）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a-b>b-c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分
别为7，5，4，因为7-5>5-4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①13cm，18cm，9cm； ②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x-6直接写出x的整数值为 ．
【变式2-2】（2023上·广东珠海·八年级珠海市斗门区实验中学校考期末）如图，已知P是△ABC内任一
点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．28
【变式2-3】（2023上·广东惠州·八年级期末）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=6，AC=4，则边BC
的取值范围是 ，中线AD的取值范围是 ．
【题型3 三角形折叠中的角度问题】
【例3】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠A=20°，沿BE将此三角形对折，又
沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C'处，此时∠C'DB=74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27° B．59° C．69° D．79°
【变式3-1】（2023下·海南海口·八年级校考阶段练习）如图，把 ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边
形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终△保持不变. 这个关系是 .【变式3-2】（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如
图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE
翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
【变式3-3】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A
1
落A'的位置，折痕为DE．若∠A=30°，∠C=40°，若点E是AB边上的固定点（AE< AB），D是
2
AC上一动点，将纸片沿DE折叠，使A'D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED= ．
【题型4 利用全等三角形的判定与性质求值】
【例4】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，
∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．【变式4-1】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是
1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是（ ）
A．80° B．60° C．45° D．30°
【变式4-2】（2023下·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，
D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE交直线AC于M，
若 ，则S 的值为 ．
2AC=7CM △ADB
S
△AEM
【变式4-3】（2023上·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个
动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF
交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【题型5 利用轴对称求最短路径】
【例5】（2023下·全国·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
【变式5-1】（2023上·天津宁河·八年级统考期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和
点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°则△PMN周长的最小值=
【变式5-2】（2023下·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，在锐角 ABC中，∠ACB＝
50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当 PMN的周长最△小时，∠MPN的度数是
（ ） △
A．50° B．60° C．70° D．80°【变式5-3】（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以
BC为边在BC的右侧作等边△BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当AP+BP
的值最小时，∠CBP的度数为 ．
【题型6 利用整式乘法或因式分解求值】
【例6】（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种
方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸
片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S 和S ．若知道下列条件，仍不能求
1 2
S -S 值的是（ ）
1 2
A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
【变式6-1】（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）已知 ，且 ，则 - 的
a2 (b+c)=b2 (a+c)=2022 a≠b abc
值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
【变式6-2】（2023·安徽亳州·期末）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式6-3】（2023·四川成都·统考二模）若实数a，b满足a-b=1，则代数式a2-b2-2b+5的值为
．
【题型7 利用因式分解解决数字问题】
【例7】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“强基数”，例如：M=4325，∵ 4=2×2，
5=3+2，∴4325是个“强基数”；又如M=6538，∵ 8≠5+2，∴6538不是一个“强基数”．若将任意
一个四位正整数N的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数N的
“逆袭数”，同时记F(N)为四位正整数N与其“逆袭数”之差，例如：N=5876，其“逆袭数”为
F(M)+9x
6785，F(5876)=5876-6785=-909．若一个“强基数”M的个位数字为x，设T(M)= ，且
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T(M)是8的倍数，则所有满足题意的四位正整数M之和是 ．
【变式7-1】（2023·广东深圳·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数
为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数
是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
【变式7-2】（2023·河北保定·统考二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，
我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新
两位数与原两位数的和与11的商记ω(a)，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两
位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以ω(13)=4．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：ω(23)= ．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且ω(b)=8，则“跟斗数”b=
．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则ω(m)+ω(n)= ．
【变式7-3】（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期末）对于任意一个四位数m，若它的
千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个
四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m
m-m'
的逆序数m'，并记F(m)= ．
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例如：m=3421，因为3≠0，1≠0，3-1=4-2，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为
4-2≠5-1．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，q，y的千位数字与个位数字
分别为s，t，其中1≤q
