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专题 16.3 期末复习之选填压轴题十四大题型总结
【人教版】
【题型1 利用三角形的中线求面积】......................................................................................................................1
【题型2 利用三角形的三边关系求取值范围】.....................................................................................................2
【题型3 三角形折叠中的角度问题】......................................................................................................................3
【题型4 利用全等三角形的判定与性质求值】.....................................................................................................4
【题型5 利用轴对称求最短路径】..........................................................................................................................5
【题型6 利用整式乘法或因式分解求值】..............................................................................................................6
【题型7 利用因式分解解决数字问题】..................................................................................................................7
【题型8 利用分式化简求值】..................................................................................................................................8
【题型9 由分式方程的解求字母的值或取值范围】.............................................................................................9
【题型10 利用分式方程解决实际问题】..................................................................................................................9
【题型11 利用全等三角形的判定与性质解决等腰三角形中的问题】...............................................................10
【题型12 数式或图形的规律探究】........................................................................................................................11
【题型13 数式或图形中新定义问题】....................................................................................................................12
【题型14 数式或图形中多结论问题】....................................................................................................................13
【题型1 利用三角形的中线求面积】
【例1】（2023下·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，
CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
【变式1-1】（2023下·重庆·八年级西南大学附中校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，
若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 ．【变式1-2】（2023下·江苏·八年级统考期末）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝
2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S BDF﹣
△
S AEF等于（ ）
△
18 9
A．3 B． C． D．6
5 2
【变式1-3】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，
CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连
接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是 ．
【题型2 利用三角形的三边关系求取值范围】
【例2】（2023上·安徽安庆·八年级校考期末）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，
则第三条高所有可能值为（ ）
A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5
【变式2-1】（2023上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期末）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a-b>b-c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分
别为7，5，4，因为7-5>5-4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①13cm，18cm，9cm； ②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x-6直接写出x的整数值为 ．
【变式2-2】（2023上·广东珠海·八年级珠海市斗门区实验中学校考期末）如图，已知P是△ABC内任一
点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．28
【变式2-3】（2023上·广东惠州·八年级期末）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=6，AC=4，则边BC
的取值范围是 ，中线AD的取值范围是 ．
【题型3 三角形折叠中的角度问题】
【例3】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠A=20°，沿BE将此三角形对折，又
沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C'处，此时∠C'DB=74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．27° B．59° C．69° D．79°
【变式3-1】（2023下·海南海口·八年级校考阶段练习）如图，把 ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边
形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终△保持不变. 这个关系是 .【变式3-2】（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如
图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE
翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
【变式3-3】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A
1
落A'的位置，折痕为DE．若∠A=30°，∠C=40°，若点E是AB边上的固定点（AE< AB），D是
2
AC上一动点，将纸片沿DE折叠，使A'D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED= ．
【题型4 利用全等三角形的判定与性质求值】
【例4】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，
∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，若AD=5，则△ABD的面积等于 ．【变式4-1】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是
1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是（ ）
A．80° B．60° C．45° D．30°
【变式4-2】（2023下·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，
D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE交直线AC于M，
若 ，则S 的值为 ．
2AC=7CM △ADB
S
△AEM
【变式4-3】（2023上·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个
动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF
交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【题型5 利用轴对称求最短路径】
【例5】（2023下·全国·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
【变式5-1】（2023上·天津宁河·八年级统考期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和
点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°则△PMN周长的最小值=
【变式5-2】（2023下·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，在锐角 ABC中，∠ACB＝
50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当 PMN的周长最△小时，∠MPN的度数是
（ ） △
A．50° B．60° C．70° D．80°【变式5-3】（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以
BC为边在BC的右侧作等边△BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当AP+BP
的值最小时，∠CBP的度数为 ．
【题型6 利用整式乘法或因式分解求值】
【例6】（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种
方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸
片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S 和S ．若知道下列条件，仍不能求
1 2
S -S 值的是（ ）
1 2
A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
【变式6-1】（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）已知 ，且 ，则 - 的
a2 (b+c)=b2 (a+c)=2022 a≠b abc
值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
【变式6-2】（2023·安徽亳州·期末）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式6-3】（2023·四川成都·统考二模）若实数a，b满足a-b=1，则代数式a2-b2-2b+5的值为
．
【题型7 利用因式分解解决数字问题】
【例7】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“强基数”，例如：M=4325，∵ 4=2×2，
5=3+2，∴4325是个“强基数”；又如M=6538，∵ 8≠5+2，∴6538不是一个“强基数”．若将任意
一个四位正整数N的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数N的
“逆袭数”，同时记F(N)为四位正整数N与其“逆袭数”之差，例如：N=5876，其“逆袭数”为
F(M)+9x
6785，F(5876)=5876-6785=-909．若一个“强基数”M的个位数字为x，设T(M)= ，且
36
T(M)是8的倍数，则所有满足题意的四位正整数M之和是 ．
【变式7-1】（2023·广东深圳·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数
为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数
是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
【变式7-2】（2023·河北保定·统考二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，
我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新
两位数与原两位数的和与11的商记ω(a)，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两
位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以ω(13)=4．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：ω(23)= ．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且ω(b)=8，则“跟斗数”b=
．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则ω(m)+ω(n)= ．
【变式7-3】（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期末）对于任意一个四位数m，若它的
千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个
四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m
m-m'
的逆序数m'，并记F(m)= ．
99
例如：m=3421，因为3≠0，1≠0，3-1=4-2，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为
4-2≠5-1．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，q，y的千位数字与个位数字
分别为s，t，其中1≤q<p≤9，1≤s，t≤9，p，q，s，t均为整数．若F(x)能被8整除，
F(x)+F(y)=7p+q+13s-8t+st，则所有F(y)的可能值的和为 ．
【题型8 利用分式化简求值】
【例8】（2023下·八年级统考课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则1 1 1
+ + 的值为（ ）
ab+c-1 bc+a-1 ca+b-1
1 2
A．-1 B．- C．2 D．-
2 3
【变式8-1】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）已知：2x2=x+3，y=8x3+2x2-15x，计算：
y+2 y-1 y-4
( - )÷ 的值是 ．
y2-2y y2-4 y+4 y
1 1 1
【变式8-2】（2023·浙江·八年级自主招生）已知a+ =b+ =c+ =x（a，b，c互不相等）求x=（ ）
b c a
A．-1 B．1 C．±1 D．x无解
【变式8-3】（2023上·山东青岛·八年级青岛超银中学校考自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足
ab2= c -b ，则(a2b2 - 2 + 1 + 2ab - 2 ) ÷ ( 2 - 2ab) ÷ 101等于 ．
a c2 c a2b2 c2 abc ab c c
【题型9 由分式方程的解求字母的值或取值范围】
【例9】（2023上·山东泰安·八年级统考期末）若关于的不等式组¿无解，且关于y的分式方程
5-ay 3
-1= 有整数解，则满足条件的整数a的值为（ ）
2- y y-2
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
x-5 x-6 k
【变式9-1】（2023上·天津和平·八年级统考期末）若方程 - = 的解不大于13，则k
x-6 x-5 x2-11x+30
的取值范围是 ．
m 3
【变式9-2】（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）若分式方程 = 无解，则m的值为（ ）
2x-6 x
A．0 B．6 C．0或6 D．0或-6
【变式9-3】（2023下·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知关于x的分式方程
mx 2 3
+ = 无解，且关于y的不等式组¿有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m
(x-2)(x-6) x-2 x-6
的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【题型10 利用分式方程解决实际问题】
【例10】（2023上·山东济宁·八年级统考期末）某中学假期后勤中的一项工作是请30名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一
组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成
此项工作的时间最短．
【变式10-1】（2023下·上海·八年级专题练习）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）
1 1 1 1
A．13 小时 B．13 小时 C．14 小时 D．14 小时
6 2 6 2
【变式10-2】（2023上·重庆开州·八年级统考期末）八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家180km
的风景区度假，出发一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分
钟到达风景区；第二天返回时以去时原计划速度的1.2倍行驶回到家里.那么来回行驶时间相差 分
钟.
【变式10-3】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）2019年11月1日是重庆城市花博会在重
庆江北嘴中央商务区举行，商务区附近的某花店抓住商机，从11月1日开始销售A、B两种花束，A花束
1
每束利润率是40%，B种花束每束利润率是20%，当日，A种花束的销量是B种花束销量的 ，这两种花束
2
的总利润率是30%；11月2日在A、B两种花束利润率保持不变的情况下，若要想当日的总利润率达到
35%，则A花束的销量与B花束的销量之比是 .
【题型11 利用全等三角形的判定与性质解决等腰三角形中的问题】
【例11】（2023上·湖北黄冈·八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一
点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．45°【变式11-1】（2023上·福建龙岩·八年级校考期末）在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点
F在线段BC上，点E是在线段AF上，满足∠CEF=45°，AE=6，EF=5，则△ABF的面积=
．
【变式11-2】（2023上·福建泉州·八年级校考期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，
AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为
m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（ ）
2 1 3 3
A． m B． m C． m D． m
5 3 8 5
【变式11-3】（2023上·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在等边△ABC的边AB所在直线上有一点P，作
PE⊥AC所在直线于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC所在直线于D，若DE长为
m，则△ABC的周长为 ．
【题型12 数式或图形的规律探究】
【例12】（2023下·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别
延长AB，BC，CA至点A ，B ，C ，使A B＝AB，B C＝BC，C A＝CA，顺次连接A ，B ，C ，得到△A B C ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
第二次操作：分别延长A B ，B C ，C A 至点A ，B ，C ，使A B ＝A B ，B C ＝B C ，C A ＝C A ，顺次连接
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
A ，B ，C ，得到△A B C ，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2019，最少经过（ ）次操作．
2 2 2 2 2 2A．4 B．5 C．6 D．7
【变式12-1】（2023下·安徽宿州·八年级统考期末）观察下列算式：① ；②
(a-1)(a+1)=a2-1
；③ ；…结合你观察到的规律判断
(a-1)(a2+a+1)=a3-1 (a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1
22023+22022+⋯+22+2+1的计算结果的末位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式12-2】（2023上·重庆渝北·八年级统考期末）如图（1），已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线
上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB=AC，D，E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD，CD，
BE，CE；如图（3），已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，
CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A．21 B．11 C．6 D．42
【变式12-3】（2023上·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是
(0,2)，以OA为边在右侧作等边三角形OA A ，过点A 作x轴的垂线，垂足为点O ，以O A 为边在右侧作
1 1 1 1 1
等边三角形O A A ，再过点A 作x轴的垂线，垂足为点O ，以O A 为边在右侧作等边三角形O A A
1 1 2 2 2 2 2 2 2 3
……按此规律继续作下去，得到等边三角形O A A ，则点A 的纵坐标为（ ）
2020 2020 2021 2021(1) 2018 (1) 2019 (1) 2020 (1) 2021
A． B． C． D．
2 2 2 2
【题型13 数式或图形中新定义问题】
【例13】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）对于两个实数x，y，我们定义：
y-x
f (x,y)= (xy≠0)，有下列说法：
xy
1
①f (2,3)=- ；
6
175
②f (1,3)+f (2,4)+f (3,5)+f (4,6)+…+f (10,12)= ；
132
③若af (b,-c)=bf (a,-c)+cf (a,-b)，则ab+ac=2bc．
其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式13-1】（2023下·上海·八年级校考期末）我们定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．如
图：在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，添加下面什么条件是无法证明四边形BCED
是等对角线四边形（ ）
A．DE//BC
B．CD⊥AB,BE⊥AC
C．OD=OE
D．BE,CD是∠ABC和∠ACB角平分线【变式13-2】（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，
y)=(mx+ny)(3x- y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(-1,0)=3m．当
F(1,-1)=-8，F(1,2)=13，则F(x,y)= ；当x2≠ y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都
成立，则m，n满足的关系式是 ．
【变式13-3】（2023上·河北邯郸·八年级校考期末）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边
相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形
中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型14 数式或图形中多结论问题】
【例14】（2023上·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考期末）如图，在ΔABC中，AD是BC边上的高，
∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF．则下
列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③EF=EG；④BC=2AE；⑤S =S ，其中正确的有
ΔABC ΔFAG
（ ）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【变式14-1】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期末）有n个依次排列的整式：第1项
是 ，用第1项乘以 ，所得之积记为 ，将第1项加上 得到第2项，再将第2项乘以
(x+1) (x-1) a (a +1)
1 1
得到 ，将第2项加 得到第3项，再将第3项乘以 得到 ，以此类推；某数学兴趣小组
(x-1) a (a +1) (x-1) a
2 2 3
对此展开研究，得到4个结论：
①第5项为 ；② ；③若第2023项的值为0，则 ；④当 时，
x5+x4+x3+x2+x+1 a =x6-1 a =-2 x=-3
5 2024
1-(-3) m+1
第m项的值为 ．以上结论正确的个数为（ ）
4
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式14-2】（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）设a，b为实数，多项式(x+a)(2x+b)展开后x的一
次项系数为p，多项式(2x+a)(x+b)展开后x的一次项系数为q：若p+q=6，且p，q均为正整数，则(
)
a a a a
A．ab与 的最大值相等，ab与 的最小值也相等 B．ab与 的最大值相等，ab与 的最小值不相等
b b b b
a a a a
C．ab与 的最大值不相等，ab与 的最小值相等 D．ab与 的最大值不相等，ab与 的最小值也不
b b b b
相等
【变式14-3】（2023上·浙江金华·八年级校考期末）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的
点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于
点H，连接FG.下列说法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF；
④AB=AH+FG；其中正确的说法有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
