文档内容
北师大版小学五年级数学上册期末复习专题讲义
倍数和因数
【知识点归纳】
一．2、3、5的倍数特征
被2整除特征：偶数
被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除
被5整除特征：个位上是0或5的数
同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除．
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除．
各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．
【典例分析】
例1：能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的
数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0，
被2和5整除，同时要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
例2：104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
分析：能同时被2、3、5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，且各个数位上的数字
之和能被3整除，由此确定104至少再加上16．
解：根据分析，104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
故答案为：16．
点评：此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．
二．因数和倍数的意义假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，
唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m
的倍数．
【典例分析】
例1：24是倍数，6是因数．×．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因
数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6=4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是
错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
例2：一个数的因数都比这个数的倍数小．×．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最
大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本
身的最大因数．
三．找一个数的因数的方法
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、
12、24．
2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11整除的数是11的倍数．注意：
“0”可以被任何数整除．
【典例分析】例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是 1 ： 2= 3 ： 6．
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2=3：6；
故答案为：1：2=3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写
出其中的一种即可．
四．找一个数的倍数的方法
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限
的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11整除的数是11的倍数．注意：
“0”可以被任何数整除．
【典例分析】
例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数．×．（判断对错）
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3
的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的
数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个
数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是120．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5
的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5
的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0=1，1再加2、5、8的和
是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为；120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2
和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
五．公倍数和最小公倍数
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的
公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．
【典例分析】
例1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．√．（判断对错）
分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．
解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；
所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
例2：能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的
数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．
要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
六．因数、公因数和最大公因数
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．
【典例分析】例1：互质的两个数没有公约数．×．（判断对错）
分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．
解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；
所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．
故答案为：×．
点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．
例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12．√．（判断对错）
分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．
解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，
48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，
所以原题说法正确，
故答案为：√．
点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．
七．求几个数的最大公因数的方法
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程
合并了．
【典例分析】
例1：如果A是B的 ，A和B的最小公倍数是B，它们的最大公因数是A．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公
倍数，由题目条件可以得知：A是B的 ，也就是B是A的5倍，由此可以解决．
解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较
大的那个数B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍
数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．例2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是12，最小公倍数120．
分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有
质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，
乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小
公倍数．据此进行解答．
解：甲=2×2×2×3；
乙=2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就
是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小
公倍数．
八．求几个数的最大公因数的方法
方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中
几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最
小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）
×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上
述公式求出它们的最小公倍数．
【典例分析】
例1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或
每行16人都正好是整行，这个班至少有学生49 人．
分析：要求这个班至少有学生多少人，即求12与16的最小公倍数再加1即可，根据求两
个数的最小公倍数的方法：把12和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有
质因数的连乘积，由此解决问题即可．
解：12=2×2×3，
16=2×2×2×2，
则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
48+1=49（人）；答：这班至少有学生49人；
故答案为：49．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有
质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例2：A和B都是自然数，分解质因数A=2×5×C；B=3×5×C．如果A和B的最小公倍数是
60，那么C=2．
分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决
问题．
解：分解质因数A=2×5×C，
B=3×5×C，
所以2×3×5×C=60，则C=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
九．因数与倍数
1．公约数与公倍数题型简介
（1）公约数与公倍数
若数a能被b整除，则称数a为数b的公倍数，数b为数a的公约数．其中，一个数的最小
公约数是1，最大公约数是它本身．
（2）公约数与最大公约数
几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数．
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数．
（3）公倍数与最大公倍数
几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数．
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数．
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数．
【典例分析】
例1：有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（ ）
A、56 B、78 C、84 D、96
分析：把最大公约数8和最小公倍数96分解质公约数，根据最大公约数是两个数的共有
质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解．
解：8=2×2×2，
96=2×2×2×2×2×3，
所以这两个最大公约数 8，最小公倍数是 96 的二位数只能是 2×2×2×2×2=32 和
2×2×2×3=24；
这两个二位数的和是：32+24=56；
故选：A．
点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察选项，
即可得解．
经典题型：
例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如
果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（ ）面彩旗不用移动．
A、12 B、13 C、14D、15
分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数=路的总长度；再求出4
和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗栽的
树，最后加上开始那颗．
解：4和6的最小公倍数是12，
路长：4×（37-1）=144（米），
栽棵树：144÷12=12（棵），
12+1=13（棵），
答：可以有13面彩旗不用移动．
故选：B．
点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一定，
间距再变，棵树也在变，得有有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．
【解题方法点拨】
（1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其
最小公倍数．
（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．
（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个
数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．
（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．
十．分数的最大公约数和最小公倍数
两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的，这种联系是通过规律来体现的，这个规
律如果用字母公式表示为：一般地，a×b=（a，b）×[a，b]
依据这个规律，在求两个数的最大公约数和最小公倍数时，可以推导出新的公式．
【典例分析】
例1：一个班不足50人，现大扫除，其中 扫地， 摆桌椅， 擦玻璃，这个班没有参加大
扫除的人数有（ ）人．
A、1 B、2 C、3 D、1或2
分析： 、 、 都是最简形式，所以这个班的人数是2、4和5的最小公倍数的倍数，2、4
和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，据此把
总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1- - - ，再根据分数乘法的意义
即可解答．
解：根据题干分析可得：2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班
只能是20人或40，
总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1- - - = ，
当总人数是20时：没参加大扫除的有：20× =1（人），
当总人数是40时：没参加大扫除的有：40× =2（人），
答：没参加大扫除的有1或2人．
故选：D．
点评：解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是2、4、5的公倍数，据此再根据分数
乘法的意义即可解答．[来源:学科网]
同步测试
一．选择题（共10小题）
1．24是4和12的（ ）
A．最小公倍数 B．公倍数 C．公因数
2．用2、3、4组成三位数，（ ）是3的倍数．
A．一定 B．一定不 C．不一定 D．无法确定
3．2和3是12的（ ）
A．因数 B．公因数 C．最大公因数 D．质数
4．A是合数，A有（ ）个因数．
A．2 B．3 C．至少3 D．无数
5．A＝2×3×3B＝2×3×5，A和B的最大公因数是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．36
6．a、b都是非0自然数，a是b的倍数，a、b的公因数中一定有（ ）
A．1和b B．1和a C．a和b
7．如果A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么A和B的最大公因数和最小公倍数分别是（ ）
A．2，30 B．10，60 C．6，90
8．如果六（2）班有 的人参加书法兴趣小组， 的人参加武术兴趣小组（每人只参加一个
小组），那么下列说法中不正确的是（ ）
A．参加书法组的不可能是5人
B．六（2）班的总人数可能是45人
C．六（2）班的总人数可能是54人D．参加书法、武术组的总人数可能是10人
9．参加团体操表演的学生按照每排4人、5人或8人都正好排完．参加团体操表演的学生
至少有（ ）人．
A．20 B．40 C．80
10．一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．144
二．填空题（共10小题）
11．50以内6和9的公倍数有 ，最小公倍数是 ．
12．所有非0的自然数的公因数是 ．
13．在数2，4，8，9，12，27，45，60，72中，2的倍数有 ，3的倍数有 ，5的倍
数有 ．
14．因为5×8＝40，所以40是5和8的 ，5和8是40的 ．
15．自然数（0除外）按因数的个数分，包括 、 和 ．
16．40以内6的倍数有 ，50以内9的倍数有 ．
17．a÷9＝b（a、b均不为0），a和b的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．
18．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是60，且这两个数不为4和60，这两个数是
和 ．
19．小明的书架上放着一些书，书的本书在100到150本之间，其中 是故事书， 是科技
书，书架上放着 本书．[来源:Zxxk.Com]
20．求较大的两个数的最小公倍数用 法比较方便．
三．判断题（共6小题）
21．自然数a除以b，商是8，所以a和b的最大公因数是8． （判断对错）
22．互质的两个数没有最大公因数． （判断对错）
23．4和9没有公因数． （判断对错）
24．一个自然数（0除外）的倍数的个数是无限的． （判断对错）
25．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数． （判断对错）
26．个位上是3、6、9的自然数一定是3的倍数． （判断对错）
四．计算题（共1小题）
27．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数．45和75
39和52
18和60
五．应用题（共5小题）
28．小丽家有两种塑料油桶，分别是3千克装，2千克装．小丽妈妈买回26千克油，选哪
种塑料桶装能正好把油装完？为什么？
29．五（1）的同学站队做操，按12人一队或15人一队都正好而没有剩余，这个班至少多
少人？分别能站成几队？
30．有一包糖果，无论是平均分给8个人，还是平均分给10个人，都剩下3块．这包糖果
至少有多少块？
31．希望小学到敬老院开展敬老活动，第一小组每6天去次，第二小组每15天去一次．两
个小组同一天去后，至少再过多少天他们又一次在敬老院相遇？
32．有一包糖果，无论是分给8个小朋友，还是分给12个小朋友都恰好分完，这包糖果至
少有多少粒？参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据公倍数的意义，几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，由此解答．
【解答】解：4和12的公倍数有12、24、36…；
所以24是4和12的公倍数；
故选：B．
【点评】本题主要考查学生理解和掌握公倍数的意义及求法．
2．【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数的数，这个数就是3的倍
数，分析即可求解．
【解答】解：因为2+3+4＝9，9是3的倍数，
所以用2、3、4三个数字组成的三位数一定是3的倍数．
故选：A．
【点评】解答此题应结合题意，根据能被3整除的数的特征进行分析解答即可．
3．【分析】2、3都能整除12，即2、3都是12的因数；依此即可求解．
【解答】解：2和3是12的因数．
故选：A．
【点评】本题主要考查因数、公因数、最大公因数、质数的概念．
4．【分析】根据质数、合数的特征：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为
质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，可得合数A至少有3个因数，据
此解答即可．
【解答】解：根据分析，可得：A是合数，A至少有3个因数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：一个质数有且只有两个因数，一个合数至少有3个因数．
5．【分析】求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积就是它们的最大
公因数，由此解决问题即可．
【解答】解：A＝2×3×3 B＝2×3×5，A、B的最大公因数是2×3＝6，
故选：B．
【点评】此题考查了求几个数的最大公因数的方法．
6．【分析】因为a、b都是非0自然数，所以它们都有因数1；又因为a是b的倍数，所以它们都有因数b；所以a、b的公因数中一定有1和b；由此解答即可．
【解答】解：a、b都是非0自然数，a是b的倍数，a、b的公因数中一定有1和b；
故选：A．
【点评】此题考查了因数、公因数和最大公因数，比较简单，注意基础知识的积累．
7．【分析】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，把两个数分别分解质因数，
共有质因数的乘积是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积是它
们的最小公倍数．据此解答．
【解答】解：如果A＝2×2×5，B＝2×3×5
那么A和B的最大公因数是2×5＝10
A和B的最小公倍数是2×5×2×3＝60
答：A和B的最大公因数是10，最小公倍数是60．
故选：B．
【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应
用．
8．【分析】由于有 的人参加书法兴趣小组， 的人参加武术兴趣小组，所以总人数能同
时被6和9整除．即总人数应是6和9的公倍数．据此对各选项的内容进行分析即能
得出正确选项．
【解答】解：由题意可知，总人数能同时被6和9整除，即总人数应是6和9的公倍数；
选项A，如果参加书法小组的人数是5人，则总人数有5 ＝45人，45不能被6整除
所以参加书法组的不可能是5人的说法正确；
选项B，由于45不能被6整除，所以总人数可能是45人说法错误；
选项C，由于54能被6和9整除，所以总人数可能是54人说法正确；
选项D，6和9的公倍数是18，如果总人数是18人，则参加书法小组的有2人，武术小
组的有3人，共5人；如果总人数有36人，则参加书法小组的有4人，武术小组的6人
4+6＝10人，所以参加书法、武术组的总人数可能是10人说法正确．
故选：B．
【点评】根据参加两个小组的人数分别占总数的分率得出总人数应是6和9的公倍数
是完成本题的关键．9．【分析】求演团体操的小朋友至少有多少人，即求4、5和8的最小公倍数，先把4、5和
8进行分解质因数，这三个数的公有质因数的连乘积是这三个数的最大公约数；由此
解答即可．
【解答】解：8＝2×2×2，4＝2×2，5是质数，
则84、5和8的最小公倍数是2×2×2×5＝40，即至少有40人；
答：表演团体操的小朋友至少有40人．
故选：B．
【点评】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数的公有质因数、两个数的
公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
10．【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答．
【解答】解：一个数既是12的倍数．又是它的因数，这个数是12．
故选：B．
【点评】本题主要考查因数和倍数的意义，注意一个数的因数的最大的因数是它本身，
一个数的倍数的最小的倍数是它本身．
二．填空题（共10小题）
11．【分析】根据公倍数和最小公倍数的意义，几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，
其中最小的一个就是它们的最小公倍数．由此解答．
【解答】解：50以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48；
50以内9的倍数有：9，18，27，36，45；
50以内6和9的公倍数有：18，36；
6和9的最小公倍数是：18．
故答案为：18，36；18．
【点评】此题考查的目的是使学生理解和掌握公倍数和最小公倍数的意义，掌握求两
个数的最小公倍数的方法．
12．【分析】根据公因数的意义可知：公因数是几个数公有的因数，1是所有非0自然数的
公因数，据此解答．
【解答】解：所有非0的自然数的公因数是1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查公因数的意义，注意1是所有非0自然数的公因数．13．【分析】根据2、3、5的倍数特征分析解答；
个位上是0、2、4、6、8的数就是2的倍数；
各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；
①
个位上是0或5的数就是5的倍数．
②
【解答】解：在2，4，8，9，12，27，45，60，72中，
③
2的倍数有 2，4，8，12，60，72；
3的倍数有9，12，27，45，60，72；
5的倍数有 45，60．
故答案为：2，4，8，12，60，72；9，12，27，45，60，72；45，60．
【点评】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意牢固掌握2、3、5的倍数特征，灵活运用
14．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b
就叫做a的因数；进行解答即可．
【解答】解：因为5×8＝40，所以40是5和8的 倍数，5和8是40的 因数．
故答案为：倍数，因数．
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要记住，因数和倍数是相互依存的，不能单独
存在．[来源:学.科.网]
15．【分析】一个自然数（0除外），只有1个因数的数是1，除了1和它本身以外不含其它
因数的数是质数；除了1和它本身外还含有其它因数的数是合数；据此解答即可．
【解答】解：由分析知：自然数（0除外）按它的因数的个数可以分为：质数、合数和1；
故答案为：质数，合数，1．
【点评】解答此题的关键：结合题意，并根据质数和合数的含义进行分析、解答．
16．【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5…，所得积就
是这个数的倍数．由此解答．
【解答】解：40以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36；
50以内9的倍数有：9，18，27，36，45．
故答案为：6，12，18，24，30，36；9，18，27，36，45．
【点评】此题考查的目的是使学生理解和掌握公倍数的意义，掌握求公倍数的方法．
17．【分析】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，当两个数是倍数关系时，较
小的数是它们的最大公因数、较大的数是它们的最小公倍数．据此解答．
【解答】解：因为a÷9＝b（a、b均不为0），所以a÷b＝9．a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a．
故答案为：b、a．
【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应
用．明确：当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数、较大的数是它们的
最小公倍数．
18．【分析】因为60÷4＝15，15＝3×5＝1×15，所以这两个数为：4×3＝12，4×5＝20；或4×1
＝4，15×4＝60；由题意知：这两个数不为4和60（舍去），进而得出结论．
【解答】解：因为：60÷4＝15，15＝3×5＝1×15，
所以这两个数为： 4×3＝12，4×5＝20；
4×1＝4，15×4＝60（舍去）；
①
故答案为：12和20．
②
【点评】解答此题应根据两个数的最大公约数和最小公倍数的关系进行解答即可．
19．【分析】由于书本的本数是整数，所以总本数就是 和 两个分率的分母的公倍数，由
此找出9和4在100～150之间的公倍数即可求解．
【解答】解：总本数应是9和4的公倍数；
9×4＝36
36×3＝108（页）
36×4＝144（页）
所以总页数可能是108页，也可能是144页．
故答案为：108或144．
【点评】注意理解题意，根据总本数是整数，利用求公倍数的方法求解．
20．【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是
这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，
最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；求较大的两个数的最小公倍
数用短除法法比较方便．由此选择情况解决问题．
【解答】解：根据分析可知，求较大的两个数的最小公倍数用短除法法比较方便．
故答案为：短除法．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数
独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．三．判断题（共6小题）
21．【分析】由题意可得：a÷b＝8，可知a和b有因数和倍数关系；根据如果两个数有因数
和倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数，据此解答．
【解答】解：因为a÷b＝8，
所以a和b有因数和倍数关系，a是较大数，b是较小数，
因此a和b的最大公因数是b，
原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数的方法：如果两个数有因数和倍数关
系，它们的最大公约数是较小数．
22．【分析】公因数只有1的两个数叫做互质数，由此判定它们有最大公因数，最大公因数
就是1；据此判断即可．
【解答】解：互质的两个数的最大公因数是1，所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查互质数的特点：互质的两个数最大公因数是1；最小公倍数是它们的
乘积．
23．【分析】根据互质数的特征，可得4和9是互质数，它们的公因数只有1，不是没有公
因数，据此判断即可．
【解答】解：根据互质数的特征，可得4和9是互质数，
它们的公因数只有1，不是没有公因数，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查了互质数的特征．
24．【分析】根据倍数的含义和找一个数的倍数的方法，可得一个数（0除外）的倍数的个
数是无限的，最小的是它本身，据此解答即可．
【解答】解：因为一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，
所以题中说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查了倍数的含义和找一个数的倍数的方法，要熟练掌握．
25．【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，以此解答．
【解答】解：4÷0.5＝8，只是4能被0.5除尽，不是整除；
倍数是相对应整数而言的，研究范围是在非0自然数范围内，所以原题说法错误；
故答案为：×．
【点评】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究范围是在
非0自然数范围内．
26．【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数
举个反例证明．
【解答】解：23、26、19是个位上分别是3、6、9，可是它们都不是3的倍数，
所以个位上是3、6、9的数，一定是3的倍数的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，
各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
四．计算题（共1小题）
27．【分析】求两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数
是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可
【解答】解：（1）45和75
45和75的最大公因数是3×5＝15，
45和75的最小公倍数是3×5×3×5＝225；
（2）39和52
39和52的最大公因数是13，
39和52的最小公倍数是13×3×4＝156；
[来源:学科网]
（3）18和6018和60的最大公因数是2×3＝6，
18和60的最小公倍数是2×3×3×10＝180．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质
因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小
公倍数；数字大的可以用短除法解答．
五．应用题（共5小题）
28．【分析】因为买回来26千克豆油，26的个位数字是偶数，得出能被2整除，所以选用2
千克装，根据进而得出结论．
【解答】解：由分析知：选用2千克装，26÷2＝13（个）
答：选用2千克装，需这样的桶13个；因为26是2的倍数．[来源:Z§xx§k.Com]
【点评】解答此题的关键：根据能被2整除的数的特征，进行解答即可．
29．【分析】求五（1）至少有多少人，即求12、15的最小公倍数，然后用人数除以12或15
可求出站的队数，据此解答．
【解答】解：12＝2×2×3
15＝3×5
则12、15的最小公倍数是：2×2×3×5＝60
60÷12＝5（队）
60÷12＝4（队）
答：这个班至少60人，分别能站成5队或4队．
【点评】此题考查的是求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数
独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
30．【分析】根据题意可知，从这包糖果的块数里面减去3块后，剩下的块数就是8和10
的最小公倍数，所以先求出8和10的最小公倍数，然后加3，即是这包糖果至少有的
块数．
【解答】解：8＝2×2×2
10＝2×5
8和10的最小公倍数是：2×2×2×5＝40
40+3＝43（块）答：这包糖果最少有43块．
【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数
独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
31．【分析】根据第一小组每6天去次，第二小组每15天去一次，求出15、6的最小公倍数，
即可求出至少再过多少天，他们又再次相遇．
【解答】解：15＝3×5，6＝2×3
所以15、6的最小公倍数是：2×5×3＝30
至少再过30天，他们又再次相遇．
答：至少再过30天他们又一次在敬老院相遇．
【点评】此题主要考查几个数最小公倍数的求法及用此知识解决实际问题．
32．【分析】由题意可知，这包糖果的数量一定是8、12的公倍数，先求出8、12的最小公
倍数，由于数量最少，最小公倍数就是这袋糖果的最少粒数，由此得解．
【解答】解：8＝2×2×2
12＝2×2×3
8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24，
答：这包糖果最少有24粒．
【点评】解答此题的关键是先求出8和12的最小公倍数，进行解答即可．
