文档内容
专题 01 三角形（突破核心考点）
【聚焦考点+题型导航】
考点一 三角形三边关系 考点二 三角形的稳定性
考点三 三角形中的高线、中线、角平分线 考点四 三角形的内角、外角
考点五 多边形的对角线、内角和
【知识梳理+解题方法】
一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角
形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写
字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
二、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
三、三角形的分类
1.按角分类：要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
四、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．
图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连 作∠BAC 的平分线 AD，
语言 接AD． 交BC于点D．
标示
图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
1．AD是△ABC的角平分
符号
2．AD是△ABC中BC边上 线． 线．
语言
的高． 2．AD 是△ABC 中 BC 2．AD 平分∠BAC，交3．AD⊥BC于点D． 边上的中线．
BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB
＝90°． 3．BD＝DC＝ BC
3 ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 ＝
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中
∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为 AD 平分∠BAC，所
推理 以AD⊥BC．
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以BD＝DC＝ 以∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
用途 1．线段垂直． 1．线段相等．
角度相等．
举例 2．角度相等． 2．面积相等．
注意 1．与边的垂线不同．
— 与角的平分线不同．
事项 2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要
延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征
一点． 点．
五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳
定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线
支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
六、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
七、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外
角.要点诠释：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边
的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个
外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．
另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180°，可推出三角形
的三个外角和是360°．
八、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
凹多边形
凸多边形凹多边形
凸多边形
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
九、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边
(n2) 180°
形的每个内角都相等，都等于 n ；
十、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于
360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相
等外角的度数．
【专题过关+能力提升】
考点一 三角形三边关系
例题：（2022·陕西咸阳·七年级期末）一个三角形的两条边长为2，7，则第三边长可能为______（写出一
个即可）
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）木工师傅有两根长分别为80cm、150cm的木条，要再找一根木条，将它
们钉成一个三角形框架，现有70cm、200cm、300cm三根木条，他可选择长为______的木条．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校八年级期中）已知三角形三边分别为 、 、 ，其中 、 满足
，那么c的取值范围是______．
3．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）已知三角形的三条边长为6、10和x．(1)若6是最短边长，求x的取值范围；
(2)若x为整数，求三角形周长的最大值．
4．（2021·江西·鹰潭市余江区正源学校七年级阶段练习）已知三角形的两边长为8和10，第三边长x最小．
(1)求x的取值范围；
(2)当x为何值时，围成的三角形周长最大？并求出周长．
考点二 三角形的稳定性
例题：（2022·四川·富顺第二中学校八年级阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原
理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短．
C．两定确定一条直线 D．三角形具有稳定性
2．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据
的数学道理是三角形具有____________性．3．（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校七年级期中）如图所示的是自行车的三角形支架，这是利用三
角形具有 ________________．
考点三 三角形中的高线、中线、角平分线
例题：（2022·全国·八年级专题练习）在下列各图中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，连
接BE、CE，若图中阴影部分的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）如图， ， ， 为中线，则 与
的周长之差为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图，CM是△ABC的中线，若AC= 8，BC= 11，
则△BCM与△ACM的周长的差是__________
4．（2022·广东·佛山市顺德区华南师范大学附属北滘学校七年级期中）如图，在△ABC中，D、E分别为
边BC，AC的中点， ，则其中阴影部分的面积是_____．
5．（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格
的顶点叫格点．
(1)画出 的 边上的高 ，垂足为 ；
(2)求出 的面积为_________；
(3)图中，能使 的格点 ，共有_________个．考点四 三角形的内角、外角
例题：（2022·上海·八年级开学考试）如图，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC交
∠ECB的平分线于点F．若∠F＝60°，则∠A＝__．
【变式训练】
1．（2022·新疆塔城·七年级期末）已知：直线 ，一块含 角的直角三角板如图所示放置， ，
则 等于_________．
2．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，
BE平分Z．ABC交AD于点E．
(1)若∠C= 60°，∠BAC = 80°，求∠ADB的度数；
(2)若∠BED = 60°，求∠C的度数．
3．（2022·新疆乌鲁木齐·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°
(1)求∠ABD；(2)CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
4．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
5．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级阶段练习）如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中
线；
(1)若∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
(2)若AE＝5cm，AB＝16cm，AC＝14cm，△ABE的周长比△BDE的周长大3cm，求△ACD的周长．
(3)若△ABC的面积为60cm2，BD＝5cm，则点E到BC边的距离为多少cm？
考点五 多边形的对角线、内角和
例题：（2022·贵州省三穗中学八年级期中）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是____边形．
共________条对角线
【变式训练】
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的对角线有 _____条．
2．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期末）一个正多边形的内角和等于1440°，则此多边形是________
边形．
3．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）（1）已知一个多边形是正六边形，求这个正六边
形每个内角的度数；
（2）已知一个多边形的内角和与外角和相等，求这个多边形的边数．4．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，在六边形ABCDEF中，AF BE CD，ED AB，∠A=110°，
∠ABC=100°．
(1)求六边形ABCDEF的各内角和的度数；
(2)求∠C、∠D的度数；
(3)若一只蚂蚁从A点出发沿A-B-C-D-E-F-A运动到A点停止，蚂蚁一共转过了多少度？
5．（2022·江苏镇江·七年级期中）如图①，在 ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
△
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC= °；
(2)如图②，作 ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关
系 ；
△
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q= ∠E，求∠A的度数．
