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专题01 三角形经典压轴大题专训
【三角形40道经典压轴大题专训】
1．（2023春·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）题目：“如图，在 中， ，将
沿 折叠得到 ，若 与 的边平行，求 ．”甲答： ，乙答：
，丙答： ，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】 与 的边平行，画图有两种情况， 和 ，
当 时， ，
当 时， ，结果有两个答案．
【详解】解：①如图， 与 的边 平行沿 折叠得到 ，
又
②如图， 与 的边 平行，
沿 折叠得到 ，故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角
相等是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在 中，延长 至点F，
使得 ，延长 至点D，使得 ，延长 至点E，使得 ，连接 、 、 ，
若 ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先设 的面积为 ，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的
面积表示出来，总面积为 ，解得 的面积．
【详解】解：如图，连接 、 ，设 的面积为 ，
，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积为 ，
,
的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，
，
，即 的面积为2
故选：B【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键．
3．（2023·河北张家口·统考三模）如图，甲、乙两位同学用 个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈
后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为 ，内圈的夹角为 ，中间会
围成一个正 边形，关于 的值，甲的结果是 ，乙的结果是 或4，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】正六边形的一个内角为 ，根据外角的定义有， ，得
，再讨论即可得 的值．
【详解】解：∵正六边形的一个内角为 ，
∴ ，
∵ 为正 边形的一个内角为度数，
∴ ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
则 的值为3或4或5或6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得 ．4．（2022春·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校联考阶段练习）如图，已知直线 被直线AC所
截， ，E是平面内一点，设 ， ．下列说法：①当点E在 之间且在
的右侧时， ；②当点E在 的下方且在 的右侧时， ；③当点E在 的上
方且在 的右侧时， ，④当点E在 之间且在 的左侧时，
，其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据题意，补全图形，根据平行线的性质逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①如图：
过点 作 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②如图：∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
④如图：
过点 作 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上：正确的是①②④；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角．解题的关键是正确的画出图形，通过拐点构造平行线．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，在 中， 平分 ， 于点D， 的角
平分线 所在直线与射线 相交于点G，若 ，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意推出 ，设 ，设 ，
用含x和y的代数式表示 和 即可解决．
【详解】解：如图：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
设 ，
由外角的性质得： ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
6．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，已知直线 ， 被直线 所截， ， 是平
面内任意一点（点 不在直线 ， ， 上），设 ， ，下列各式：① ，②
，③ ，④ ， 的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可．
【详解】解：如图1，过 作 ，则由 ，可得
∴ ， ，
∴ ．
如图2，同理可得 ．故①有可能，
如图3，同理可得 ．故②有可能，其中：当 时， ，故③有可能，
如图4，同理可得 ．故④有可能，
如图5，同理可得 ．
如图6，同理可得 ．
综上所述，①②③④均有可能．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时需注意：两直线平行，同位角相等；两直线
平行，内错角相等．7．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）在 中， 分别是高和角平
分线，点F在 的延长线上， 交 于点G，交 于点H，下列结论：
① ；
② ；
③ ，
④ ；
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据 ， ，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的定义和三角形
外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行等量代换，即可证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【详解】解：有题意可知
，
①正确；
是角平分线，
②正确；③正确；
，
④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角
的性质是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）如图， ， ， ， 分别平分 的内角 ，
外角 ，外角 ．以下结论： ； ； ；
； ．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出， ， ， ，根
据三角形的内角和定理得出， ，根据三角形外角性质得出， ，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解： 平分 ，
，
， ，
，
，
，故 正确；
，
，
平分 ， ，
，故 正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故 正确；
平分 ，
，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
，
，
，故 正确；由 得， ，
，
，
，故 正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主
要考查学生的推理能力，有一定难度．
9．（2023春·江苏·七年级期中）如图， ， 、 、 分别平分 ，外角 ，
外角 ，以下结论：① ，② ，③ ，④ ，
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．
【详解】解：①设点A、B在直线 上，
∵ 、 分别平分 的内角 ，外角 ，
∴ 平分 的外角 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，故①正确．②∵ 、 分别平分 的内角 、外角 ，
∴ ，
∴ ，故②正确．
③∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确．
④∵
∴ ，
∴ ，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定等，熟悉
各个概念的内容是解题的关键．
10．（2023春·江苏·七年级期中）△ABC中， ，∠ABC和∠ACD的平分线交于点 ，得 ；
和 的平分线交于点 ，得 和 的平分线交于点 ，则 为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得 ，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解．
【详解】∵ 平分∠ABC， 平分∠ACD，
∴ ＝ ∠ABC， ＝ ∠ACD，
∴ ＝ ∠ACD﹣ ∠ABC＝ ∠A，
同理可得 ＝ ＝ ∠A，
∴ ＝ ∠A，
∵ ，
∴ ＝ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角
平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
11．（2023春·浙江·七年级期末）如图，已知直线 ，直线 分别交直线 ， 于点 ， ，
平分 交 于点 ． 是射线 上一动点（不与点 ， 重合）． 平分 交 于
点 ，设 ， ．现有下列四个式子：① ，② ，③ ，④
，在这四个式子中，正确的是( )
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：当点G在F的右侧时，根据两直线平行同旁内角互补得到，结合角平分线性质解得 ；或当点G在F的左侧时，两直线平行内错
角相等得到 ，结合三角形外角性质得到
，解得 ．
【详解】解： 当点G在F的右侧时，
平分
平分
设 ，
，
当点G在F的左侧时，
平分平分
设 ，
综上所述， 或
故①④正确, ②③错误
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识
是解题关键．
12．（2023春·江苏·七年级期末）如图， ，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N
等于（ ）
A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°
【答案】D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得 ，即可求
出答案．
【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，∵ ，
∴ ，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ；①
在△ACM中，有
，
∴ ②，
由① ②，得 ，
∴ ，即 ；
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学
的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．
13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在 中，点 是 边上一点，
，连接 ，点 是线段 上一点， ，连接 ，点 是线段 的中点，连
接 交线段 于点 ，若 的面积是12，则 的面积是________．【答案】
【分析】连接 ， ．由题意中的线段的比和 ，可推出 ，
，从而可求出 ， ．结合中点的性质即得出
，从而可求出 ，进而得出 ，最
后即得出 ，最后即可求出 ．
【详解】解：如图，连接 ， ．
∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ， ．∵点 是线段 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ,
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连
接辅助线是解题关键．
14．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）在 中， ，点D是 下方一
点，连接 ， ，过点D作 ，连接 ，分别过点B、D作直线 、 ，使得 ，
平分 ， 平分 ，则 ______．
【答案】
【分析】过点 作 ，根据角平分线的定义，设 ，则， ，再根据平行线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：过点 作 ，
平分 ， 平分 ，
设 ，则 ， ，
，
， ， ， ，
， ，
在 中， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的辅助线是本题的
关键．
15．（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）如图1，将支架平面镜 放置在水平
桌面 上，激光笔 与水平天花板 的夹角（ ）为 ，激光笔发出的入射光线 射到
上后，反射光线 与 形成 ，由光的反射定律可知， ， 与 的垂线 所形成的夹角
始终相等，即 ．
（1） 的度数为______；（2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜 ，调节角为 ．
①若 ，则 的度数为______；
②若反射光线 恰好与 平行，则 的度数为______．
【答案】 /30度 /90度 /75度
【分析】（1）根据 ， ，得出 ，根据 ，得出
，求出 ，根据 ，得出 即可；
（2）①过点G作 ，根据平行线的性质得出 ，根据 ，得出
，根据平行线的性质得出 ，根据 ，得出
，求出 ，根据三角形内角和定理求出
；
②根据平行线的性质得出 ，根据反射的性质得出 ，
根据 ，求出 ，根据平行线的性质得出 ．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）①过点G作 ，如图所示：
则 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
②如图，若反射光线 恰好与 平行，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，垂直定义的理解，平行公理的应用，解题的关键是
熟练掌握平行线的性质，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合．
16．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市侨谊实验中学校考期中）如图， ， 、 的平分
线交于点G，则图中 、 、 之间的数量关系是 ____________．【答案】
【分析】先作辅助线 ，然后根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，即可得到
、 、 之间的数量关系．
【详解】解：过点C作 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，通过作
辅助线进行解答．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，长方形纸片 ，点 ， 分别在 ， 边上，将纸片
沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，然后再次折叠纸片使点 与点 重合，点 落在点 ，折痕
为 ，若 ，则 __________度．【答案】
【分析】根据将纸片沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，得出 ，
，可得 ，根据四边形 为长方形，得出 ，可得
，可求 ，根据 为对称轴，可得
，可得 ，
根据 ，列方程 ，解方程即可．
【详解】解：∵纸片沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，
， ，
，
∵四边形 为长方形，
，
，
，
∵再次折叠纸片使点 与点 重合，点 落在点 ，折痕为 ，
四边形 与四边形 关于 对称，
，
∵ ，
，
∵ ，
，
，
，
，
故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，三角形的内角和定理及其推论，恰当应用折叠的性
质是解题的关键．
18．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，在 中，已知 为 的中线，过点A作 分别
交 、 于点F、E，连接 ，若 ， ， ，则 ________．
【答案】84
【分析】根据 为 的中线，可得 ， ，通过题中条件可求得
，根据 ，可得 ， ，设 ，则
， ，故 ，根据
，列方程 ，即可解答．
【详解】解： 为 的中线，
， ，
，
，
，
， ，
设 ，则 ，
，，
根据 ，列方程 ，
解得 ，
．
故答案为：84．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的关键．
19．（2023春·江苏·七年级期末）如果三角形中任意两个内角 与 满足 ，那么我们
称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在 中， ， ， 平分 交
于点D．在线段 上取一点F，当 是“准直角三角形”时，则 ______°．
【答案】 或
【分析】由三角形内角和可得 ，进而可得 ， ， ，再根
据定义进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 平分 交 于点D．
∴ ，则 ，
∴ ，
①当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ；②当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
③当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ；
④当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
⑤当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
④当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
综上， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，三角形的内角和定理，根据”准直角三角形“的定义
去解题是本题的关键．
20．（2023春·山西太原·七年级山西实验中学校考期中）当光线经过镜面反射时，反射光线与镜面所夹的
角等于入射光线与镜面所夹的角，你可用这一结论解答下列问题．如图，若镜子 与镜子 的夹角
，镜子 与镜子 的夹角 ，入射光线 与镜面 的夹角 ．
已知入射光线 从镜面 开始反射，经过 （ 为正整数，且 ）次反射，当第 次反射光线与入射
光线 平行时，则 的度数为________．
【答案】 或
【分析】分两种情况画图讨论： 当 时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得 ； 当 时，如果在 边反射后与 平行，则
，与题意不符合，则只能在 边反射后与 平行，根据三角形外角定义，可得 ，
由 ，可求出 的度数．
【详解】解： 当 时，如图所示，
，
，
，
， ，
由 ，
过点 作 ，如图所示，
，
，
，
，
，
则 ，
，
；
当 时，如果在 边反射后与 平行，则 ，与题意不符合，则只能在 边反射后与
平行，如图所示，，
则 ，
，
由 得， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
综上所述： 的度数为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，三角形的内角和为 ，熟练掌握平行线的性质，
反射的性质，三角形的内角和为 ，注意分类讨论的思想，是解题的关键．
21．（2023春·七年级单元测试）如图，射线 ， 分别是 的外角 ， 的角平分线，
射线 与直线 交于点D，射线 与直线 交于点E，若 ， ，
则 的度数为___________．
【答案】
【分析】由题可设 ， ，根据平角的定义用含 的代数式表示
和 ,再由外角定理用含 的代数式表示 和 ，再由题干中已知的两个等式列方程组求解，即可求解．
【详解】解：由题意射线 ， 分别是 的外角 ， 的角平分线，
， ,
设 ， ，
由平角的定义得： ， ，
是 的一个外角，
，
同理 是 的一个外角，
，
， ，
，
整理得： ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的
关键．
22．（2023春·浙江·七年级期末）如图，将长方形纸片 沿 折叠后，点A，B分别落在 ， 的位
置，再沿 边将 折叠到 处，已知 ，则 ______ ， _________ ．
【答案】
【分析】由折叠可知： ， ， ，由三角形的内角和定理结
合平行线的性质可求解 的度数，过点 作 ，则 ，结合平行线的性质，
易求 的度数，即可得 的度数，由直角三角形的性质可求解 的度数，即可求得
的度数．
【详解】解：由折叠可知： ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是长方形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识的
综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
23．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在 中， ， 的平分线交于点 ，
的外角平分线所在直线与 的平分线相交于点 ，与 的外角平分线相交于点 ，则下
列结论一定正确的是 _____．（填写所有正确结论的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义可得 ，再由三角形的内角和定理可求解
，即可判定①；由角平分线的定义可得 ，结合三角形外角的性质可判
定②；由三角形外角的性质可得 ，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得 ，结合 可判定④．
【详解】解： ， 的平分线交于点 ，
， ，
，
，
，
，
，故①正确，
平分 ，
，
， ，
，故②正确；
， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，，故③错误；
，
，
，
．故④正确，
综上正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的
定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，点 在线段 上， 且
，点 在 上，若 ， ， ，则 的
度数为________．
【答案】
【分析】根据题意，设 ，则 ，在 中， ，证 ，
由 ，得 ，从而有 ，解得 ，最后由
，求得 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中，
，又∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
又∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的关键．
25．（湖北省武汉市东西湖区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图1，直线 与 相交于
，钝角 ， ．
(1)求证：
(2)若 为直线 （不与点 重合）上一点， 与 的角平分线所在直线交于点 ．
①如图2，若 ，点 在 点右边，求 的度数．
②直接写出 的度数___________（结果用含 的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；② 或【分析】（1）根据平行线的判定即可证明；
（2）①根据角平分线的性质 ， ，设
，则 ，根据平行线的性质可得 ，推得 ，
，根据三角形的外角性质可得 ，即可求得 ；
②当点 在点 右侧时，由①可得 ；
当点 在点 左侧时，根据角平分线的性质 ， ，根
据平行线的性质可得 ，设 ，则 ， ，根据
三角形内角和可得 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ．
（2）①∵ 的平分线与 的平分线所在的直线交于点 ，
∴ ， ．
设 ，则 ，
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
在 中， ，
故 ，
∵ ， ，
∴②当点 在点 右侧时，由①可得 ；
当点 在点 左侧时，如图：
∵ 的平分线与 的平分线所在的直线交于点 ，
∴ ， ．
由（1）知， ，
∴ ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
综上， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟
练掌握以上性质是解题的关键．
26．（2023春·四川德阳·七年级统考期末）如图①，点N在 的延长线上，过点B作 ．
(1)求证： ；
(2)由（1）易知， ．如图②，过点C作 ，交 的延长线于点D，作
交 于点E， 的平分线 与 的平分线 相交于点F，且 ，求 的度数．
(3)如图③，G为 的延长线 上一点，H为 上一点， 平分 ， 平分 ， ，
试猜想 与 的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 的度数为 ；
(3) .
【分析】（1）由平行线的性质即可证明；
（2）由平行线的性质得到 ， ，由角平分线的定义得到 ，
，再由 求解即可；
（3）先求得 ，再求得 ，据此即可求解.
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的平分线 与 的平分线 相交于点F，
∴ ， ，
∴
；
（3）解： .理由见解析.
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
27．（2023春·重庆江津·七年级统考期末）如图1，直线 ，点M、N分别在 上，点P为
平行线 内部一点，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点Q，求证： ；
(3)如图3，作 平分 ， 平分 ，反向延长 交 于点F，请直接写出 与 之间
的数量关系．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图1，过 作 ，则 ， ， ，由，可得 ，然后计算求解即可；
（2）如图2，延长 交 于 ，延长 交 于 ，由 ，可知 ，
，由题意知 ， ，
， ，则
，进而可得 ；
（3）如图3，过 作 ，过 作 ，则 ， ， ，
， ， ，由题意知， ，
， ，
，由
，可得
．
【详解】（1）解：如图1，过 作 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的值为 ；（2）证明：如图2，延长 交 于 ，延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ， ，
由题意知 ， ， ，
，
∴
，
∴ ；
（3）解： ；
如图3，过 作 ，过 作 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
由题意知， ， ，
∵ ，，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线．解题的关键在于明确角度之间
的数量关系．
28．（2023春·浙江·七年级统考期末）如图1， 是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为 ，反射光
线与水平镜面夹角为 ，则 ．
(1)如图2，一束光线 射到平面镜 上，被 反射到平面镜 上，又被 反射，若被 反射出的
光线 （与光线 平行，且 ，则 _______°， ______°；
(2)如图3，有三块平面镜 ， ， ，入射光线 与镜面 的夹角 ，镜面 ， 的
夹角 ，当光线 经过平面镜 ， ， 的三次反射后，入射光线 与反射光线 平行
时，请求出 的度数；
(3)如图4，在（2）的条件下，在 ， 之间再照射一条光线 ，经过平面镜 ， 两次反射后反
射光线与 交于点 ，请探究 与 的数量关系．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合 的性质及三角形内角和定理即可得到
答案；
（2）过 作 ，如图所示，根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合 的性质及三角形
内角和定理即可得到答案；（3）根据题中平面镜反射角度之间的关系，在（2）的基础上，得出相关角度，再结合四边形 内角
和 、四边形 内角和 ，列方
程组求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
根据题意， ， ，
，
，
，
，
，
在 中，由三角形内角和定理可得 ，
故答案为： ， ；
（2）解：过 作 ，如图所示：
，，
， ，
，
，
，则 ，
在 中， ， ，则由三角形内角和定理可得 ，
，则 ，
；
（3）解：如图所示：
由（2）知 ， ， ， ，
由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形 中，
，
， ，
，则 ，
，
由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形 中，
，
，
由 与 ，代入已知角度有
与 ，可得 ，
，解得 ．【点睛】本题考查利用数学知识探寻平面镜反射中角度关系，涉及平行线的性质、平面镜反射角度关系、
三角形内角和定理、四边形内角和为 及恒等变形等知识，读懂题意，理解平面镜反射角度之间的关系，
数形结合，准确表示各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
29．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）【问题背景】
中， 是角平分线，点E是 边上的一动点．
【初步探索】
如图1，当点E与点A重合时， 的平分线交 于点O．
（1）若 ， ，则 ____________ ；
（2）若 ，则 ___________ ；（用含m的代数式表示）
【变式拓展】
当点E与点A不重合时，连接 ，设 ， ．
（1）如图2， 的平分线交 于点O．
①当 ， 时， ____________ ；
②用 、 的代数式表示 ____________．
（2）如图3， 的平分线与 相交于点O，与 的平分线所在的直线相交于点F（点F与点E
不重合），直接写出点F在不同位置时 与 之间的数量关系．（用含 、 的代数式表示）
【答案】初步探索（1）55；（2） ；变式拓展（1）①75；② ；（2）
或
【分析】初步探索（1）根据角平分线的定义，得到 、 ，再根据三角形外角的性质，
即可求出 的度数；（2）根据三角形内角和定理，得到 ，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，
即可求出 的度数；
变式拓展（1）①延长 、 交于点G，根据三角形内角和定理，得到 ， ，
再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可求出 的度数；
②同①理，即可表示出 ；
（2）分两种情况讨论：点F在 内部和点F在 外部，利用角平分线的定义，三角形内角和定理
以及三角形外角的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】初步探索
解：（1） 中， 是角平分线，点E是 边上的一动点．
， 平分 ，
，
， 平分 ，
，
，
故答案为：55；
（2） ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
故答案为： ；
变式拓展
解：（1）①如图，延长 、 交于点G，
，
，
，
，
，，
平分 ， 平分 ，
，
，
故答案为：75；
② ， ，
， ，
，
，
平分 ， 平分 ，
，
，
故答案为： ；
（2）如图，当点F在 内部时，令 于 的交点为H，
， 平分 ，
，，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
平分 ， 平分
， ，
，
，
；
如图，当点F在 外部时，令 于 的交点为K，
， 平分 ，
，
，
，， 平分 ，
，
，
，
，
，
，
综上可知， 与 之间的数量关系 或 ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解题意，找出角度之间
的数量关系是解题关键．
30．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）已知：如图1， 是三角形 内一点，连接 ， ．
求证： ．
证明：如图 ，延长 ，交 于点 ．
是 的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
是 的一个外角（外角的定义），（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
．
【知识迁移】
如图 ，求证：（ ） ；（ ） ．
【拓展延伸】
如图， 、 、 分别是 中边 、 、 上的点，则 的度数是
．
【答案】知识迁移：（1）证明见解析；（2）证明见解析；拓展延伸：
【分析】知识迁移：（1）如图，延长 交 于 ，证明 ， ，从而可得结论；
（2）证明 ， ，从而可得结论；
拓展延伸：利用三角形的外角性质将 转化为
，再利用三角形的内角和定理可
得答案．
【详解】解：知识迁移：（1）如图，延长 交 于 ，是 的一个外角，
．
是 的一个外角（外角的定义），
．
，即． ．
（2） 是 的一个外角，
．
是 的一个外角，
．
，即． ．
拓展延伸： 是 的一个外角， 是 的一个外角， 是 的一个外角，
， ．
∴
∵ ，
∴ ，
故答案为
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，作出恰当的辅助线，构建需要
的三角形是解本题的关键．
31．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）在 中，三个内角的平分线交于
点O，过点O作 ，交边 于点D．(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2，作 外角 的平分线交 的延长线于点F．
①试说明 ；
②若 ，将 绕点O顺时针旋转一定角度 后得 ， 所在直
线与 平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度 的值．
【答案】(1) ；
(2)①见解析；②所有符合条件的旋转角度 的值为 或 ．
【分析】（1）根据三个内角的平分线交于点O，可得 ，再求得 ，然后
根据三角形外角的性质，即可求解；
（2）①根据 平分 ，可得 ，再由 ，即可求证；
②先求得 ，可得 ，从而得到 ，再证 ，可得 ，从
而得到 ， ，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵三个内角的平分线交于点O， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：①证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵三个内角的平分线交于点O，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵将 绕点O顺时针旋转一定角度 后得 ，
∴ ，
如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
即此时旋转角度 ；
如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，所有符合条件的旋转角度 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋
转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
32．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图1，已知 ，D是线段 延长线上一点，过A作
．
(1)求证： ；
(2)如图2，过C作 交 于H，作 平分 ， 平分 交于点F，若 ，
求 的度数；
(3)如图3， ，P为线段 上一点，G为射线 上一动点，过P、Q作射线分别交 于Q、M，满足 ， ，过P作 ，则 与 的数量关系是
（用含n的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质，结合已知条件得出 ， ，求
出 ，根据 平分 ， 平分 ， ，求出
，代入即可求出结果；
（3）根据已知条件得出 ， ，根据
，得出
，根据平行线的性质得出
，求出 ，即
，
根据 ，得出 ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：∵ 的内角和为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练
掌握平行线的性质，数形结合．
33．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）（1）如图，把 沿 折叠，使点 落在点 处，试
探究 、 与 的关系；
（2）如图2，若 ， ，作 的平分线 ，与 的外角平分线 交于点 ，求
的度数；
（3）如图3，若点 落在 内部，作 ， 的平分线交于点 ，此时 ， ， 满
足怎样的数量关系？并给出证明过程．
【答案】（1） （2） （3） ，证明见解析
【分析】（1）由折叠的性质可知 ， ，再根据平角的定义得到
， ，根据三角形外角的性质可得
，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论求出 ，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出 即可；
（3）先推出 ， ，再由三角形外角的性质推出 ，利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出
，即可得到结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
由折叠的性质可知 ， ，
， ，
，
，
，
；
（2）解： ， ， ，
，
的平分线 ，与 的外角平分线 交于点 ，
， ，
，
，
又 ，
，
；
（3）解： ，理由如下；
由折叠的性质可知 ， ，
， ，
，，
，
， 的平分线交于点 ，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三
角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
34．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）综合与探究：
(1)如图1， ， 分别是 的两个内角 ， 的平分线，说明 的理由．
【深入探究】
(2)①如图2， ， 分别是 的两个外角 ， 的平分线， 与 之间的等量关系是
；
②如图3， ， 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线， ， 交于点 ，
探究 与 之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】(3)请用以上结论解决下列问题：如图4，在 中， ， 分别平分 ， ， ， ，
分别在 ， ， 的延长线上， ， 分别平分 ， ， ， 分别平分 ，
．若 ，则 的度数是 ．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ，理由见解析
(3) ．
【分析】（1）利用角平分线的定义得出 ，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）①利用三角形内角和定理可得 ， ，利用角平分
线的定义可得 ， ，从而得到 ，化简即可求解；
②利用三角形的外角性质可得 ， ，从而得到
，化简即可求解；
（3）由（1）知： ，即可求出 ，利用三角形内角和定理可得 ，再利用角
平分线的性质可得 ，利用三角形内角和定理可得 ，再由（2）②可知 ，求解即
可．
【详解】（1）解： 、 分别是 、 的平分线，
， ，
，
， ，
，
；
（2）解：① 与 之间的等量关系是： ，理由如下：
、 分别是 的两个外角 、 的平分线，
， ，， ， ， ，
， ，
，
，
，
；
② 与 之间的等量关系是： ，理由如下：
、 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线，
， ，
，
，
．
（3）解：由（1）知： ，
，
，
，
，
、 分别平分 、 ，
，
．
由（2）②知： ，
，
【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形
外角性质，内角和定理，角平分线的定义．
35．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中） 中，点 在 边延长线上，
的延长线与 的角平分线 相交于点 ．(1)如图1，求证： ，
(2)如图2， 的角平分线 交 于 ，则 与 之间的数量关系为______，
(3)在（2）的条件下如图3，过点 作 于 ， ，若 ，求 的度
数．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）利用三角形的内角平分线和外角性质求解即可；
（2）利用三角形的内角平分线和外角定理求解即可；
（3）利用所求角度关系式，假设参数建立方程即可求解．
【详解】（1）如图1，
∵ 平分 ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；（2）如图2，
由（1）得： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即有 ，
∴ ，
故填： ．
（3）如图3，
由 ，设 ， ，
由 ， ， ，
设 ，
则有 ， ，
设
∵ ，
∴ ，∵ ，即 ，解得： ，
∴ ， ， ，
在 ， ，∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴
联立 ，解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形的角平分线，外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线，外角性质的应
用，利用参数解方程也是解题的技巧．
36．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角
形”．如：三个内角分别为 、 、 的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】
如图1， ，在射线 上找一点A，过点A作 交 于点B，以A为端点作射线 ，
交线段 于点C（点C不与O、B重合）．
(1) ______°， ＝______°， ______（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
(2)若 ，试说明： 是“完美三角形”；
【应用拓展】
(3)如图2，点D在 的边 上，连接 ，作 的平分线交 于点E，在 上取一点F，使
， ，若 是“完美三角形”，求∠B的度数．
【答案】(1) ， ，是
(2)见详解；
(3) 或【分析】（1）根据 即可得到 ，结合 即可得到 与 ，即可得
到答案；
（2）根据 ， ，即可得到 即可得到答案；
（3）根据 ， ，得到 ，得到 ，根据角平
分线的定义得到 ，结合 得到 ，从而得到 ，即可得到
，即可得到 ，结合“完美三角形”列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是完美三角形，
故答案为： ， ，是；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是“完美三角形”；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是“完美三角形”，
①当 时，根据三角形内角和定理可得，，
解得： ，
②当 时，根据三角形内角和定理可得，
，
解得： ，
综上所述： 或 ；
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线有关计算，平行线判定与性质，解题的关键是理解题目中
的新定义，注意分类讨论．
37．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．
(1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；
(2)请利用（1）的结论探索下列问题：
①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝
80°，求∠P的大小；
②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP ∠BAD，∠BCP ∠BCD，试探索α，β，γ之间的
数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)① ；②4γ＝3α+β．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据已知条件得到各角的数量关系，然后列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ；
（2）①如图2，∵ 平分 ， 平分 ，
∴
由（1）得： ，
，
两式相加得： ，
即： ，
∴ ，
②如图3，
设 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
由（1）得： ， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等的性质，解此题的关键是用整体思想
求角度计算．
38．（2023·浙江·校联考三模）在 中， 平分 交 于点D，点E是射线 上的动点（不
与点D重合），过点E作 交直线 于点F， 的角平分线所在的直线与射线 交于点G．
(1)如图1，点E在线段 上运动．
①若 ， ，则 __________°；
②若 ，求 的度数；
(2)若点E在射线 上运动时，探究 与 之间的数量关系．
【答案】(1)① ；②
(2)若点 在射线 上运动时， 与 之间的数量关系为： 或
【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出
，代入进行计算即可；
②由①的方法得出 ，进而满出 ，代入计算即可；
（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段
AD上时，有 成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有 或
成立．
【详解】（1）如图1，① ，
， ，
是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
又 ，
，
故答案为： ；
②由①得，
；
（2）当点 在线段 上时，如图（2），，
， ，
平分 ，
，
；
当点 在射线 上时，如图（3）由（1）得， ，；
综上所述， 与 之间的数量关系为： 或 ．
答：若点 在射线 上运动时， 与 之间的数量关系为： 或 ．
【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三
角形内角和定理是解题关键．
39．（2023春·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考期中）如图1至图2，在 中， ，点
在边 所在直线上，作 垂直于直线 ，垂足为点 ； 为 的角平分线， 的平分线交
直线 于点 ．
(1)如图1，延长 交 于点 ，若 ， ．
① ________；
②求证： ；
(2)如图2，当 ， 与 反向延长线交于点 ，用含 的代数式表示 ；
(3)当点 在直线 上移动时，若射线 与射线 相交，设交点为 ，直接写出 与 的关系式．
【答案】(1)① ；②见解析
(2)(3) ＝ 或
【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；
②根据平行线的性质得 ＝ ＝ ，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论；
（2）由八字模型可得， 和 中， ，再利用四边形内角和整理可
得答案；
（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
故答案为： ；
②证明：由①得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由八字模型可得， 和 中，
，
．故答案为： ．
（3）解：①如图，当点 在 延长线上时，
由八字模型可得， 和 中，
，
；
②如图，当点 在线段 上时，
由四边形的内角和得，；
③如图，当点 在 延长线上时，
由八字模型可得， ，
∴
；
综上分析可知， ＝ 或 ．
【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三
角形的内角和是解题关键．
40．（2023春·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）如图，四边形 中， ， 平分 ，
、 交于 点．(1)如图1，若 ，
①求证： ；
②作 平分 ，如图2，求证： ．
(2)如图3，作 平分 ，在锐角 内部作射线 ，交 于N，若 的大小为
，试说明： 平分
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据四边形内角和得出 ，根据邻补角得出
，根据补角的性质即可得出结论；
②根据角平分线的定义结合 ，得出 ，根据
，得出 ，根据平行线的判定得出 ；
（2）延长 、 交于点M，求出 ， ，证明
，即可证明 平分 ．
【详解】（1）证明：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：延长 、 交于点M，如图所示：∵ ，
∴ ，
∴
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴ 平分 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，补角和余角的性质，三角形外角的性质，三角
形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合．
